粗糙集代數(shù)與BCK代數(shù)

劉春輝

（赤峰學(xué)院 教務(wù)處，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

0 引言

粗糙集理論是由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak于1982年首次提出的[1]，經(jīng)過二十幾年的研究與探索，在理論與應(yīng)用上都取得了令人矚目的成果，尤其是由于20世紀(jì)80年代末和90年代初該理論在知識發(fā)現(xiàn)等領(lǐng)域的成功應(yīng)用而受到國際數(shù)學(xué)界和計(jì)算機(jī)界的廣泛關(guān)注[2].非經(jīng)典數(shù)理邏輯代數(shù)及其相關(guān)邏輯系統(tǒng)是人工智能領(lǐng)域的重要研究分支之一，眾多的學(xué)者基于不同的角度提出了各種不同形式的非經(jīng)典數(shù)理邏輯代數(shù)，如MV代數(shù)、BL代數(shù)、R0代數(shù)、格蘊(yùn)涵代數(shù)和BCK代數(shù)等，對相關(guān)邏輯系統(tǒng)的研究也有較為成熟的研究工作[3-6].如果能夠建立非經(jīng)典數(shù)理邏輯代數(shù)與粗糙集代數(shù)的聯(lián)系，就可以借助非經(jīng)典數(shù)理邏輯的研究結(jié)果討論粗糙集邏輯.目前，這方面的探索也獲得了很多研究成果[7,8].以此為基礎(chǔ)，本文探討將粗糙集代數(shù)構(gòu)造為BCK代數(shù)的方法，其中粗糙集采用上、下算子的表示形式,證明了在適當(dāng)選取◇運(yùn)算后，粗糙集代數(shù)就可成為BCK代數(shù)的結(jié)論.

1 BCK代數(shù)及粗糙集的基本概念

定義1.1[1]設(shè)U是一個(gè)非空有限集合，稱為論域，如果R為U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，則稱二元組（U，R）是一個(gè)Pawlak近似空間.坌X哿U，定義X關(guān)于Pawlak近似空間(U,R)的下近似R(X)和上近似(X)分別為：

其中[x]R={y∈U|（x,y）∈R}是x關(guān)于R的等價(jià)類，U/R={[x]R|x∈U}是所有R等價(jià)類的集合.對于X哿U，稱為R-粗糙集.若，則稱為R-精確集.否則稱為R-近似集.

定義1.2[6]稱(2.0)型代數(shù)(B,*,0)為BCK代數(shù)，如果坌x,y,z∈B滿足：

關(guān)于BCK代數(shù)的其它方面的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，請參見文獻(xiàn)[6].

2 粗糙集代數(shù)與BCK代數(shù)

設(shè)(U,R)是一個(gè)Pawlak近似空間，且

為R-粗糙集全體之集.

引理2.1[2]設(shè)X,Y哿U為R可定義集，即為若干R等價(jià)類之并集，則(X,Y)∈N(A)當(dāng)且僅當(dāng)X哿Y且(Y-X)∩S=覫，其中集合S={x∈U||[x]R|=1}.

對坌(X1,Y1),(X2,Y2)∈N(A)，令

容易驗(yàn)證∧和∨是N(A)上封閉的二元運(yùn)算且(N(A),∧,∨)構(gòu)成有界格.其中序關(guān)系為：

(U,U)和(覫,覫)分別為格中最大元與最小元.故(X1,Y1)=(X2,Y2)圳X1=X2且 Y1=Y2.

現(xiàn)在，我們在N(A)上定義二元運(yùn)算◇使得坌(X1,X2),(Y1,Y2)∈N(A)，

其中，坌X哿U，Xc=U-X.

引理2.2 N(A)對二元運(yùn)算◇是封閉的.

證明 設(shè)坌(X1,X2),(Y1,Y2)∈N(A)，則由引理 1知X1哿X2，(X2-X1)∩S=覫 且 Y1哿Y2，(Y2-Y1)∩S=覫，從而 X2c哿X1c且Y2c哿Y1c，故 X1∩Y2c哿(X1∪Y2c)∩Y1c∩X2)且

故 (((X1∪Y2c)∩Y1c∩X2)-(X1∩Y2c))∩S=覫.因此(X1,X2)◇(Y1,Y2)∈N(A).

