復小波分解聯合SVD提取振動信號非平穩特征*

趙 玲，劉小峰，婁 路（.重慶交通大學信息科學與工程學院 重慶，400074）（.重慶大學機械傳動國家重點實驗室 重慶，400044）

復小波分解聯合SVD提取振動信號非平穩特征*

趙 玲1，劉小峰2，婁 路1
（1.重慶交通大學信息科學與工程學院 重慶，400074）（2.重慶大學機械傳動國家重點實驗室 重慶，400044）

針對齒輪箱故障信號的多分量多頻調制特點，提出了一種基于奇異值分解的最優小波解調技術。首先，采用小波變換的最小Shannon熵作為時間尺度分辨率的度量指標，將其應用到Morlet分析小波的參數優化選擇中；其次，對常規小波參數選擇方法進行了改進，利用奇異值分解技術對最優小波變化尺度進行了迭代搜索。該方法可以很好地降低噪聲信號，有效提取信號中的周期成分，具有較好的瞬態信息提取能力。試驗結果也表明了該方法在齒輪箱故障特征提取中的重要性以及降噪方法的有效性。

奇異值分解；連續小波變換；參數選擇；特征提取

引 言

利用振動信號的診斷方法是故障診斷技術中最有效的方法之一。設備早期故障信號包含尖峰、突變的非平穩信號，還可能包含非平穩的白噪聲，這些是信號的高頻部分［1-2］。受到設備運行環境、電磁干擾和采樣儀器的限制，采集到的數據中不可避免地含有噪聲。由于信號中包含的故障信息一般較弱，常淹沒在噪聲信號中，所以必須對信號進行消噪處理，需要在消除噪聲所表現的高頻量的同時，保留反映信號突變部分的高頻量。

解析小波變換是一種特殊的連續小波變換，其小波參數的選擇非常靈活，在低頻段具有細致的信號刻畫能力，可以有效分析信號內部分量的相位和包絡幅值［3-5］。對于強噪聲背景下的微弱突變信號的提取采用常規的解析小波變換去噪方法就顯得有些困難，需要對分析小波的參數進行最優化的選擇［6］。筆者采用奇異值分解技術聯合復解析小波解調法可實現良好的降噪效果并提取出有效成分進行診斷分析。

1 奇異值分解的基本理論

奇異值分解（singular value decomposition，簡稱SVD）是非線性濾波方法，廣泛應用于信號的降噪和檢測。它從矩陣的角度出發，將包含信號信息的矩陣分解為一系列奇異值以及奇異值矢量對應的時頻子空間，在信號處理和統計學等領域有重要應用［7］。奇異值分解具有理想的去相關特性。基于SVD的信號分析方法可以對信號進行重構，較好分離出有用信號的特征信息，在故障診斷領域已有成功應用。

設A為M×N階矩陣，矩陣A可表示為

其中：U為M×M階正交矩陣；V為N×N階正交矩陣；D=diag（σ1，σ2，σ3，…σn）為M×N階對角矩陣，D的對角元素σi稱為矩陣A的奇異值，且σ1≥σ2≥…≥σM≥0（M＜N）。

由于D為對角陣，因此SVD可以將一個秩為r 的m×n階矩陣D表示為r個秩為1的m×n階子矩陣之和。每個子矩陣由兩個特征向量（矩陣U和矩陣V）和權值相乘得到，即式（1）可表示為

其中：r為矩陣A的秩，上標T表示轉置；ui為矩陣AAT的第i個特征向量；vi為矩陣ATA的第i個特征向量；Ai為包含ui和vi的子矩陣；uivTi為單秩M×N階矩陣，表示矩陣的第i個特征圖像，它們形成一個正交基，可用來重建矩陣A。

若設矩陣ATA或AAT的特征值為λi，可以證明

由于奇異值是按數值從大到小順序排列的，所以前面幾個特征值作用最大。如果矩陣A的秩為r（r＞0），那么A存在著r個正的奇異值，即σr＞0，σr+1，…，σM=0。如果矩陣A為滿秩M，則所有的奇異值都不為零。

