基于時變市場分數(shù)的狀態(tài)依賴自信的金融市場動態(tài)模型

王 婧

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆伊寧835000)

近年來，由異質(zhì)交易者關(guān)系引起的金融市場價格動態(tài)模型文獻得到了較好的發(fā)展，如Hommes[1]等.一方面，這些文獻說明異質(zhì)交易者如何相互影響，并產(chǎn)生偏離基準價格的持續(xù)價格偏差;另一方面，模型能夠說明經(jīng)典的收益時間序列及分布的特征，這些特征的出現(xiàn)與非線性因素密切相關(guān).其中，基本面分析者－技術(shù)分析者關(guān)系模型扮演特定的角色，能夠捕捉基本的價格波動機制.從數(shù)學(xué)觀點看，在強趨勢推斷下阻止價格發(fā)散是一些非線性調(diào)整機制.Day and Huang[2]分析指出，非線性因素與基本面分析者關(guān)于資本損益的已知機會相關(guān).由Brock and Hommers[3]提出的相關(guān)模型，之后由Chiarella and He[4－5]作了更進一步的研究，即代理商依據(jù)基于已知收益的非線性機制在消費理性與不理性預(yù)計法則之間轉(zhuǎn)變.遵循同樣的觀點，本文根據(jù)Chiarella et al.[6]研究提出，基本面分析者由于具有穩(wěn)定市場的力量，隨著價格偏差變大也最終會帶動價格回饋到基準價格.

我們考慮具有兩種異質(zhì)交易者的金融動態(tài)模型，即基本面分析者與技術(shù)分析者.技術(shù)分析者采用GDP過程形成期望，而非簡單的AR(1)過程，因為AR(1)過程在實證分析當中缺乏收益的自相關(guān)性.Chiarella et al.[7]研究中的技術(shù)分析者采用GDP過程，并引入噪聲交易者，用S＆P數(shù)據(jù)進行實證分析，得到了很好的金融市場典型的程式化事實:尖峰厚尾以及波動聚集性，而基本面交易者被假定是通過良好的經(jīng)濟環(huán)境來形成期望，然而預(yù)測的自信度是狀態(tài)相依的，價格偏離基準價格較大，其更傾向于回饋到基準價格，同時，我們考慮市場分數(shù)的變化，Dieci et al.[8]采用時變的市場分數(shù)，考慮了市場情緒與發(fā)展適應(yīng)性.這是對He[9](考慮了市場分數(shù)的情形，即MF模型，被用來解釋金融市場行為的各個方面，并建立隨機模型和其潛在的確定性系統(tǒng)之間的聯(lián)系)的發(fā)展延伸.

1 建立模型

根據(jù) Chiarella et al.[6]的模型

這里假定有兩類投資者，即基本面分析者和技術(shù)分析者，分別用類型1和類型2表示.但我們引入時變的市場分數(shù)，根據(jù)Dieci et al.[10]分別令q1，t，q2，t為投資者的市場分數(shù).假定市場分數(shù)為固定部分和時變部分.在t 時的市場分數(shù)(q1，t，q2，t)表達為

其中，n1和n2=1－n1表示基本面分析者和技術(shù)分析者在時間t的“不改變”投資者的比例.n1，t和n2，t表示時間 t的時變投資者比例.令 n0=n1+n2，m0=(n1－n2)/n0，mt=n1，t－n2，t.

那么市場分數(shù)又可重新寫為

1.1 異質(zhì)期望

下面分析其本面分析者和技術(shù)分析者是如何采用不同的機制形成未來價格的預(yù)期.這里基本面分析者采用相同的價格預(yù)期.對于技術(shù)分析者來說，技術(shù)分析者一方面考慮過去的價格及價格的改變，另一方面他們用移動平均法則，通過比較短期移動平均和長期移動平均形成期望，對移動平均過程加入一個套利滯后長度，所以使用幾何衰減過程(GDP).這樣技術(shù)分析者的期望可以寫為

其中，τt為幾何衰減函數(shù)，ω∈[0，1]為記憶衰減率.ω越大，過去的價格對目前的趨勢影響越大.d代表推斷強度.如果d≥0則稱技術(shù)分析者為追風者，若d＜0則稱其為逆風者.

1.2 動力系統(tǒng)

利用以上分析，基本面分析者和技術(shù)分析者的需求函數(shù)可以寫為

其中，πh，t+1為兩類投資者從 t到 t+1 時期的已知收益，πh，t+1=zh，t(pt+1+yt+1－Rpt)，h=1，2.

