輔助索接地的簡化索網-阻尼器系統的阻尼和頻率

周海俊， 楊 夏

（深圳大學廣東省濱海土木工程耐久性重點實驗室，廣東深圳518060）

輔助索接地的簡化索網-阻尼器系統的阻尼和頻率

周海俊， 楊 夏

（深圳大學廣東省濱海土木工程耐久性重點實驗室，廣東深圳518060）

索網-阻尼器-接地輔助索系統的振動特性研究對于拉索減振問題具有重要的工程應用價值.本文建立了由2根水平拉索和1根錨固于橋面的輔助索組成的簡化索網系統，將輔助索簡化為線性彈簧單元，基于弦理論，由拉索錨固端的位移邊界條件和阻尼器、輔助索安裝位置處位移及力的連續條件，推導得索網系統的復特征值方程，并由此求得阻尼和頻率的數值解.以3、4階振動模態為例，討論了彈簧剛度、安裝位置對最大模態阻尼比、阻尼器的最優阻尼系數和相應振動頻率的影響.研究結果表明，索網系統的各階模態存在奇數階和偶數階兩種模態，兩種振動模態具有不同的振動特性.隨著輔助索與橋面連接段剛度的增加，最大模態阻尼比可能的取值上限將增加至單索-阻尼器系統的最大模態阻尼比值的2.0～2.4倍，但輔助索可選擇的優化安裝區間則變得更為狹窄和分散.

索網；輔助索；阻尼器；模態阻尼比；頻率

拉索是纜索承重橋梁的重要構件之一，其易在風雨振動［1］等外部激勵下產生劇烈振動.目前，拉索減振是建設斜拉橋，尤其是大跨徑斜拉橋所必須考慮的重要問題之一.為了抑制拉索的振動，工程中常采用安裝機械阻尼器［2-4］、氣動措施［5］、輔助索［6］等措施，同時安裝輔助索和阻尼器可提高拉索的振動頻率和阻尼［7］.Yamaguchi和Nagahawatta進行了簡化索網模型的試驗研究，并運用能量法分析了輔助索提供的模態阻尼比［8］.Sun對三根拉索構成的索網結構進行了實驗研究［9］，結果表明安裝輔助索后拉索模態阻尼增加有限.Caracoglia和Jones運用半解析法研究了索網的面內振動頻率和振動特性［10］，并運用該方法對實橋進行了分析［11-12］.但由于索網系統的振動模態分布密集，涉及參數眾多，索端阻尼器和輔助索兩種減振措施之間如何相互影響仍不清晰，索網-阻尼器系統的減振優化設計方法尚未有效建立.

基于已有的研究成果和本課題組最近的研究［13-14］，本文提出了簡化索網-阻尼器系統，根據復模態分析方法得到了該系統的復特征值方程.通過數值方法求解復特征值方程，進一步研究了輔助索的剛度、安裝位置對索網體系最大模態阻尼比、對應的最優阻尼系數和振動頻率的影響.

1 系統的復特征值方程

簡化索網-阻尼器系統模型如圖1所示，Lj（j＝1，2）為第j根拉索的長度，且L1＝L2＋2Δl，mj為第j根拉索單位長度的質量，Tj為第j根拉索的張力，cj為第j根拉索上附加的阻尼器的阻尼系數，kj為上端與第j根拉索連接的彈簧剛度，被阻尼器和彈簧分開的拉索的長度為ljp（p＝1，2，3），xjp為相應的軸向坐標.

圖1 簡化索網-阻尼器系統Fig.1 Simplified cable-network-damper system

各段拉索的線性運動方程［15］：

式中：yjp（xjp，t）為拉索的豎向位移.

假定無量綱的時間τ＝ωo1t，ωo1＝π／L1（T1／m1）1／2為上索的圓頻率，則各段拉索自由振動的位移可表示為

式中：Yjp（xjp）為復模態振型；λ為系統的復特征值，λ＝α＋iβ，i為虛數單位，β為系統的無量綱振動頻率.

將式（2）代入式（1），得

式中：fj＝ωo1／ωoj為第1根拉索與第j根拉索的頻率比，ωoj＝π／Lj（Tj／mj）1／2為第j根拉索的圓頻率.

系統模態阻尼比為

根據拉索在阻尼器和彈簧安裝位置處位移的連續條件，Yjp（xjp）可表示為

式中：Ajp和Bjp為與拉索振幅相關的待定參數.

由拉索錨固端的位移邊界條件可得

由阻尼器和彈簧安裝位置處位移的連續條件可得

由阻尼器和彈簧安裝位置處力的平衡條件可得

將式（2）和式（5）代入式（6）～（8），并將式（7）～（8）改寫為矩陣形式：

式中：S為復系數矩陣，

Φ為復待定參數向量，

Φ＝［A11A12B12A13A21A22B22A23］T.

要使得Φ≠0，需滿足det［S］＝0，展開可得簡化索網-阻尼器的復特征值方程：

式中：Гjp＝πfjλljp／Lj；Гj＝πfjλ；無量綱阻尼系數ηj＝cj／（Tjmj）1／2；無量綱彈簧剛度γj＝kjLj／πTj；質量張力比νj＝（T1m1／Tjmj）0.5.