式（2）表明，矩陣A經過SVD變成一系列的子矩陣Ai和其對應的奇異值σi（反映該子矩陣包含信息的多少），也就是將矩陣分解成相互正交的子空間，從而將矩陣包含的信息分解到不同的子矩陣中。在實際應用中，若A表示時頻信息，那么對應的ui和vi分別表示頻率和時間信息。通常而言，對式（2）的應用是根據有效的奇異值個數k得到A的估計值?A，從而實現信號的降噪和有用信號的提取［8-9］，即

2 復解析小波解調法

復解析小波變換是一種特殊的連續小波變換，其小波參數的選擇非常靈活，在低頻段具有細致的信號刻畫能力，可以有效分析信號內部分量的相位和包絡幅值。由于Morlet小波具有良好的時頻局部化能力，解析小波變換通常采用Morlet作為分析小波［10］。Morlet小波函數的表達式為

其中：σ為正實數，它決定小波時域和頻域的寬度，控制小波形狀的參數；ω0也為一正實數，它確定了小波的衰減振蕩頻率。

將φ（t）伸縮平移后得到一個子波簇，即

其中：a為尺度參數；b為位置參數。

設s（t）為能量有限信號，關于小波函數φ（t）的連續小波變換為

其中：φ*（t）為φ（t）的復共軛；s（ω）和φ（ω）分別為s（t）和φ（t）的傅里葉變換。

式（7）相當于利用帶通濾波器φ（2πaf）對s（t）進行帶通，該濾波器的中心頻率和帶寬是隨尺度變化而變化。小波變換的系數Cs（a，b）為復函數，即

其中

在尺度a下s（t）分量幅值為

小波包絡解調譜為

其中：FFT為快速傅里葉變換。

算法流程圖如圖1所示。

圖1 復解析小波解調法Fig.1 Complex analytical wavelet demodulation

3 小波參數優化選擇

機械測試中許多特征信號表現為瞬態的沖擊信號，Morlet小波函數為平方指數衰減的余弦信號，其波形與沖擊信號十分相像，非常適于這類信號的檢測。筆者采用最小Shannon熵方法和奇異值分解技術相結合來設計最佳的Morlet小波及變換尺度a。

在信號檢測及故障診斷中，希望能夠突出特征成分抑制無關成分，這種情況下的參數選擇需要使基小波與特征成分盡量相似，通常采用“稀疏性（sparse）”作為相似程度的評價，認為使小波變換后的系數矩陣最稀疏的小波函數與信號最相似。最小Shannon熵就是一種很好“稀疏性”評價標準［11］。

（p1，p2，…pn）為一不確定的概率分布，根據這一理論，最不確定的概率分布（等概率分布）具有最大的熵值；同時，概率分布越接近這種等概率分布，其熵值也就越大，Shannon熵值的大小反映了概率分布的均勻性。如果把小波變換的系數處理成一個概率分布序列，由它計算得到的熵值就反映了這個系數矩陣的稀疏程度，這種熵稱作小波熵。因此，當小波熵最小時對應的基小波就是與特征成分最匹配的小波。在一定的范圍內變化σ，選擇使得信號小波熵最小的σ，a作為最優值，從而確定了與信號特征成分十分相似的最佳Morlet小波，此方法就是基于Shannon小波熵的參數選擇方法。

通過最小Shannon熵標準確定了基小波的形狀參數σ，而小波濾波的頻率響應是同時隨著基小波ψ（t）的形狀參數σ和尺度參數變化而變化的。參數a控制著小波濾波的頻帶范圍，通過選取適當的a，就可以很好地提取含噪信號中的周期沖擊信號。

假設一個周期信號X=［x1，…，xl］的周期為n，將信號X按如下矩陣重新排列，矩陣的每一行恰好包含一個周期的數據

其中

由于矩陣X有m個重復的行且矩陣的秩為1，因此信號僅有一個非0的奇異值σ1和m-1個0奇異值。

假設一個含噪聲的周期信號X=［x1，…，xl］，其周期仍然為n，由于噪聲信號的幅值是隨時間變化而不規則變化的，可按式（13）的方式重新排列成M1×N1的矩陣，矩陣的每一行包括N1個序列。由于噪聲的影響，矩陣的秩為滿秩m，并且當N1=n時，奇異值σ1為最大，即比率

