《指數函數的圖像及其性質》的圖形計算器教學設計

朱謙友

一、教學內容分析

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學（1）》（蘇教版）《2.2.2指數函數的圖像及其性質》。根據我所任教的學生的實際情況，我將這部分劃分為兩節課（探究概念圖像及其性質，指數函數及其性質的應用），這是第一節課“探究概念圖像及其性質”。 指數函數是重要的基本初等函數之一，作為常見函數，它不僅是今后學習對數函數和冪函數的基礎，同時在生活及生產實際中也有著廣泛的應用，所以指數函數應重點研究，對知識起到了承上啟下的作用。

二、學生學情分析

指數函數是在學生系統學習了函數概念，基本掌握了函數的性質的基礎上進行研究的，是學生對函數概念及性質的第一次應用。教材在之前的學習中給出了兩個實際例子（古蓮子的年代問題和炭14的衰減問題），已經讓學生感受到指數函數的實際背景，但這兩個例子背景對于學生來說有些陌生。本節課先設計一個看似簡單的問題，通過超出想象的結果激發學生學習新知的興趣和欲望。進一步研究指數函數，以及指數函數的圖像與性質，可以進一步深化學生對函數概念的理解與認識，使學生得到較系統的函數知識和研究函數的方法，同時也為今后進一步熟悉函數的性質和作用，研究對數函數及等比數列的性質打下堅實的基礎。

三、設計思想

（一）函數及其圖像在高中數學中占有很重要的位置。如何突破這個既重要又抽象的內容，其實質就是將抽象的符號語言與直觀的圖像語言有機結合起來，通過具有一定思考價值的問題，激發學生的求知欲望，維持持久的好奇心。本節課，力圖讓學生從不同角度研究函數，對函數進行全方位研究，并通過對比總結得到研究的方法，讓學生體會這種的研究方法，以便能將其遷移到其他函數的研究中。

（二）結合參加我校組織的市級課題《高中數學實驗教學的實踐研究》的研究，在本課教學中我努力實踐以下兩點。

1.在課堂活動中，利用圖形計算器幫助學生學習，通過同伴合作、自主探究培養學生積極主動、勇于探索的學習方式。

2.在教學過程中努力做到生生對話、師生對話，并且在對話之后重視體會、總結、反思，力圖在培養和發展學生數學素養的同時讓學生掌握學習、研究數學的方法。

（三）通過圖形計算器與學生的課堂活動，通過學生自我動手、自我實驗，培養學生的學習能力，增強數學學習的趣味性和生動性。

四、教學目標

根據任教班級學生的實際情況，本節課我確定的教學目標是：

知識與能力：通過實際問題了解指數函數的實際背景，理解指數函數的概念;掌握指數函數的圖像及性質，并能解決簡單的數學問題。

過程與方法：通過觀察圖像，分析、歸納、總結，自主構建指數函數的性質。體會數形結合和分類討論思想及從特殊到一般等學習數學的方法 ，增強識圖用圖的能力，培養學生發現、分析、解決問題的能力。

情感態度與價值觀：在指數函數的學習過程中，使學生獲得研究函數的規律和方法;通過圖形計算器的運用，培養學生自我動手、自我實驗、合作交流的意識，培養學生善于觀察、用于探索的良好習慣和嚴謹的科學態度。

五、教學重點與難點

教學重點：指數函數的概念、圖像和性質。

教學難點：對底數的分類，如何由圖像、解析式歸納指數函數的性質。

六、教學策略分析

（一）本節是指數函數及其性質概念課，以學生為主體，注重學法指導，重視新舊知識的契合，關注知識的類比，學習方法的遷移。

（二）抓住學生的好奇心，將娛樂“計算米粒”與數學有機結合在一起，利用圖形計算器，通過學生自我動手、自我實驗，增強數學學習的趣味性和生動性。

（三）通過讓學生給函數命名，舉幾個指數函數例子這個小環節，增強學生對指數函數本質的理解，激發學習興趣，概念的得出可謂“潤物細無聲”。

（四）在研究指數函數的性質時，通過提問的方法，讓學生明白研究函數可以從圖像和解析式這兩個不同的角度進行出發，將學生的注意力引向本節的第二個知識點——圖像及其性質。設計中將學生進行分組，通過學生自主探究、合作學習，側重對解析式、作圖像探索。學生的上臺報告，老師借助圖形計算器的直觀圖形，以形助數，以數定形，數形結合的數學方法，收到了較好的研究效果。

