淺談對數(shù)學素養(yǎng)的認識

蔣桃俊

解析本小題考查三角形面積公式及函數(shù)思想.因為AB=2（定長），可以以AB所在的直線為x軸，其中垂線為y軸建立直角坐標系， 則A（-1，0），B（1，0）， 設(shè)C（x，y）， 由AC= BC可得

（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2，化簡得（x-3）2+y2=8，即C在以（3，0）為圓心，

為半徑的圓上運動.又S△ABC=12·AB·|yC|=|yC|≤22.此題實際上明顯體現(xiàn)了解析幾何的思想，用代數(shù)方法解決幾何問題的主體思想.

江蘇1 3高考第1 5題已知a=（

cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），0<β<α<π.第二問：

設(shè)c=（0，1），若a+b=c，求α，β的值.

解析此題實際是體現(xiàn)了消元，方程組的思想.[BP）]

本文針對數(shù)學高考中加大數(shù)學素養(yǎng)的考查，談一談自己的一些想法.

[BP（] 一、為什么要提高數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學與文化是休戚相關(guān)的，數(shù)學作為一種文化，在人類各種文化中占據(jù)一種特殊地位.它

關(guān)系到一個民族的文化興衰，也關(guān)系到一個民族的興盛和衰落.而數(shù)學教育，特別是基礎(chǔ)教育

的數(shù)學教育，它不單純是數(shù)學科學的教育，從某種意義講，它更是數(shù)學文化的教育，起著“對

全體人民的科學思維與文化素質(zhì)的哺育”的作用.《中國教育改革和發(fā)展綱要》明確指出：“世

界范圍的經(jīng)濟競爭，綜合國力競爭，實質(zhì)上是科學技術(shù)的競爭和民族素質(zhì)的競爭.從這個意義

上說，誰掌握了面向21世紀的教育，誰就能在21世紀的國際競爭中處于戰(zhàn)略主動地位.”在

素質(zhì)教育中，數(shù)學教育又處于重要的地位.這是因為隨著世界科學技術(shù)迅猛發(fā)展，生產(chǎn)機械化

和自動化程序日益提高，社會正由工業(yè)化時代進入信息化時代，信息化社會很重要的一個特點

是定量化和定量思維.定量化和定量思維的基礎(chǔ)語言和工具是數(shù)學.不僅如此，一旦計算機被

廣泛應(yīng)用，數(shù)學將是一種通用技術(shù)，人人都必須掌握.因此，數(shù)學素養(yǎng)將是21世紀合格公民

素質(zhì)結(jié)構(gòu)中的一個重要組成.“數(shù)學是屬于所有人的，因此我們必須將數(shù)學教給所有的人”.[BP）]

一、數(shù)學素養(yǎng)是什么？數(shù)學素養(yǎng)≠數(shù)學知識

PISA（世界經(jīng)濟合作與發(fā)展組織）的一項國際學生評價項目（DECD）對數(shù)學素養(yǎng)的定義：理

解與鑒別能力，積極參與數(shù)學活動并對數(shù)學的地位和作用作出恰當判斷的能力，是每一個學生在當前及未來的個人生活中、職業(yè)生活、與周圍其他人相處的社會生活中必需的，成為一個有

建設(shè)性的、熱心關(guān)注生活和不斷反思的公民所必備的一種綜合素質(zhì).

吸納當前數(shù)學課程改革的理念，我想數(shù)學素養(yǎng)的構(gòu)成應(yīng)當含有以下幾個基本層次：

1.基本的數(shù)學知識、數(shù)學技能、數(shù)學思想方法.這里學生賴以在數(shù)學和其他方面獲得

發(fā)展的基礎(chǔ).

2.與數(shù)學學習、理解、應(yīng)用相關(guān)的一些基本能力，包括數(shù)學思維能力、對事物作出邏輯推

理和數(shù)學判斷的能力、通過建立數(shù)學模型解決問題的能力、創(chuàng)新能力等.

3.面對數(shù)學學習以及現(xiàn)實和未來生活的情感、態(tài)度和價值觀.包括認識和理解數(shù)學在生

活中的作用，體會數(shù)學的價值，關(guān)心他人、關(guān)心集體，與他人合作；認真積極地對待學習和生

活的態(tài)度，合理、審慎、辯證地思考問題的習慣；正確的人生觀和價值觀.