對于指定的γj、ηj、ν2、ljp／Lj，可通過數值方法求式（10）得到對應的λ值，將λ值代入式（9）求得對應的待定參數向量后，由式（9）可得對應的模態振型.

2 參數分析

式（10）中包含參數較多，而實際工程中，相鄰兩根拉索的設計參數接近，因此本文假設m1＝m2，T1＝T2，L2／L1＝0.8，c1＝c2，l11／L1＝l21／L2＝2%，則f2＝0.8，ν2＝1，而工程中為節約成本，一般相近拉索取相同的阻尼器系數，故取η1＝η2.下文將分析4個彈簧剛度工況（γ1＝1，γ2＝1；γ1＝10，γ2＝1；γ1＝1，γ2＝10；γ1＝10，γ2＝10）時彈簧安裝位置（l22／L2）變化時，索網結構的單索n階（n為正整數）最大模態阻尼比ξn，max、對應的最優阻尼系數ηn，opt和對應的振動頻率β的變化規律，并與文獻［2］中單索＋阻尼器系統對應參數的迭代解進行對比（在下文的圖中用虛線表示）.

2.1 復特征值方程的解

復特征值方程存在兩個解［10］：βⅠn（2n－1階模態）和βⅡn（2n階模態），當上下兩索等長時，該兩個解分別對應上下兩索同相和反相振動，且βnⅠ值較低，對應的振動模態接近于單索的n階振動模態，βnⅡ值較高，對應的振動模態當γ1較大時以某段索的振動模態為主.當上、下索長不等時，βnⅠ和βnⅡ對應的振型不再一定為同相或反相，但由于實際工程中兩根相鄰拉索的參數相差不大，此時其他相關規律仍然成立.本文以3、4階模態為例分析系統的參數變化規律進行說明，研究表明該變化規律可進一步推廣至其他階模態.圖2所示為γ1＝10，γ2＝1，η1＝η2＝10，l22／L2＝0.2時對應的單索2階同相（3階）和反相（4階）振動模態實部，從圖2中可見上述規律.

圖2 3、4階模態的振型實部（γ1＝10，γ2＝1，η1＝η2＝10，l22／L2＝0.4）Fig.2 Real parts of the 3rd and 4th mode shapes corresponding to βⅠ2and βⅡ2（γ1＝10，γ2＝1，η1＝η2＝10，l22／L2＝0.4）

2.2 最大模態阻尼比

圖3（a）和圖3（b）分別為彈簧取不同剛度的4個工況下彈簧安裝位置變化時的3階模態和4階模態的最大模態阻尼比.

圖3 3、4階模態的最大模態阻尼比與彈簧剛度、安裝位置的關系（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）Fig.3 Maximal damping ratio of the 3rd and 4th modes vs.non-dimensional spring stiffness and location（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）

從圖3可見：

（1）當γ2＝1時，可將模態阻尼比隨著彈簧安裝位置變化分為n個變化區間，這些區間的端點值接近于（l21＋l22）／L2＝i／n（i為小于等于n的非負整數，例如n＝2時，i＝0，1，2）時，在這些區間內，最大模態阻尼比表現出減小-增大-減小的反復變化趨勢.當γ1＝10時，3階模態的最大模態阻尼比的最大值較單索＋阻尼器系統的最大模態阻尼比增加約32%，4階模態的最大模態阻尼的最大值增加約93%.

（2）當γ2＝10時，與γ2＝1時最大模態阻尼比相比，對于3階模態，當彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅠ／n（iⅠ為小于n的正整數，例如n＝2時，iⅠ＝1）附近時，最大模態阻尼比出現“突變”，表現出增加-減小的變化，這些位置處最大模態阻尼比較γ2＝1時的工況對應的最大模態阻尼比大；對于4階模態，當彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅡ／（n＋1）（iⅡ為小于n＋1的正整數，例如n＝2時，iⅡ＝1，2）附近時，最大模態阻尼比“突變”，表現出減小-增加的變化，這些位置處最大模態阻尼比較γ2＝1時的工況對應的最大模態阻尼比小.當γ1由1增加到10時，3階模態的最大模態阻尼比變化幅度較大，4階模態的最大模態阻尼比變化幅度不大.

2.3 對應的最優阻尼系數

圖4（a）和圖4（b）分別為4個不同剛度彈簧的工況下彈簧安裝位置變化時3階模態和4階模態對應的無量綱最優阻尼系數，可見：

（1）當γ2＝1時，同樣可將無量綱最優阻尼系數的變化區間分為2.2中所劃分的變化區間，在這些區間里最優阻尼系數表現出減小-增大的反復變化趨勢.當γ1由1增加到10時，3階模態的最優阻尼系數較單索＋阻尼器系統的最優阻尼系數最大相差僅22%，除跨中和左端點附近外，4階模態的最優阻尼系數較單索＋阻尼器系統的最優阻尼系數小.

