淺談數(shù)形結(jié)合在解不等式中的應(yīng)用

陳海志

【摘要】本文通過(guò)不等式問(wèn)題與幾何圖形、絕對(duì)值問(wèn)題與圖形等幾方面闡述數(shù)形結(jié)合解題的策略以及思維的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)了學(xué)生的辨證唯物主義觀點(diǎn)，使他們更加認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)內(nèi)容中普遍存在對(duì)立統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】抽象思維與直觀思維 函數(shù)與圖形 拋物線與不等式 絕對(duì)值函數(shù)與圖形 對(duì)立統(tǒng)一

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）11 -0219-02

數(shù)形結(jié)合是一種很重要的數(shù)學(xué)解題思維 ，它的實(shí)質(zhì)就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形精密相聯(lián)系，使抽象思維與形象思維有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，將問(wèn)題由抽象化為形象，通過(guò)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、數(shù)形的轉(zhuǎn)化從而化難為易，本文就如何運(yùn)用“數(shù)形相結(jié)合”解不等式或不等式組作初步的探討：

一、代數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題，證明一類(lèi)三角不等式

例1 求證：sinA+cosA>1 （∠A是銳角）

證明：構(gòu)造直角ABC，

∠C=90。，令斜邊長(zhǎng)為1，則

邊BC表示sinA ，邊AC表示

cosA，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可證得：sinA+cosA > 1

當(dāng)學(xué)生“山窮水盡時(shí)”時(shí)，通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，往往“柳暗花明又一村”，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓廣視野。

二、利用拋物線圖像，數(shù)形相結(jié)合，解一元二次不等式

例2，解不等式： x2-2x-8≤ 0

分析：本例實(shí)際可轉(zhuǎn)化為：當(dāng) x 取

何值時(shí)，二次函數(shù) y=x2-2x-8的函數(shù)值

為非正數(shù)？

解：由 x2-2x-8=0 得：x1=-2， x2=4 ，

故y=x2-2x-8 的大致圖圖像如上圖所示，從而很直觀地就能判斷不等式 x2-2x-8≤0的解集應(yīng)為：-2≤x≤4

很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果相同，只是設(shè)問(wèn)不同，通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了多題一解，讓學(xué)生把數(shù)學(xué)學(xué)“活”，能起到舉一返三的教學(xué)效果。

三、利用兩圖像的交點(diǎn)，數(shù)形相結(jié)合，解一元二次不等式組

例3、解不等式組

解：由 x2-7x+10=0

得 x1=2 x2=5

由x2 -11x+24 =0 得

x1=3 x2=8

故 y=x2-7x +10和 y=x2-11x

+24的大致圖像如圖所示，從而

由觀察可得原不等式組的解集

為： 3

例4，解不等式組

解：利用上面例3所求的結(jié)果。

可知原不等式組的解集應(yīng)為： 5

一元二次方程組的求解，如果按

常規(guī)解法，就是把原每個(gè)不等式的解

集求出來(lái)，再找出公共解集，出錯(cuò)率

很高，利用數(shù)形相結(jié)合，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用圖像法，直觀性很強(qiáng)，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和思維能力。

四、把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，利用對(duì)稱(chēng)性，形相結(jié)合，解帶根號(hào)的不等式

例5 已知： a 、 b 均為小于1的正數(shù)，

求證：

分析：若單從代數(shù)方

面去研究，很難落筆，根

據(jù)題目的特征，可把原題

轉(zhuǎn)化為下面的幾何題，利

用對(duì)稱(chēng)性，本題不難求解，

在邊長(zhǎng)為 1的正方形中，E、F、G、H分別

為邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，并且AE=DG=a， AH=BF=b.

求證：EF+FG+GH+HE≥2

分析： 如圖，延長(zhǎng)BA到M，使AM=AE=a則點(diǎn)E與M關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng)，這樣，GH=HE的最短長(zhǎng)度是GM的長(zhǎng)度，此時(shí)由于AE=AM=DG=a，易證得H為AD的中點(diǎn)，同理可得點(diǎn) E關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，這樣EF+FG最短長(zhǎng)度是線段GN的長(zhǎng)度，從而EF+FG+GH+HE的最短長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為求GM+GN的最短長(zhǎng)度，同理可作N關(guān)于DC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K，當(dāng)點(diǎn)M、G、K成一直線GM+GK的長(zhǎng)度最短，此時(shí)易證得G為CD的中點(diǎn)，即： EF+FG+GH + HE≥GM + GN≥MK，易求得MK≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立。

五、利用函數(shù)圖像，數(shù)形相結(jié)合，解決含絕對(duì)值的問(wèn)題

例6、若關(guān)于x的方程|x2-4|=b至少有三個(gè)實(shí)數(shù)解，求b的取值范圍

分析：如果分類(lèi)討論，復(fù)雜得多，

如果把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合，運(yùn)用

圖像法，很直觀地得出b的取值范圍。

把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若y=|x2-4|與y=b至少

有三個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍。

y=|x2-4|的圖像是一條“W”形的

圖形，y=b是一條垂直于y軸的一條

直線，當(dāng)兩個(gè)圖像至少有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是0

綜上所述，轉(zhuǎn)化思想是基本的數(shù)學(xué)思想方法之一， 各種問(wèn)題都是相互聯(lián)系的， 在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，在課堂教學(xué)還是課余輔導(dǎo)，都要誘導(dǎo)學(xué)生研究問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，尋求轉(zhuǎn)化方向。轉(zhuǎn)化方法很多，而數(shù)形相結(jié)合思維將抽象的問(wèn)題直觀化，充分體現(xiàn)了解題方法的靈活性、可變性，不僅培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新解題思維，而且培養(yǎng)了學(xué)生的辨證唯物主義觀點(diǎn)，使他們更加認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)內(nèi)容中普遍存在對(duì)立統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)。

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