數(shù)學素養(yǎng)通俗地說法：正如南開大學數(shù)學科學院副院長顧沛教授解釋一樣，數(shù)學素養(yǎng)就是

把所學的數(shù)學知識都排出或忘掉后剩下的東西.也正如他舉的一道微軟公司招聘員工的考題：

“一個屋里有50個人，每人帶一條狗，其中部分是病狗.主人只能通過對其它狗的觀察得知

自己的狗是否是病狗，并在發(fā)現(xiàn)當天用槍打死自己的狗，第一天沒有聽到槍聲，第二天沒有聽

到槍聲……直至第十天聽到一片槍聲，問屋里有多少病狗.”當顧沛讀完題目，許多同學都忍

不住笑了.可是這道看似腦筋急轉(zhuǎn)彎的題目其實是一道巧妙的數(shù)學應(yīng)用題.正確的解答需要結(jié)

合運用反證法和數(shù)學歸納法.

數(shù)學是一種思維模式，數(shù)學思想是它的精髓.

二、怎樣在教學中培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)呢

近幾年的高考，特別是數(shù)學高考，在考試內(nèi)容和形式上進行了一系列的改革，能力立意，

注重能力，注重素質(zhì)，在試題如何體現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的要求上進行了一系列的探索，取得了明顯的

成效，發(fā)揮了對中學數(shù)學教學的積極的導向作用.因此，認真研究數(shù)學高考與數(shù)學素養(yǎng)的關(guān)系，

在不可回避的數(shù)學高考的前提下，將中學數(shù)學教學引導到發(fā)展學生的數(shù)學思維，提高學生的數(shù)

學素養(yǎng)的軌道上來是很有必要的.在保持整體穩(wěn)定的前提下，數(shù)學高考加大了改革創(chuàng)新的力

度.改革的基本思路可概括為：穩(wěn)中求改，堅持創(chuàng)新，注重能力注重素質(zhì)，全面考查，突出重

點，注重聯(lián)系構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，調(diào)整難度，適度綜合，注重實踐強化應(yīng)用，留出空間考查思維，入口

較低，要求較高，多題把關(guān)區(qū)分度高.

針對高考，談如何培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)，事實上也只能從幾個例子淺談一些簡單的想法.數(shù)學教

學的重點應(yīng)該在于培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光，數(shù)學的方法去透視事物，整體的、有條理的、合乎

邏輯的、系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)和思考問題，也就是運用數(shù)學思維方式去思考問題的習慣，即形成數(shù)學素

養(yǎng).數(shù)學素養(yǎng)的高低有什么標準呢？數(shù)學素養(yǎng)至少包括整體、化歸、抽象、推理的意識和科學

的態(tài)度，對真理的追求等等.如何做？endprint

（一）轉(zhuǎn)變觀念，確立“學生為主體”的教學思想.激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，是培養(yǎng)和提高

數(shù)學素養(yǎng)的基石.現(xiàn)代教學論認為，教學過程是教師指導下的學生的認識過程，在這個過程中

學生是認識的主體，教師是教學活動的組織者和指導者.教與學的關(guān)系就是這種“教為主導，

學為主體”的辯證關(guān)系.為了發(fā)揮學生的主體作用，我們的教學必須注重調(diào)動學生的主觀能動

性和自主性，使他們主動參與教學過程，成為學習的主人.簡單地說，就是把“要我學”變?yōu)?/p>

“我要學”.

（二）在課堂教學中

（1）注重一題多解，開闊思維一題多解即對同一題目，從不同角度

運用不同的思維，聯(lián)系各種數(shù)學背景，采用不同的數(shù)學方法，廣開思路去分析探討，從而獲得

多種解題途徑.利用數(shù)學思想和方法指導學生實踐，讓學生感受“條條大道”通“羅馬”的

喜悅，同時也培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維，這也是直接培養(yǎng)學生興趣和數(shù)學素養(yǎng)的有效方法之一.

（2）類比的方法與思想——舉一反三.如在立體幾何中，如何實現(xiàn)“立體問題平面化”，

常常是解決立體幾何問題的關(guān)鍵；合理的類比平面幾何的結(jié)論，設(shè)計解決立體幾何的問題，常

可事半功倍.