七、教學過程

（一）創設情境，提出問題。

師：如果讓1號同學準備2粒米，2號同學準備4粒米，3號同學準備6粒米，4號同學準備8粒米，5號同學準備10粒米……按這樣的規律，51號同學該準備多少米？

學生回答后教師公布事先估算的數據：51號同學該準備102粒米，大約5克重。

師：如果改成讓1號同學準備2粒米，2號同學準備4粒米，3號同學準備8粒米，4號同學準備16粒米，5號同學準備32粒米……按這樣的規律，51號同學該準備多少米？

師：大家能否估計一下，51號同學該準備的米有多重？

教師公布事先估算的數據：51號同學所需準備的大米約重1.2億噸。

師：1.2億噸是一個什么概念？根據2007年9月13日美國農業部發布的最新數據顯示，2007—2008年度我國大米產量預計為1.27億噸。這就是說51號同學所需準備的大米相當于2007—2008年度我國全年的大米產量。

【設計意圖：用一個看似簡單的實例，為引出指數函數的概念做好準備;同時通過與一次函數的對比讓學生感受指數函數的爆炸增長，激發學生學習新知的興趣和欲望。】

在以上兩個問題中，每位同學所需準備的米粒數用y表示，每位同學的座號數用x表示，y與x之間的關系分別是什么？

學生很容易得出y=2x（x∈N■）和y=2■（x∈N■）.

（二）師生互動，探究新知。

1.指數函數的定義

師：其實，在本章開頭的問題2中，也有一個與y=2■類似的關系式y=1.073■（x∈N■，x≤20）

（1）讓學生思考討論以下問題（問題逐個給出）（約3分鐘）。

①y=2■（x∈N■）和y=1.073■（x∈N■，x≤20）這兩個解析式有什么共同特征？

②它們能否構成函數？

③是我們學過的哪個函數？如果不是，你能否根據該函數的特征給它起個恰當的名字？

【設計意圖：引導學生從具體問題、實際問題中抽象出數學模型。學生對比已經學過一次函數、反比例函數、二次函數，發現y=2■，y=1.073■是一個新的函數模型，再讓學生給這個新的函數命名，由此激發學生的學習興趣。】

引導學生觀察，兩個函數中，底數是常數，指數是自變量。

師：如果可以用字母代替其中的底數，那么上述兩式就可以表示成y=a■的形式。自變量在指數位置，所以我們把它稱作指數函數。

（2）讓學生討論并給出指數函數的定義（約6分鐘）。

對于底數的分類，可將問題分解為：

①若a<0會有什么問題？（如a=-2，x=■則在實數范圍內相應的函數值不存在。）

②若a=0會有什么問題？（對于x≤0，a■都無意義）

③若a=1又會怎么樣？（1■無論x取何值，它總是1，對它沒有研究的必要。）

師：為了避免上述各種情況的發生，所以規定a>0且a≠1.

在這里要注意生生之間、師生之間的對話。

【設計意圖 ：①對指數函數中底數限制條件的討論可以引導學生研究一個函數應注意它的實際意義和研究價值;②討論出a>0，且a≠1也為下面研究性質時對底數的分類做準備。】

接下來教師可以問學生是否明確了指數函數的定義，能否寫出一兩個指數函數？教師也在黑板上寫出一些解析式讓學生判斷，如y=2×3■，y=3■，y=-2■。

【設計意圖 ：加深學生對指數函數定義和呈現形式的理解。】

2.指數函數的圖像與性質

（1）提出兩個問題（約3分鐘）。

①目前研究函數一般可以包括哪些方面？

【設計意圖：讓學生在研究指數函數時有明確的目標：函數三個要素（對應法則、定義域、值域）和函數的基本性質（單調性、奇偶性）。

②研究函數（比如今天的指數函數）可以怎么研究？用什么方法、從什么角度研究？】

可以從圖像和解析式這兩個不同的角度進行研究;可以從具體的函數入手（即底數取一些數值）;當然也可以用列表法研究函數，只是今天我們所學的函數用列表法不易得出此函數的性質，可見具體問題要選擇適當的方法進行研究才能事半功倍。還可以借助一些數學思想方法思考。

【設計意圖：①讓學生知道圖像法不是研究函數的唯一方法，由此引導學生可以從圖像和解析式（包括列表）不同的角度對函數進行研究;