定理 2.1(N(A),◇,(覫,覫))構(gòu)成 BCK代數(shù).

證明 坌(X1,X2),(Y1,Y2),(Z1,Z2)∈N(A),分如下八步完成證明：

(1)證明等式((X1,X2)◇(Y1,Y2))◇(Z1,Z2)=((X1,X2)◇(Z1,Z2))◇(Y1,Y2).事實(shí)上，因?yàn)?/p>

所以比較便可得((X1,X2)◇(Y1,Y2))◇(Z1,Z2)=((X1,X2)◇(Z1,Z2))◇(Y1,Y2).

(2)證明等式(X1,X2)◇((X1,X2))◇(Y1,Y2))=(Y1,Y2)◇((Y1,Y2))◇(X1,X2).事實(shí)上，因?yàn)?/p>

類似的方法可證(X1,X2)◇((X1,X2)◇(Y1,Y2))=(X1∩Y1,X2∩Y2)，因此

(3)證明等式(X1,X2)◇(X1,X2)=(覫,覫)，即 BCK3成立.事實(shí)上

(4)證明等式(覫,覫)◇(X1,X2)=(覫,覫)，即 BCK4成立.事實(shí)上

(5)證明等式(((X1,X2)◇(Y1,Y2))◇((X1,X2)◇(Z1,Z2)))◇((Z1,Z2)◇(Y1,Y2))=(覫,覫),即證明 BCK1成立.事實(shí)上，由(1)-(4)得

(6)證明等式((X1,X2)◇((X1,X2)◇(Y1,Y2)))◇(Y1,Y2)=(覫,覫)，即證明 BCK2成立.事實(shí)上，由(1)和(3)得

(7)證明等式(X1,X2)◇(覫,覫)=(X1,X2)，事實(shí)上

(8)證明 BCK5，即假設(shè)(X1,X2)◇(Y1,Y2)=(Y1,Y2)◇(X1,X2)=(覫,覫)，往證(X1,X2)=(Y1,Y2).事實(shí)上，由(2)和(7)及假設(shè)條件得

綜合(1)-(8)得(N(A),◇,(覫,覫)為 BCK代數(shù).

3 結(jié)論

本文在深入分析粗糙集代數(shù)與BCK代數(shù)之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，給出了一種由粗糙集代數(shù)構(gòu)造BCK代數(shù)的方法，證明了在選取適當(dāng)?shù)摹筮\(yùn)算后，粗糙集代數(shù)就成為BCK代數(shù)的結(jié)論.這一結(jié)論為借助于BCK代數(shù)及BCK邏輯研究粗糙集邏輯提供了必要的理論基礎(chǔ).此外，我們也可以借鑒本文的研究方法去討論其它邏輯代數(shù)結(jié)構(gòu)與粗糙集代數(shù)間的相關(guān)問題，這將是今后研究的主要方向.

〔1〕Paw lak Z.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Science,1982,11:341-356.

〔2〕張文修,吳偉志,梁吉業(yè),李德玉.粗糙集理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

〔3〕王國俊.MV代數(shù)、BL代數(shù)、R 0代數(shù)與多值邏輯[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2002,16(2):1-12.

〔4〕Xu Yang,Jun Y B,Qin Keyun,Liu Jun.Lattice Logic[M].Berlin:Springer,2004.

〔5〕劉春輝.正則剩余格的生成⊙與素⊙理想[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,33(5):621-625.

〔6〕Huang Yisheng.BCI-algebras[M].Beijing:Science Press,2006.

〔7〕秦克云,涂文彪.粗糙集代數(shù)與格蘊(yùn)涵代數(shù)[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào),2004,39(6):754-757.

〔8〕喬全喜,秦克云.粗糙集代數(shù)與BL代數(shù)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2008,44(33):46-47.

〔9〕岳織鋒，韓海山，趙桐.線性互補(bǔ)問題罰函數(shù)法的收斂性[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013,28（6）：631～634.