（3）整體的思想，如在三角函數(shù)的性質(zhì)中，將y=Asin（ωx+φ）中的ωx+φ看

作整體轉(zhuǎn)化成y=sinx；又如數(shù)列中已知等差數(shù)列{an}中， a2+a4+…+a10=5，

a1+a3+…+a9=15，求公差.將兩式相減可得答案.

（4）特殊到一般的思維過程，如已

知f（x）+2f（1/x）=2x，求f（x）.可先從特殊取值如何求f（1），如何求f（2），再去考慮如

何求f（x）.

（5）抓住本質(zhì)，如學習導數(shù)的應(yīng)用，如生產(chǎn)效率、邊際、切線的斜率，瞬時速

度，瞬時加速度時，就不致于覺得過于抽象而無從下手了.

（6）通過分類討論，有助于培養(yǎng)整體意識.如在直線中設(shè)直線方程時注意方程的局限性.

（7）采用變式教學，有助于培養(yǎng)抽

象意識.

[BP（]（8）采用探究方法，有助于培養(yǎng)創(chuàng)新意識.如立體幾何中的問題（俗稱墻角問題）：

觀察（長方體形狀的）教室的一個墻角，看到三個互相垂直的平面.作一個截面可得一個四面體，這個四面體有三個面為直角三角形，請問：另一個面是什么三角形？其所對頂點的射影落

在什么位置？你還能發(fā)現(xiàn)哪些性質(zhì)？

（9）講點數(shù)學發(fā)展史.學生學習數(shù)學，往往會“老師怎

么講，我就怎么學”，或者“課堂本上怎么講，我就怎么說”.至于老師為什么這么講，課本

上為什么這么說，則知其然而不知其所以然.因此，在學習某些內(nèi)容尤其是學習到數(shù)學發(fā)展的

某些轉(zhuǎn)折處時，適當?shù)慕o學生介紹一些有關(guān)的數(shù)學發(fā)展史，講清它們發(fā)展，演變的來龍去脈及

背景，有利于學生數(shù)學素質(zhì)的培養(yǎng)和提高.如解析幾何開始可以介紹解析幾何由來，及其在數(shù)

學發(fā)展史的重要地位及其原因.[BP）]

（8）加強數(shù)學中的審美的思想——數(shù)學的藝術(shù).根據(jù)數(shù)學知

識的特點，如圖形的對稱性、命題的對偶性、邏輯的嚴謹性、符號的簡潔性，讓學生在數(shù)學課

堂上感受快樂，數(shù)學美的享受和陶冶，從而對數(shù)學產(chǎn)生極大興趣.如在數(shù)列中介紹斐波那契數(shù)

列.

（9）一份好的數(shù)學課外作業(yè)，不僅是數(shù)學課堂教學的延伸和繼續(xù)，還是課堂內(nèi)容的提升

和綜合，更是學科知識的應(yīng)用和遷移.

當然數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一節(jié)課所能培養(yǎng)的，也不是哪一種方式就肯定可以培養(yǎng)的，但是

卻是每一節(jié)課逐步培養(yǎng)出來的.忽視高考是不現(xiàn)實的，培養(yǎng)素養(yǎng)對高考試卷的解答有多大作用

呢，我想這句話就可以說明： “數(shù)學考試成績高不表明學生學習素養(yǎng)高，但數(shù)學素養(yǎng)高，考試

成績一定不會差.”endprint

（一）轉(zhuǎn)變觀念，確立“學生為主體”的教學思想.激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，是培養(yǎng)和提高

數(shù)學素養(yǎng)的基石.現(xiàn)代教學論認為，教學過程是教師指導下的學生的認識過程，在這個過程中

學生是認識的主體，教師是教學活動的組織者和指導者.教與學的關(guān)系就是這種“教為主導，

學為主體”的辯證關(guān)系.為了發(fā)揮學生的主體作用，我們的教學必須注重調(diào)動學生的主觀能動

性和自主性，使他們主動參與教學過程，成為學習的主人.簡單地說，就是把“要我學”變?yōu)?/p>

“我要學”.

（二）在課堂教學中

（1）注重一題多解，開闊思維一題多解即對同一題目，從不同角度

運用不同的思維，聯(lián)系各種數(shù)學背景，采用不同的數(shù)學方法，廣開思路去分析探討，從而獲得

多種解題途徑.利用數(shù)學思想和方法指導學生實踐，讓學生感受“條條大道”通“羅馬”的

喜悅，同時也培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維，這也是直接培養(yǎng)學生興趣和數(shù)學素養(yǎng)的有效方法之一.

