一類(lèi)單位圓上單葉正則函數(shù)的分類(lèi)

李小光

（西安航空學(xué)院理學(xué)院，陜西西安710077）

一類(lèi)單位圓上單葉正則函數(shù)的分類(lèi)

李小光

（西安航空學(xué)院理學(xué)院，陜西西安710077）

為研究單位圓上單葉正則函數(shù)的性質(zhì)。運(yùn)用單葉解析法得到零點(diǎn)處函數(shù)值等于零、導(dǎo)數(shù)值等于1的函數(shù)具有的一些重要性質(zhì)，給出這些性質(zhì)的分類(lèi)，分別是：冪級(jí)數(shù)展式的系數(shù)估計(jì)、模的估計(jì)、像區(qū)域范圍的估計(jì)。單葉正則函數(shù)的性質(zhì)及其分類(lèi)是研究復(fù)變函數(shù)幾何理論的基礎(chǔ)，對(duì)復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)性研究具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

單葉解析；系數(shù)估計(jì)；模的估計(jì)；像區(qū)域范圍的估計(jì)

定義1令n=l,2,…，對(duì)于k=l,2,…，n稱(chēng)

為de Branges函數(shù)［1]。其中(a)v是a(a+l)…（a+v-l)的縮寫(xiě)。如果令τk+l(t)=O，則有

定理1(面積定理)［2]設(shè)函數(shù)在區(qū)域l＜上單葉解析，在z=∞有一次極點(diǎn)，則

1、系數(shù)的估計(jì)

適合f(D)J的函數(shù)f在S中就D內(nèi)局部一致收斂來(lái)說(shuō)是稠密的，因此僅需對(duì)這些函數(shù)證明式（9)。

令n=l，2，…固定,考慮

其中τk(t)是de Branges函數(shù)。

下面我們省略變量t，由式(14)得

2、模的估計(jì)［6-8]

由式（17）—（18），可得到下列定理

證明設(shè)z=reiθ是單位圓內(nèi)的點(diǎn)，在式（17）兩邊積分

同理在式（18）兩邊從O到r積分得

沿著直線(xiàn)從O到z對(duì)式（11）的右邊積分

綜合以上積分得到

3、像區(qū)域范圍的估計(jì)［9]

定理7(面積掩蔽定理)［10]設(shè)函數(shù)在內(nèi)單葉解析，則由w=f(z)把變換為W平面上的一個(gè)區(qū)域B，則此區(qū)域B必含有圓，而未必含有半徑更大的同心圓。

推論1［11]如果f(z)在上單葉解析，f(O)=O，在圓上不取數(shù)值c，則f′(O)≤4c。

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O175.14

A

1674-6198（2015）05-0054-03

2015-07-11

陜西省科技廳自然科學(xué)基礎(chǔ)研究基金資助項(xiàng)目（2013JM 1019）；西安航空學(xué)院校級(jí)科研立項(xiàng)（13XP13）

李小光（1973-），女，遼寧鐵嶺人，西安航空學(xué)院副教授，從事代數(shù)學(xué)及信息論方面的研究。