高速列車齒輪傳動系統參數振動穩定性

黃冠華， 張衛華， 付永佩， 梁樹林， 王興宇

高速列車齒輪傳動系統參數振動穩定性

黃冠華1， 張衛華1， 付永佩1， 梁樹林2， 王興宇2

（1.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都610031；2.中國北車集團長春軌道客車股份有限公司，吉林長春130024）

為了準確表達參數激勵下高速列車齒輪系統振動的穩定性，利用有限元方法得到高速列車齒輪系統時變嚙合剛度，并用傅里葉級數展開進行擬合.考慮齒輪嚙合誤差，建立了高速列車齒輪傳動系統扭轉振動模型.結合多尺度近似解析方法，推導了參激振動下高速列車齒輪系統的近似解析解，得到了系統的穩定性邊界曲線，并分析了影響齒輪傳動系統穩定性的相關因素.研究結果表明：齒輪系統的不穩定性區域隨著列車運行的速度降低總體呈減小趨勢，但是在發生參數共振速度處存在明顯不穩定區域；增大阻尼有利于系統的穩定性，當阻尼系數從0.01增加到0.05時，處于穩定區域的剛度波動幅值從5%增加至20%；增加齒輪的重合度可以減小嚙合剛度的諧波特性，從而增強系統的穩定性.

穩定性；參數振動；齒輪傳動系統；多尺度法；高速列車

高速列車傳動系統一般為齒輪傳動系統，從動輪直接壓裝在車軸上，主動輪采用聯軸節與牽引電機相連，通過齒輪箱懸吊在構架橫梁上［1］.因此，齒輪系統的振動特性將直接影響著高速列車驅動傳動系統的運行性能.在齒輪傳動中，由于參與嚙合的輪齒對數的周期變化，使得齒輪輪齒的綜合嚙合剛度也是周期變化的，所以在動力學模型中體現為周期性時變的彈性剛度.考慮這種因素后，齒輪動力學問題在力學上是參數振動問題，其分析的模型是參數振動方程［2］.

齒輪系統是一種參數振動系統，判定系統穩定性以及影響穩定性的因素是首要問題，眾多齒輪方面的學者在這方面做了大量工作.文獻［3-5］中利用數值方法分析了單自由度齒輪系統的穩定性和穩態響應，模型將齒輪嚙合剛度假設為矩形波和正弦波，揭示了齒輪系統的諧波共振、概周期響應和混沌響應.文獻［6-7］中利用直接積分算法對多自由度齒輪系統的穩定性進行了研究，并探討了通向混沌的雙周期分岔途徑.文獻［8-10］中運用Floquet理論對穩定性尤其是參數穩定性方面也有較多的研究［8-10］.

上述研究主要集中在一般機械領域，針對鐵路車輛，尤其是高速列車傳動系統的研究較少.

高速列車齒輪傳動系統動態響應較為復雜，在特定頻率激勵往往出現超諧共振、亞諧共振等多種參數共振形式，對齒輪傳動系統的服役將產生不利影響，嚴重的會導致系統的共振失效.為了準確表達參數激勵下的高速列車齒輪系統振動穩定性，本文針對某型高速動車組齒輪傳動系統，采用多尺度解析方法對齒輪系統方程作近似展開，得到系統穩定區的近似解析解，給出動力穩定性圖譜，并從系統穩定性角度提出了高速列車齒輪傳動系統參數選取建議.

1 齒輪嚙合動力學模型

1.1 動力學方程

當忽略傳動軸和支撐系統的彈性變形時，可將高速列車齒輪傳動系統簡化處理為齒輪副的扭轉振動系統，如圖1所示，圖中：

θp、θg為主、被動齒輪的扭轉振動角位移；

Ip、Ig為主、被動齒輪的轉動慣量；

Rp、Rg為主、被動齒輪的基圓半徑；

i為傳動比；

e（t）為輪齒嚙合傳遞誤差；

km為嚙合綜合剛度；

cm為嚙合阻尼；

Tp、Tg為作用在主、被動齒輪上的外載荷力矩.