也最大。因此，可用δN1來評價信號的周期性，從而計算出最佳尺度參數a。

計算出基小波的最佳形狀參數σ和尺度參數a后，就可以按式（11）得到信號的小波包絡解調譜。

4 試驗分析

在齒輪箱故障診斷中，齒輪、軸或滾動軸承發生故障時，往往會出現以齒輪所在軸的轉頻或滾動軸承通過頻率為調制頻率的調制邊頻帶，應用解調分析就可以提取出調制頻率，分析其強度和頻次就可以判斷齒輪箱的故障部位和損傷程度［12］。據此，下面采用本研究方法對低速齒輪上存在磨損故障的齒輪箱振動信號進行分析。

圖2為齒輪傳動故障檢測試驗裝置。齒輪箱為兩級變速，低速部分嚙合齒輪的齒數比為41∶37，大齒輪所在軸的轉速為600 r/min，計算出齒輪的嚙合頻率為410 Hz，大齒輪所在軸的轉頻為10.0 Hz，小齒輪所在軸的轉頻為11.081 Hz。通過安裝在箱體表面上的加速度傳感器，用30 k Hz的采樣頻率測得的變速箱Ⅱ檔運行時的振動信號如圖3所示。為去除高次諧波的影響，模擬濾波器上限截止頻率為3 k Hz。

圖2 試驗裝置及故障齒輪Fig.2 Experimental installation and the gear

圖3 振動信號時域波形Fig.3 Wave of the vibration signals

首先，采用最小Shannon熵方法確定出最優morlet小波的形狀參數為σ=470。然后，初始化一個尺度變化范圍a∈［1，32］，利用奇異值分解技術確定最佳變換尺度a，變化步長為0.1，當式（14）表示的值為最大時的a即為最佳尺度值，通過計算得出當尺度a=6.1，比率δN1最大，此時能更好地提取信號的周期沖擊信號。確定了形狀參數a和變換尺度β后，就可以對信號進行濾波消噪處理。去噪后的故障信號如圖4所示，信號的信噪比提高21.2％，其去噪效果相當明顯。

圖4 去噪后的振動信號時域波形Fig.4 Wave of the signals after noise reduction

尺度為a=6.1時分解出的為最優小波系數包絡幅值譜如圖5所示。進行解調分析并細化得到最優小波系數的解調細化譜如圖6所示。

圖5 最優小波系數的包絡幅值譜Fig.5 Envelop spectrum of optimal wavelet coefficient

圖6 最優小波系數解調細化譜Fig.6 Detailed spectrum of optimal wavelet coefficient

圖6中的主頻成分為小齒輪所在軸的轉頻11.093 Hz（與理論值11.081 Hz非常接近）及其倍頻22.174 Hz。結合頻譜分析的結果可斷定是小齒輪出現了磨損或斷齒故障，事實上本試驗裝置中軸2上的小齒輪確實出現了磨損缺陷。采用本研究方法得到的齒輪故障診斷結果與事實是相符合的，進而驗證了該方法的可行性。

5 結束語

齒輪出現故障時，振動信號表現為多分量調制特征，復解析小波變換具有自適應帶通濾波能力，能夠靈活地選擇變化尺度分離出故障分量所在的頻段并進行解調分析。筆者提出的復解析最優小波的解調方法對分析小波參數進行了優化選擇，可以很好地降低噪聲信號，有效提取信號中周期成分，具有較好的瞬態信息提取能力，能準確捕捉到信號的故障信息。試驗驗證了采用本研究方法提取出的齒輪故障信號的邊帶結構更加清晰，提高了齒輪故障診斷的準確性。

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TH115；TP395.02

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.012

趙玲，女，1979年11月生，博士、副教授。主要研究方向為信號處理、設備狀態監測與診斷。曾發表《Fault diagnosis method based on fractal theory and application in wind power systems》（《Journal of China Ordnance》2012，No.3）等論文。

E-mail：zhao.ling@163.com

*國家自然科學基金資助項目（61304104）；重慶市自然科學基金資助項目（cstc2015jcyj A0540）

2013-05-13；

2013-07-30