遵循Brock and Hommes[3][11]的方法，假定時變投資者的比例由離散選擇模型決定，有

其中，Ch≥0是策略的固定成本，而參數(shù)β是選擇強度用來測度適應(yīng)性理性交易者的比例對最優(yōu)策略的敏感度.記 mt+1=n1，t+1－n2，t+1，那么此時價格制定為

這里令 A1=1/(a1[+])，A2=1/(a2[+]).

以下的動力學(xué)分析是通過假定σε=0來做的，得到了所謂的確定性動力系統(tǒng)模型.

2 映射及其特性

3維確定性動力系統(tǒng)由3維映射 T:(p，τ，m)→(p'，τ'，m')給出:

現(xiàn)在，簡要地討論一下平衡點的穩(wěn)定性、穩(wěn)定性區(qū)域及分支情況.概括為如下定理.

定理2 (i)若ω =0，當0＜μ＜μ*時，基本平衡點是穩(wěn)定的，這里=[n0(1+m0)+(1－n0)(1+]/2=[n0(1－m0)+(1－n0)(1－]/2.另外，在μ = μ*處產(chǎn)生Flip分支.(ii)若0＜ω＜1，由參數(shù)(d，μ)確定的區(qū)域Ω為平衡狀態(tài)的局部漸近穩(wěn)定區(qū)域，Ω =ΩF∪ΩN，這里 ΩF={(d，μ):d≤d0，0＜μ＜μF(d)}，ΩN={(d，μ):d ＞ d0，0＜μ＜μN(d)}，且當d≤d0時，在 μ=μF(d)的邊界上產(chǎn)生Flip分支，當d＞d0時，在μ=μN(d)的邊界上產(chǎn)生Hopf分支.其中

證明在平衡點處的特征方程為λΓ(λ)=λ[λ2－(A+ω+(1－w)B)λ+Aω]=0.其中A=知0是特征根，其它兩個特征根滿足Γ(λ)=λ2－(A+ω+(1－ω)B)λ +Aω =0.

當ω =0時，Γ(λ)=λ[λ－(A+B)]，基本平衡點穩(wěn)定只需滿足－1＜λ =A+B ＜1，即0＜μ ＜，且當λ =A+B=－1時，即μ=μ*時產(chǎn)生Flip分支.

當0＜ω＜1時，由Jury判據(jù)知，特征根在單位圓內(nèi)，即基本平衡點是穩(wěn)定的，需滿足以下條件:(i)Γ(1)＞ 0;(ii)Γ(－1)＞ 0;(iii)ωA＜1.

上述式子成立需1－μA1＞0，則(i)Γ(1)＞0恒成立;(ii)Γ(－1)＞0等價于d≥d1或d＜d1，0＜μ＜ μF(d)，其中(iii)ωA ＜1等價于d≤d2或d＞d2，0 ＜μ ＜μN(d)，其中

當μF(d)= μN(d)時解得d0，有d2＜d0＜ d1，而

因此，穩(wěn)定性條件就降為:當d≤d0時，0＜μ＜μF(d);當d＞d0時，0＜μ＜μN(d).

另外，當μ = μF(d)時，Γ(λ)=0的兩個特征根滿足λ1=－1以及λ2∈(－1，1);當μ = μN(d)時滿足|λ1，2|＜1.因此當d≤d0時，在μ=μF(d)邊界上發(fā)生Flip分支;當d＞d0時，在μ=μN(d)邊界上發(fā)生Hopf分支.

圖1 (d，μ)平面上穩(wěn)定區(qū)域示意圖

圖1畫出了(d，μ)平面上的穩(wěn)定區(qū)域，從分支邊界表達式易得出不同的參數(shù)對穩(wěn)定區(qū)域的影響.即參數(shù)在一定范圍時，增大，β，a1，a2，減小 m0，n0，ω，C，可以使穩(wěn)定區(qū)域增大，反之亦然.

3 結(jié)語

本文研究了在簡單的做市商定價機制下含兩類異質(zhì)期望投資者，即基本面分析者與技術(shù)分析者，并加入了時變的市場分數(shù)的三維離散時間資產(chǎn)價格動力學(xué)模型.所不同的特點是假定基本面交易者擁有經(jīng)濟環(huán)境的良好信息(包括技術(shù)分析者的信念)，并以此形成將來價格的期望，而且當價格偏離基準價格變大時，他們會置更過的權(quán)重于均值回饋到基準價格.這個機制能夠保證當基本平衡點局部不穩(wěn)定時模型的全局穩(wěn)定性，以此避免價格的發(fā)散.并在討論確定性系統(tǒng)時，得到了相應(yīng)的分支邊界以及不同參數(shù)對穩(wěn)定區(qū)域的影響.

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