第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

賈蕓蕓

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，是數(shù)學(xué)史上的一次重要事件，發(fā)生于大約公元前400年左右的古希臘時(shí)期，自根號(hào)2的發(fā)現(xiàn)起，到公元前370年左右，以無理數(shù)的定義出現(xiàn)為結(jié)束標(biāo)志.這次危機(jī)的出現(xiàn)沖擊了一直以來在西方數(shù)學(xué)界占據(jù)主導(dǎo)地位的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，同時(shí)標(biāo)志著西方世界關(guān)于無理數(shù)的研究的開始.

1. 歷史背景

畢達(dá)哥拉斯（約公元前572年—公元前492年）是一位古希臘的數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家，他曾有一句名言“凡物皆數(shù)”，意思是萬(wàn)物的本原是數(shù)，數(shù)的規(guī)律統(tǒng)治萬(wàn)物.不過要注意的是，在那個(gè)年代，他們相信一切數(shù)皆可以表達(dá)為整數(shù)或整數(shù)之比——分?jǐn)?shù)，簡(jiǎn)單而言，他們所認(rèn)識(shí)的只是有理數(shù).

當(dāng)時(shí)的人只有有理數(shù)的概念是絕不奇怪的. 整數(shù)是在對(duì)于對(duì)象的有限數(shù)量進(jìn)行計(jì)算的過程中產(chǎn)生的抽象概念.日常生活中，不僅要計(jì)算單個(gè)的對(duì)象，還要度量各種量，例如長(zhǎng)度、重量和時(shí)間.為了滿足這些簡(jiǎn)單的度量需要，就要用到分?jǐn)?shù).于是，如果定義有理數(shù)為兩個(gè)整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所以對(duì)于進(jìn)行實(shí)際量度是足夠的.

有理數(shù)有一種簡(jiǎn)單的幾何解釋.在一條水平直線上，標(biāo)出一段線段作為單位長(zhǎng)，如果令它的定端點(diǎn)和右端點(diǎn)分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長(zhǎng)的點(diǎn)的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊.以q為分母的分?jǐn)?shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點(diǎn)表示.于是，每一個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)著直線上的一個(gè)點(diǎn).

2. 危機(jī)爆發(fā)（無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)）

偉大的時(shí)刻來臨了，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)時(shí)眾所周知的勾股定理（其實(shí)中國(guó)于公元前1100年已有此定理），從這個(gè)定理中，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了一件不可思議的事，就是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，竟然是一個(gè)無法寫成為有理數(shù)的數(shù).亦即是說有理數(shù)并非一切數(shù)，存在有理數(shù)以外的數(shù)，有理數(shù)不可以完全填滿整條數(shù)軸. 他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎.在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界來說，是一個(gè)極大的震撼，也是歷史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī).

3. 危機(jī)解決

約在公元前370年，柏拉圖的學(xué)生攸多克薩斯（Eudoxus，約公元前408年—前355年）解決了關(guān)于無理數(shù)的問題. 他純粹用公理化方法創(chuàng)立了新的比例理論，巧妙地處理了可公度和不可公度. 他處理不可公度的辦法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄，并且和狄德金于1872年繪出的無理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致. 21世紀(jì)的中國(guó)中學(xué)幾何課本中對(duì)相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處.

4. 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)影響

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示. 反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來.整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)受到極大的沖擊.于是，幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位.同時(shí)也反映出，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的.從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系.這是數(shù)學(xué)思想上的一次革命，是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物.

回顧在此以前的各種數(shù)學(xué)，無非都是“算”，也就是提供算法.即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問題中去的.例如，泰勒斯預(yù)測(cè)日食、利用影子計(jì)算金字塔高度、測(cè)量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍的.至于埃及、巴比倫、中國(guó)、印度等國(guó)的數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機(jī)和革命，也就繼續(xù)走著以算為主、以用為主的道路.而由于第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生和解決，希臘數(shù)學(xué)則走上完全不同的發(fā)展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數(shù)學(xué)作出了另一種杰出的貢獻(xiàn).據(jù)史籍記載，古代的希臘和中國(guó)，很早就發(fā)現(xiàn)了無理數(shù).然而東西方卻通過不同的途徑來認(rèn)識(shí)和發(fā)展無理數(shù)的理論：希臘人著眼于幾何量的長(zhǎng)度關(guān)系，從線段不可公度的幾何角度入手，用邏輯方法進(jìn)行探討；中國(guó)人著重滿足實(shí)際應(yīng)用的數(shù)的運(yùn)算，從開方不盡的計(jì)算過程入手，通過計(jì)算方式來認(rèn)識(shí)并建立其法則.

但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系.這樣做的最大不幸是放棄了對(duì)無理數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄弱.這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年.

（作者單位：江蘇省淮安外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）endprint