兩枚硬幣的“舞蹈”

劉兆豐

通過對“滾動中的硬幣自轉圈數探究”的學習，我明白了數學的學習不只是復雜的計算、嚴密的推理，更充滿著實踐給予我們的思想愉悅. 在對數學奧秘的探求過程中，我被數學的魅力折服，深深陶醉其中，好多次在夢里與這兩只“跳舞”的硬幣相遇. 每次我從夢中醒來，都引起無限的遐想：這兩枚硬幣旋轉中變化的本質是什么？它纏繞著我，讓我寢食不安.

我再次不停地轉動這兩枚硬幣，觀察靜者的穩重，動者的靈動. 突然一個想法從我的腦海里迸了出來. 旋轉中的硬幣自轉一周不就是其中的一條半徑繞圓心旋轉360°嗎？無論怎樣自轉這一規律都不會改變. 老師不是常說，在運動中尋找不變的因素，這常常是解決問題的突破口. 這個發現能用來解決我們的問題嗎？

我急切地行動起來：在一枚硬幣上畫上一條半徑，再次仔細地做起“滾動中的硬幣自轉圈數探究”的實驗，著重觀察這條半徑的變化情況. 果然，當乙硬幣轉到甲硬幣周長的四分之一時，乙上畫的這條半徑繞自己的圓心轉動了180°，當轉到甲的周長一半時，乙的這條半徑轉動了360°，繼續旋轉，回到原來的位置時，乙的這條半徑剛好旋轉了720°.即乙硬幣自轉了兩圈. 我興奮地跳起來，好像哥倫布發現了新大陸.

我懷著欣喜的心情把這個發現告訴了老師，老師表揚了我. 同學們為我的發現鼓掌. 我心中真如吃了蜜一樣甜！

這時老師又向我和同學們提出一個問題：“能用‘旋轉中的硬幣自轉一周就是其中的一條半徑繞圓心旋轉360°這個結論解決兩個半徑不等的硬幣的旋轉問題嗎？相信你們仔細研究會發現數學更為神奇的奧秘. ”

帶著這個問題我又沉浸到研究和探討之中. 經過思考我認為有如下的方法可以解決，請同學們聽我的看法.

如圖1，一枚5角的硬幣（直徑為2 cm）繞一枚1元的硬幣（直徑為2.5 cm）的邊緣無滑動滾動一周回到原來的位置時，那么5角的硬幣自轉了多少圈？

【分析】如圖1，設圓O1沿圓O外壁無滑動滾動一個周長，接觸點由點A到點B，則優弧長為2π，設優角∠AOB的度數為n°，則有=2π·1，∴n=288°. ∵O2B是O1A繞O旋轉一個弧長2π后到達的位置，即為O1A繞O1自轉一個周角后繼續旋轉288°到達的位置，∴O1A到達O2B時在平面內繞O1旋轉了360°+288°. ∵圓O的周長為2.5π，圓O1的周長為2π，∴圓O1回到原來的出發點滾動了1.25個周長，∴O1A在平面內繞O1點共旋轉了1.25×（360°+288°），∴圓O1自轉了=2.25（圈）.

現在我們把上述情況推廣到一般情況：

若圓O1的半徑為r，圓O的半徑為R且滿足R=kr，圓O1沿圓O外壁無滑動地滾動一圈回到原出發點，則圓O1自轉了多少圈呢？

【分析】如圖2，設圓O1沿圓O外壁無滑動滾動一個周長，接觸點由點A到點B，則∠AOB的度數n滿足：=2πr，∴n==，∵O2B是O1A繞O旋轉一個弧長2πr到達的位置，即為O1A繞O1自轉一個周角后繼續旋轉到達的位置，又圖中∠CO2B=∠AOB=n，∴O1A到達O2B時在平面內繞O1旋轉了360°+=. ∵圓O1回到原來的出發點滾動了=k（個）周長，∴O1A在平面內繞O1點共旋轉了k×=（k+1）×360°，∴圓O1自轉了=（k+1）（圈）.

以上是我的一些見解，如有不足之處，歡迎大家批評指導與補足，讓我們一同在數學學習的海洋中暢游！endprint