Schur補為零的2×2分塊矩陣的Drazin逆

董鵬飛,董鵬達

（1.呼和浩特民族學院 數(shù)學系；內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古路橋有限責任公司 第四工程處，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010052）

1 引言

若矩陣A∈Cn×n,A的Drazin逆是滿足

Ak+1X=Ak,XAX=X,AX=XA.的矩陣X∈Cn×n,其中k是使得rank(Ak)=rank(Ak+1)的最小的非負整數(shù),記k=Ind(A)為A的指標.

特別地,當Ind(A)=1,則稱X為A的群逆,記作X=A#.若A#存在,則它是唯一的.如果A是非奇異的,則易知Ind(A)=0且 AD=A-1.本文中令Aπ=I-AAD.

Drazin逆的理論在許多領域有著廣泛的應用,例如差分方程,統(tǒng)計,馬爾科夫鏈,數(shù)值分析和控制理論等等[1-6].

1979年,Campbell討論了AD在求奇異常系數(shù)矩陣差分方程解中的應用,提出了"(A,D是方陣)形式分塊矩陣的Drazin逆(群逆)表達式的open問題,由于此問題難度很大,至今仍沒有被完全解決.

1983年,Campbell研究了下面兩類奇異微分方程的解,提出了系數(shù)矩陣的Drazin逆與方程解的關系.

一階微分方程:

其中E是奇異矩陣，t≥0.

假設存在λ使得λE+A是非奇異的,令x(t)=eλtz(t),E1=(λE+A)-1E,則(1)等價于

得到解的表達形式

其中 A1=(λE+A)-1A=I-λE1，x(0)∈Cn為初始條件.

二階微分方程：

其中E是奇異矩陣,t≥0.

假設存在λ使得λ2E+λF+G和G是非奇異的,令x(t)=eλ-tz(t),則方程(4)等價于

其中 E2=(λ2E+λF+G)-1(2λE+F)，F(xiàn)2=(λ2E+λF+G)-1E.

由(1),(2),(3)得(4)的解為

學者們在一些特殊情況下研究的2×2分塊矩陣Drazin逆的表達式問題中,有關斯舒爾補的結(jié)果如下:

(1)CAπ=0,AπB-0,斯舒爾補 S=D-CADB=0[5];

(2)AπC=0,BAπ=0,斯舒爾補 S=D-CADB非奇異[6];

(3)CAπB=0,AAπ=0,斯舒爾補S=D-CADB非奇異或為零[7].

2 引理

引理2.1[8]令∈Cn×n,D∈Cp×p.則

引理 2.2[9]令 A，B∈Cn×n,若 AB≠BA,則(AB)D=A((BA)2)DB.

引理 2.3[10]令M∈Cn×n,若F和G分別是m×n和n×m矩陣,其中m≥n且G×F=In,則(FMG)D=FMDG.

3 定理

若 S=D-CADB=0,ABC=0,CAπ=0,則

證明 因為

由引理2.1,得

下面只需求出(A+BCAD)D即可.由引理2.2,得

代入(6),有

將(7)代入(5),得

即

從而,此定理得證.

4 數(shù)值例子

滿足條件S=D-CADB=0,ABC=0,CAπ=0.通過計算得

AD因此,將AD代入定理3.1,我們得

到

〔1〕S.L.Campbell,C.D.Meyer,Generalized Inverse of Linear Transformations[R],Pitman,London,1979.

〔2〕S.L.Campell.The Drazin inverse and systems of second order linear differential equations[J].Linear and Multilinear Algebra,14(1983):195-198.

〔3〕A.Ben-Isral,T.N.E.Greville,Generalized Inverse:Theory and Applications[R].Wiley,New York,1974.

〔4〕J.J.Climent,M.Neumann,A.Sidi,A sem i-iterativemethod for real spectrum singular linear systems with an arbitrary index[J].Comput.Appl.Math.,87(1997):21-38.

〔5〕J.M iao,Results of Drazin inverse of a block matrices[J].J.Shanghai Normal University,18(1989):25-31.

〔6〕Y.Wei,Expressions for the Drazin inverse of a block matrix[J].Linear and Multilinear Algebra,45(1998):131-146.

〔7〕R.Hartw ig,X.Li,Y.Wei,Representations for the Drazin inverse of a block matrix[J].SIAM J.Matrix.Anal.Anal.Appl.27(2006):757-771.

〔8〕S.L.Campbell,Linear systems of differential equations with singular cofficients[J].SIAM J,Math.Anal.8(1977):76-81.

〔9〕X.Li,Y.Wei,A note on the representations for the Drazin inverse for a class of 2×2 block matrices[J].Linear Algebra Appl.,423(2007):332-338.

〔10〕N.Castro-González,E.Dopazo,J.Robles,Formulas for the Drazin inverse of special block matrices[J].Appl.Math.Compute.,174(2006):252-270.