（2）當γ2＝10時，與γ2＝1時最優阻尼系數的變化相比，對于3階模態，當彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅠ／n附近時，最優阻尼系數發生“突變”，表現為減小-增加的變化；對于4階模態，當彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅡ／（n＋1）時，最優阻尼系數發生“突變”，表現為增加-減小的變化.當γ1由1增加到10時，3階模態的最優阻尼系數的變化減小；4階模態的最優阻尼系數相差最大值不超過37%.

圖4 對應的3、4階模態最優阻尼系數比與彈簧剛度、安裝位置的關系（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）Fig.4 Optimal damping coefficient of the 3rd and 4th modes vs.non-dimensional spring stiffnessand location（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）

2.4 對應的振動頻率

圖5（a）和圖5（b）分別為彈簧取不同剛度的4個工況下彈簧安裝位置變化時的3階模態和4階模態分別取得最大模態阻尼比時對應的無量綱振動頻率，可見：

（1）當γ2＝1時，同樣可將對應的振動頻率的變化區間分為2.2中所劃分的變化區間，在這些區間里振動頻率表現出增大-減小的變化趨勢.當γ1＝10時，3階模態的振動頻率較單索＋阻尼器系統的振動頻率增加約5%～13%，4階模態的振動頻率較單索＋阻尼器系統的振動頻率增加約24%～49%.

（2）當γ2＝10時，與γ2＝1時最優阻尼系數的變化相比，對于3階模態，當彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅠ／n附近時，振動頻率發生“突變”，表現為增加-減小的變化；對于4階模態，當彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅡ／（n＋1）時，振動頻率發生“突變”，表現為減小-增加的變化.當γ1由1增加到10時，3階模態對應的振動頻率增加約2%～18%，4階模態對應的振動頻率變化很小，相差最大值不超過2%.

圖5 對應的3、4階模態無量綱頻率與彈簧剛度、安裝位置的關系（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）Fig.5 Corresponding frequency of the 3rd and 4th modes vs.non-dimensional spring stiffnessand location（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）

3 結 論

根據復模態分析方法推導了簡化索網-阻尼器系統的復特征值方程，進一步研究了彈簧剛度、安裝位置對索網體系最大模態阻尼比、對應的最優阻尼系數、對應的振動頻率的影響，研究表明：

（1）輔助索與橋面連接段的無量綱剛度為10時，系統的參數變化趨勢較復雜.

（2）輔助索與橋面連接段的無量綱剛度為1時，相比于奇數階模態，增加連接拉索之間輔助索的剛度更能提高偶數階模態最大模態阻尼比可能的取值上限.輔助索與橋面連接段的無量綱剛度為10時，相比于偶數階模態，增加連接拉索之間輔助索的剛度可提高奇數階模態最大模態阻尼比可能的取值上限.

（3）從增加最大模態阻尼比的角度出發，隨著輔助索與橋面連接段的剛度的增加，最大模態阻尼比可能的取值上限增加，但輔助索可選擇的優化安裝區間則變得更為狹窄和分散.

（4）最大模態阻尼比取值較大時對應的最優阻尼系數較單索＋阻尼器系統的優化阻尼系數小，尤其是偶數階模態則小得更多.此時雖不能取得振動頻率可能取得的最大值，但都較單索＋阻尼器系統對應的振動頻率要大.

致謝：本文的研究工作得到深圳市基礎研究計劃項目（JCYJ20120614085454232）的資助.

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（中文編輯：唐 晴 英文編輯：周 堯）

Damping and Frequency of Simplified Cable-Network-Damper System with Cross-Tie Fixed to Ground

ZHOU Haijun， YANG Xia
（Guangdong Provincial Key Laboratory of Durability for Marine Civil Engineering，Shenzhen Uinversity，Shenzhen 518060，China）

The dynamics of cable network with both cross-ties and dampers are important for cable vibration mitigation.A simplified cable-network-damper system was proposed.It is comprised of two parallel cables and a cross-tie fixed on ground.The cross-tie was simplified as linear spring elements.Based on the string theory，the complex frequency equation of the system was deduced according to the boundary conditons at the fixed end of the cables and displacement continuity and force equilibrium equations at the mounting position of the cross-tie.Then the damping and frequency values were derived by numerical iteration.In the cases of the third and fourth vibration modes，effects of spring stiffness and location on the maximum damping ratio，the optimal damping coefficient and the corresponding frequency were analyzed.It is found that there are odd and even modes in the system vibration；and these two modes have different vibration characteristics.With the increasing in the stiffness of the cross-tie fixed on ground，the upper limit of maximum damping value is increased 2.0－2.4 times of the maximum modal damping ratio of a single cable-damper system；however，the optimal cross-tie locations become less and separated.

cable network；cross-tie；damper；damping ratio；frequency

TU311.3

：A

0258-2724（2014）06-0948-06

10.3969／j.issn.0258-2724.2014.06.003

2012-09-09

國家自然科學基金資助項目（51108269）

周海俊（1977－），男，副教授，博士，研究方向為橋梁結構振動控制與監測、結構耐久性等，E-mail：haijun＠szu.edu.cn

周海俊，楊夏.輔助索接地的簡化索網-阻尼器系統的阻尼和頻率［J］.西南交通大學學報，2014，49（6）：948-953.