Boussinesq-Burgers方程的達布變換及其計算機機械化實現

李拔萃

（中共遼寧省撫順市委黨校 公共管理教研室，遼寧 撫順 113006）

Boussinesq-Burgers方程的達布變換及其計算機機械化實現

李拔萃

（中共遼寧省撫順市委黨校 公共管理教研室，遼寧 撫順 113006）

Boussinesq-Burgers方程是孤立子理論中的一個重要的方程，在物理學中有許多應用。本文構造出Boussinesq-Burgers方程的一個新的達布變換。利用這個達布變換，在符號計算軟件Maple的幫助下，可以得到該方程新的孤子解。

Boussinesq-Burgers方程；達布變換；符號計算軟件；孤子解

孤立子理論在自然科學的眾多領域中扮演著非常重要的角色。一方面它在量子場論、粒子物理、凝聚態物理、流體物理、等離子體物理和非線性光學等物理學的各個分支及數學、生物學、化學、通信等各自然科學領域得到了廣泛的應用；另一方面它極大地促進了一些傳統數學理論的發展，為非線性偏微分方程提供了求解顯示解的方法。孤立子理論中構造非線性偏微分方程精確解的方法有齊次平衡法、Tanh函數法、反散射方法、雙線性變換法、李群法和達布變換法等等[1-6]。其中達布變換法是尋找孤子解的一種有力工具[7-9]。本文考慮重要的Boussinesq-Burgers方程，構造出一個新的達布變換，利用這個達布變換在符號計算軟件Maple的幫助下以獲得Boussinesq- Burgers方程新的孤子解。

2 Boussinesq-Burgers方程的達布變換

Boussinesq-Burgers方程

考慮如下譜問題的Lax對

其中u和v是兩個位勢，λ是譜參數。

3 Boussinesq Burgers方程的孤立子解

已證明的定理表明變換(4)式把舊的譜問題(2)-(3)式變換成了相同的譜問題(7)-(8)式。因此若(u,v)是Boussinesq-Burgers方程的一組解，則由變換(15)式確定的也是Boussinesq-Burgers方程的解。

現在取Boussinesq-Burgers方程(1)的一組平凡解u=0，v=-1作為種子代入到Lax對(2)-(3)式中，可求得其兩個基本解

再由(10)式可以求得a，c，d。最后根據(15)式得到Boussinesq-Burgers方程的一組新的精確解

4 總結

本文通過構造Boussinesq-Burgers方程一個新的達布變換，并利用這個達布變換在符號計算軟件Maple的幫助下獲得了該方程的新的孤子解。這些解不僅是利用其它方法所得不到的，也是其它文獻中所沒有的，而且有重要的物理意義，可以合理地解釋相關的自然現象，很好地描述各種物理現象，比如振動、傳播波等。

[1] 古超豪,胡和生,周子翔.孤立子理論的達布變換及其幾何應用[M].上海:上海科學技術出版社,1999:55-59.

[2] 李志斌.非線性數學物理方程的行波解[M].北京:科學出版社,2007:2-7.

[3] 范恩貴.可積系統與計算機代數[M].北京:科學出版社,2004: 105-107.

[4] Yufeng Zhang, Zhonglong Zhao, Guangming Wang. On generating linear and nonlinear integrable systems with variable coefficients[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 244 (2) 672–682.

[5] ZHANG Yu-Feng, Hon-Wah Tam. Generation of Nonlinear Evolution Equations by Reductions of the Self-Dual Yang–Mills Equations[J]. Commun. Theor. Phys., 2014, 61 (2): 203-206.

[6] Bacui Li, Yufeng Zhang. Explicit and exact travelling wave solutions for Konopelchenko-Dubrovsky equation[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2008, 38(4): 1202-1208.

[7] Fan E G. Solving Kadomtsev-Petviashvili Equation via a New Decomposition and Darboux Transformation[J]. Commun. Theor. Phys., 2010, 37(2): 145-148.

[8] Li Y S, Zhang J E. Darboux transformations of classical Boussinesq system and its multi-soliton solutions[J]. Physics Letters A, 2010, 284(3): 253-258.

[9] Yan Z Y, Zhang H Q. New Auto-Darboux Transformation and Explicit Analytic Solutions for the Generalized KdV Equation with External Force Term[J]. Journal of Mathematical Research & Exposition, 2001, 21(1): 323-328.

（責任編輯、校對：趙光峰）

Darboux Transformation for the Boussinesq-Burgers Equation and Computerized Mechanization

LI Ba-cui

(Department of Public Management, Party School of CPC Fushun Municipal Committee, Fushun 113006, China)

Boussinesq-Burgers equation is a significant equation in soliton theory. There are many applications in physics. In this paper, we construct a new Darboux transformation for the Boussinesq-Burgers equation. By means of this Darboux transformation and with the aid of symbolic computation software, many new solitary solutions are obtained.

Boussinesq-Burgers equation; Darboux transformation; symbolic computation software; solitary solution

O175.29

A

1009-9115(2015)02-0010-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2015.02.003

2015-03-05

李拔萃（1983-），女，遼寧撫順人，碩士，講師，研究方向為孤立子理論 數學機械化。