（2）類比的方法與思想——舉一反三.如在立體幾何中，如何實現(xiàn)“立體問題平面化”，

常常是解決立體幾何問題的關(guān)鍵；合理的類比平面幾何的結(jié)論，設(shè)計解決立體幾何的問題，常

可事半功倍.

（3）整體的思想，如在三角函數(shù)的性質(zhì)中，將y=Asin（ωx+φ）中的ωx+φ看

作整體轉(zhuǎn)化成y=sinx；又如數(shù)列中已知等差數(shù)列{an}中， a2+a4+…+a10=5，

a1+a3+…+a9=15，求公差.將兩式相減可得答案.

（4）特殊到一般的思維過程，如已

知f（x）+2f（1/x）=2x，求f（x）.可先從特殊取值如何求f（1），如何求f（2），再去考慮如

何求f（x）.

（5）抓住本質(zhì)，如學習導數(shù)的應(yīng)用，如生產(chǎn)效率、邊際、切線的斜率，瞬時速

度，瞬時加速度時，就不致于覺得過于抽象而無從下手了.

（6）通過分類討論，有助于培養(yǎng)整體意識.如在直線中設(shè)直線方程時注意方程的局限性.

（7）采用變式教學，有助于培養(yǎng)抽

象意識.

[BP（]（8）采用探究方法，有助于培養(yǎng)創(chuàng)新意識.如立體幾何中的問題（俗稱墻角問題）：

觀察（長方體形狀的）教室的一個墻角，看到三個互相垂直的平面.作一個截面可得一個四面體，這個四面體有三個面為直角三角形，請問：另一個面是什么三角形？其所對頂點的射影落

在什么位置？你還能發(fā)現(xiàn)哪些性質(zhì)？

（9）講點數(shù)學發(fā)展史.學生學習數(shù)學，往往會“老師怎

么講，我就怎么學”，或者“課堂本上怎么講，我就怎么說”.至于老師為什么這么講，課本

上為什么這么說，則知其然而不知其所以然.因此，在學習某些內(nèi)容尤其是學習到數(shù)學發(fā)展的

某些轉(zhuǎn)折處時，適當?shù)慕o學生介紹一些有關(guān)的數(shù)學發(fā)展史，講清它們發(fā)展，演變的來龍去脈及

背景，有利于學生數(shù)學素質(zhì)的培養(yǎng)和提高.如解析幾何開始可以介紹解析幾何由來，及其在數(shù)

學發(fā)展史的重要地位及其原因.[BP）]

（8）加強數(shù)學中的審美的思想——數(shù)學的藝術(shù).根據(jù)數(shù)學知

識的特點，如圖形的對稱性、命題的對偶性、邏輯的嚴謹性、符號的簡潔性，讓學生在數(shù)學課

堂上感受快樂，數(shù)學美的享受和陶冶，從而對數(shù)學產(chǎn)生極大興趣.如在數(shù)列中介紹斐波那契數(shù)

列.

（9）一份好的數(shù)學課外作業(yè)，不僅是數(shù)學課堂教學的延伸和繼續(xù)，還是課堂內(nèi)容的提升

和綜合，更是學科知識的應(yīng)用和遷移.

當然數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一節(jié)課所能培養(yǎng)的，也不是哪一種方式就肯定可以培養(yǎng)的，但是

卻是每一節(jié)課逐步培養(yǎng)出來的.忽視高考是不現(xiàn)實的，培養(yǎng)素養(yǎng)對高考試卷的解答有多大作用

呢，我想這句話就可以說明： “數(shù)學考試成績高不表明學生學習素養(yǎng)高，但數(shù)學素養(yǎng)高，考試

成績一定不會差.”endprint

（一）轉(zhuǎn)變觀念，確立“學生為主體”的教學思想.激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，是培養(yǎng)和提高

數(shù)學素養(yǎng)的基石.現(xiàn)代教學論認為，教學過程是教師指導下的學生的認識過程，在這個過程中

學生是認識的主體，教師是教學活動的組織者和指導者.教與學的關(guān)系就是這種“教為主導，

學為主體”的辯證關(guān)系.為了發(fā)揮學生的主體作用，我們的教學必須注重調(diào)動學生的主觀能動

性和自主性，使他們主動參與教學過程，成為學習的主人.簡單地說，就是把“要我學”變?yōu)?/p>

“我要學”.