動力學方程可表示為［11］

圖1 齒輪動力學模型Fig.1 Dynamic model of a gear pair

為了消除系統剛性位移，定義系統動態傳遞誤差和靜態傳遞誤差的差值為

將式（1）、（2）相減，得到單自由度系統的動力學方程為

式中：

me為當量質量，

1.2 齒輪嚙合剛度和傳遞誤差

齒輪嚙合剛度的獲取方法有很多種，通常先計算出嚙合剛度的峰值和平均值，然后按嚙合頻率將嚙合剛度簡化成矩形波周期函數，略去高階項后再將其展開成傅里葉級數［12］，即

式中：

Ks為平均剛度；

Kj為剛度波動幅值；

j為剛度有限諧波項數；

φj為相位角；

ωe為齒輪副的嚙合圓周頻率，

ωe＝2πZ1n1／60＝2πZ2n2／60，

其中，

Z1、Z2分別為主、被動輪的齒數，

n1、n2分別為主、被動輪的轉速.

上述方法簡單易用，但是對于輪齒剛度的時變表達不夠精確.事實上，輪齒綜合嚙合剛度定義為使一對或幾對同時嚙合的輪齒在1 mm齒寬上產生1 μm撓度所需的載荷［13］.根據這一定義，建立高速列車輪齒三維實體接觸有限元模型，本文建立的齒輪傳動的輪齒接觸有限元模型如圖2所示.

圖2 輪齒接觸的三維有限元模型Fig.2 3D finite element model of gear pair contact

在可能接觸區域部分進行網格加密，得到的模型共有68 460個單元，86 750個節點.將主動輪和被動輪的齒面定義為接觸對，在齒輪軸線上建立參考點，并在參考點和大小齒輪內圈和剖面間建立耦合約束，將轉矩載荷、約束施加在主動輪和被動輪的參考點上.計算隨時間變化的嚙合輪齒之間彈性變形和受力，得到齒輪嚙合剛度，并采用傅里葉級數對時變剛度進行擬合.

圖3為小齒輪在4 200 r／min轉速下，采用有限元方法和傅里葉級數擬合的齒輪時變嚙合剛度曲線.

輪齒嚙合誤差通常采用齒輪嚙合頻率的傅里葉級數表示［12］，即

式中：

e0、ej分別為齒輪誤差的常數和幅值；

θj為相位角.

1.3 運動方程的無量綱化

將式（4）、（5）代入式（3），令x＝bu（b為特征尺寸），對其進行無量綱化，可得

式中：K1＝Kj／Ks；

圖3 時變嚙合剛度曲線Fig.3 Time-varying curve of mesh stiffness

2 穩定性分析

引入小參數ε，則有：

ξ＝εμ； kj＝εK1.

式（6）的齊次形式可表示為¨u＋2εμ˙u＋

使用多尺度法［14］，討論式（7）的一次近似解.設零次近似方程的解為

式中：

T0、T1、Ti為多尺度法的時間變量；

A為待定的復函數.

一次近似方程表示為

式中：

cc為前面各項的共軛復數.

將式（10）代入到式（9）中，消除久期項，得

設

分離實部和虛部，得

式中：

其中，

b1、b2為常數，

λ為特征值.

特征方程為

由式（13）可知，當λ具有正實部時，系統不穩定，由此可得系統穩定性邊界的臨界曲線方程為

3 實例分析

根據上述結果，對某型高速列車齒輪系統的穩定性進行分析.齒輪副的相關參數如表1所示.

表1 齒輪副參數Tab.1 Parameters of gear couples

圖4（a）為不考慮嚙合阻尼，展開項數j取1～6項時，系統在kj-ˉω平面上的穩定性圖譜，V形區域內為不穩定區域（以下同）.

從圖4（a）可以看出，隨著項數j的增大，嚙合剛度的諧波特性會降低，系統的不穩定性區逐漸減小；在嚙合剛度不變時，隨著參數激勵ˉω的減小，不穩定區域也會減小，出現不穩定區域的重疊.

圖4（b）為相應的速度穩定性圖譜.

從圖4（b）可以看出，齒輪嚙合頻率隨著列車運行速度的降低而減小，不穩定的區域總體呈減小趨勢，但在發生參激振動的轉速時，不穩定的區域明顯更大，在實際運行中應引起注意.

圖4 齒輪系統穩定性Fig.4 Stability of gear system

圖5 為阻尼系數對穩定性的影響.從圖5中可以看出，系統阻尼對穩定性有較大的影響，阻尼可以減小系統的不穩定區域，改善系統的動態特性.當阻尼系數從0.01增加到0.05時，處于穩定區域的剛度波動幅值從5%增加至20%.