②對學生進行數學思想方法（從一般到特殊再到一般、數形結合、分類討論）的有機滲透。】

（2）分組活動，合作學習（約8分鐘）。

師：好，下面我們就從圖像和解析式這兩個不同的角度對指數函數進行研究。

①讓學生分為兩大組，一組從解析式的角度入手（不畫圖）研究指數函數，一組借助圖形計算器的操作從圖像的角度入手研究指數函數。

②每一大組再分為若干合作小組（建議4人一小組）。

③每組都將研究所得到的結論或成果寫出來以便交流。

【學情預設：考慮到各組的水平可能有所不同，教師應巡視，對個別組可做適當指導。】

【設計意圖：通過自主探索、合作學習不僅讓學生充當學習的主人，更可加深對所得到結論的理解。】

（3）交流、總結（約10～12分鐘）。

教師在巡視過程中應關注各組的研究情況，此時可選一些有代表性的小組上臺展示研究成果，并對比從兩個角度入手研究的結果。

教師可根據上課的實際情況對學生發現、得出的結論進行適當的點評或要求學生分析。

師：各組除了研究過定義域、值域、單調性、奇偶性外，還是否得到一些有價值的副產品呢？（如：過定點（0，1），y=a■與y=（■）■的圖像關于y軸對稱）

師：下面我們開一個成果展示會！y=2■，y=10■，y=（■）■，y=（■）■.

【設計意圖： ①函數的表示法有三種：列表法、圖像法、解析法，通過這個活動，讓學生知道研究一個具體的函數可以也應該從多個角度入手，從圖像角度研究只是能直觀地看出函數的一些性質，而具體的性質還是要通過對解析式的論證;特別是定義域、值域更是可以直接從解析式中得到的。

②讓學生上臺匯報研究成果，讓學生有種成就感，同時還可訓練其對數學問題的分析和表達能力，培養其數學素養。

③對指數函數的底數進行分類是本課的一個難點，讓學生在討論中自己解決分類問題使該難點的突破顯得自然。】

師：從圖像入手我們很容易看出函數的單調性，奇偶性，以及過定點（0，1），但定義域、值域卻不可確定;從解析式（結合列表）可以很容易得出函數的定義域、值域，但對底數的分類卻很難想到。

教師通過圖形計算器中“動態圖”模塊，改變參數a的值，追蹤y=a■的圖像，在變化過程中，讓全體學生進一步觀察指數函數的變化規律。

師生共同總結指數函數的圖像和性質，教師可以邊總結邊板書。

（三）鞏固訓練。

例1：已知指數函數f（x）=a■（a>0，且a≠1）的圖像經過點（3，π），求f（0），f（1），f（-3）的值。

【設計意圖：通過本題加深學生對指數函數的理解。】

師：根據本題，你能說出確定一個指數函數需要什么條件嗎？

師：從方程思想來看，求指數函數就是確定底數，因此只要一個條件。

【設計意圖：讓學生明確底數是確定指數函數的要素，同時向學生滲透方程的思想。】

例2：（1）同時畫出y=2■、y=（■）■與y=3■和y=（■）■的大致圖像，觀察并思考y=a■和y=（■）■圖像之間的一般結論？

學生活動：通過學生利用圖形計算器進行探索研究，歸納出結論。

（2）同時畫出y=2■、y=2■、y=2■的圖像，思考它們圖像間的關系？

【設計意圖：①讓學生再一次感受圖形的美，直觀感受圖形之間的聯系（也可以從解析式角度進行）。

②突出數形結合思想的優勢，強調各種研究數學的方法之間的聯系，相互作用，才能融會貫通。】

（四）提升總結。

師：通過本節課的學習，你對指數函數有什么認識？你有什么收獲？

【設計意圖：①讓學生再一次復習對函數的研究方法（可以從也應該從多個角度進行），讓學生體會本課的研究方法，以便能將其遷移到其他函數的研究中。

②總結本節課中所用到的數學思想方法。

③強調各種研究數學的方法之間既有區別又有聯系，相互作用，才能融會貫通。】

（五）作業：課本59頁習題2.1A組第5題。

八、教學反思

（一）本節課改變了以往常見的函數研究方法，讓學生從不同的角度研究函數，對函數進行全方位的研究，不僅是通過對比總結得到指數函數的性質，更重要的是讓學生體會到對函數的研究方法，以便能將其遷移到其他函數的研究中，教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚”。

（二）在教學中借助圖形計算器可以彌補傳統教學在直觀感、立體感和動態感方面的不足，可以很容易地化解教學難點、突破教學重點、提高課堂教學效率，本課使用圖形計算器可以動態地演示出指數函數的底數的動態過程，讓學生自我動手、自我實驗，直觀觀察底數對指數函數單調性的影響，進而讓學生自己得到指數函數圖像的規律與特點。既使學生學到了知識，又培養了學生的學習能力，增強了學生數學學習的趣味性和生動性。

（三）在教學過程中不斷向學生滲透數學思想方法，讓學生在活動中感受數學思想方法之美、體會數學思想方法之重要，部分學生還能自覺地運用這些數學思想方法分析、思考問題。