（二）在課堂教學中

（1）注重一題多解，開闊思維一題多解即對同一題目，從不同角度

運用不同的思維，聯(lián)系各種數(shù)學背景，采用不同的數(shù)學方法，廣開思路去分析探討，從而獲得

多種解題途徑.利用數(shù)學思想和方法指導學生實踐，讓學生感受“條條大道”通“羅馬”的

喜悅，同時也培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維，這也是直接培養(yǎng)學生興趣和數(shù)學素養(yǎng)的有效方法之一.

（2）類比的方法與思想——舉一反三.如在立體幾何中，如何實現(xiàn)“立體問題平面化”，

常常是解決立體幾何問題的關(guān)鍵；合理的類比平面幾何的結(jié)論，設(shè)計解決立體幾何的問題，常

可事半功倍.

（3）整體的思想，如在三角函數(shù)的性質(zhì)中，將y=Asin（ωx+φ）中的ωx+φ看

作整體轉(zhuǎn)化成y=sinx；又如數(shù)列中已知等差數(shù)列{an}中， a2+a4+…+a10=5，

a1+a3+…+a9=15，求公差.將兩式相減可得答案.

（4）特殊到一般的思維過程，如已

知f（x）+2f（1/x）=2x，求f（x）.可先從特殊取值如何求f（1），如何求f（2），再去考慮如

何求f（x）.

（5）抓住本質(zhì)，如學習導數(shù)的應(yīng)用，如生產(chǎn)效率、邊際、切線的斜率，瞬時速

度，瞬時加速度時，就不致于覺得過于抽象而無從下手了.

（6）通過分類討論，有助于培養(yǎng)整體意識.如在直線中設(shè)直線方程時注意方程的局限性.

（7）采用變式教學，有助于培養(yǎng)抽

象意識.

[BP（]（8）采用探究方法，有助于培養(yǎng)創(chuàng)新意識.如立體幾何中的問題（俗稱墻角問題）：

觀察（長方體形狀的）教室的一個墻角，看到三個互相垂直的平面.作一個截面可得一個四面體，這個四面體有三個面為直角三角形，請問：另一個面是什么三角形？其所對頂點的射影落

在什么位置？你還能發(fā)現(xiàn)哪些性質(zhì)？

（9）講點數(shù)學發(fā)展史.學生學習數(shù)學，往往會“老師怎

么講，我就怎么學”，或者“課堂本上怎么講，我就怎么說”.至于老師為什么這么講，課本

上為什么這么說，則知其然而不知其所以然.因此，在學習某些內(nèi)容尤其是學習到數(shù)學發(fā)展的

某些轉(zhuǎn)折處時，適當?shù)慕o學生介紹一些有關(guān)的數(shù)學發(fā)展史，講清它們發(fā)展，演變的來龍去脈及

背景，有利于學生數(shù)學素質(zhì)的培養(yǎng)和提高.如解析幾何開始可以介紹解析幾何由來，及其在數(shù)

學發(fā)展史的重要地位及其原因.[BP）]

（8）加強數(shù)學中的審美的思想——數(shù)學的藝術(shù).根據(jù)數(shù)學知

識的特點，如圖形的對稱性、命題的對偶性、邏輯的嚴謹性、符號的簡潔性，讓學生在數(shù)學課

堂上感受快樂，數(shù)學美的享受和陶冶，從而對數(shù)學產(chǎn)生極大興趣.如在數(shù)列中介紹斐波那契數(shù)

列.

（9）一份好的數(shù)學課外作業(yè)，不僅是數(shù)學課堂教學的延伸和繼續(xù)，還是課堂內(nèi)容的提升

和綜合，更是學科知識的應(yīng)用和遷移.

當然數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一節(jié)課所能培養(yǎng)的，也不是哪一種方式就肯定可以培養(yǎng)的，但是

卻是每一節(jié)課逐步培養(yǎng)出來的.忽視高考是不現(xiàn)實的，培養(yǎng)素養(yǎng)對高考試卷的解答有多大作用

呢，我想這句話就可以說明： “數(shù)學考試成績高不表明學生學習素養(yǎng)高，但數(shù)學素養(yǎng)高，考試

成績一定不會差.”endprint