從以上分析可以看出，可以通過以下途徑增加高速列車齒輪傳動系統穩定性：降低嚙合諧波剛度比值、合理選取系統的參激頻率（嚙合頻率與固有頻率的匹配）以及增大輪齒的嚙合阻尼.在實際的設計過程中，首先應該保證列車常用的運行速度避開固有頻率與嚙合頻率容易發生參激共振時的轉速（從圖4（b）看應盡量避免240 km／h的常速行駛），增大嚙合阻尼主要依靠材料的選取或采用附加阻尼的方式，降低嚙合諧波剛度比值可以通過增大齒輪的嚙合重合度.

式（15）是端面重合度與嚙合剛度均值的表達式［15］，

式中：

εα為端面重合度；

c′為單對齒剛度.

圖6為端面重合度分別取1.2和1.9時，采用數值直接積分對式（6）進行求解得到的位移隨時間變化圖，從圖中可以看出，當端面重合度分別取1.2和1.9時，系統趨于不穩定和穩定，這也是高速列車齒輪系統參數設計中普遍采用高重合度的原因.

圖5 不同阻尼下齒輪系統參數振動穩定性Fig.5 Parametric vibration stability of gear system with different dampings

圖6 不同端面重合度系統時間歷程圖Fig.6 Dynamic response time history of gear system with different transverse contact ratios

4 結 論

本文從理論上分析了高速列車齒輪系統在參數時變嚙合剛度下的穩定性問題，通過對時變嚙合剛度的傅里葉展開，運用非線性多尺度近似解析方法得到了齒輪系統的穩定性圖譜，從系統穩定性的角度得到了齒輪設計時應考慮參激頻率、剛度的諧波特性以及嚙合阻尼三方面因素，主要結論如下：

（1）齒輪系統的不穩定性區域隨著列車運行的速度降低總體呈減小趨勢，但是在參激頻率處存在明顯不穩定區域，應根據系統的固有頻率合理地制定運營速度.

（2）系統的阻尼比和嚙合剛度的諧波分量對系統的穩定性影響較大.增大阻尼有利于系統的穩定性，通過增加齒輪嚙合的重合度可以減小嚙合剛度的諧波特性，從而減小系統的不穩定區域，當端面重合度從1.2增加到1.9，對系統直接數值積分也驗證了這一結果.

（3）文中從穩定性的角度分析了齒輪嚙合引起的參數振動，分析模型可為高速列車驅動傳動系統動力學等研究提供借鑒.

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（中文編輯：秦 瑜 英文編輯：蘭俊思）

Stability Analysis of Parametric Vibration for Gear Transmission System in High-Speed Train

HUANG Guanhua1， ZHANG Weihua1， FU Yongpei1， LIANG Shulin2， WANG Xingyu2
（1.State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2.CNR，Changchun Railway Passenger Vehicle Company，Changchun 130024，China）

In order to study the stability of the gear transmission system in high-speed trains，a dynamic model describing the torsional vibration behaviors of the gear system was developed.In this model，the time-varying mesh stiffness of meshing teeth pairs was calculated through finite element analysis，and the mesh stiffness and transmission error were expanded using the technique of Fourier series.Based on this model，the multiple scales method was used to solve the nonlinear differential equations of gear systems，and the approximate analytical solution and transition curves that separate stable from unstable regions were obtained.In addition，the main factors that influence the stability were discussed.The results show that the unstable regions decrease with the decrease of the train＇s running speed，but an unstable region always exists at the speed where parametric resonance occurs；increasing the damping is effective to reduce the unstable regions：as the damping increases from 0.01 to 0.05，the amplitude of mesh stiffness fluctuation in stable regions increases from 5%to 20%；and，an increase in the contact ratio can help suppress the harmonic characteristics of mesh stiffness so as to improve the stability of system.

stability；parametric vibration；gear transmission system；method of multiple scales；high-speed train

U270.1

：A

0258-2724（2014）06-1010-06

10.3969／j.issn.0258-2724.2014.06.012

2013-09-18

國家自然科學基金和鐵道部高速鐵路基礎研究基金聯合資助項目（U1234208）

黃冠華（1987－），男，博士研究生，研究方向為高速列車傳動系統動力學，E-mail：hgh7735＠126.com

黃冠華，張衛華，付永佩，等.高速列車齒輪傳動系統參數振動穩定性［J］.西南交通大學學報，2014，49（6）：1010-1015.