基于頻率計算系桿拱橋吊桿張拉力的實用公式

張戎令， 楊子江， 朱學輝， 梁慶福， 徐瑞鵬

(1. 蘭州交通大學土木工程學院，甘肅 蘭州730000;2. 中川鐵路有限公司，甘肅 蘭州730000;3. 蘭州鐵路局建設管理處，甘肅 蘭州730070)

拱橋吊桿是結構的關鍵構件之一，直接承受、傳遞結構的荷載，由于系桿拱橋屬于內部高次超靜定結構，調整任意吊桿的張拉力將使結構內力重分布，改變結構的受力狀態.振動測定法［1-4］是目前工程中普遍應用的測定吊桿張力的方法，該方法將索理想化為張緊的弦.由于計算式中受到復雜邊界條件、垂度、抗彎剛度等的影響，造成吊桿實際受力與理論計算不一致.這些不確定因素的影響，有時會帶來不可接受的誤差，需要對弦公式進行修正［5］，許多學者為了精確計算索力，進行了大量的研究.孫永明［6-7］提出了考慮端部性質影響的修正索力計算公式;Zui［8］考慮吊桿彎曲剛度和垂度，建立了近似解低階頻率估算索力公式;任偉新等［9］采用能量法和曲線擬合法，分別建立了考慮索垂度和彎曲剛度的基頻索力計算公式;Armin［10］給出了考慮吊桿抗彎剛度、垂度延伸特性的統一解，并提供了確定索振動方式和對應頻率的方法;田廣宇［11］研究了位移測量誤差對基于靜力位移的索力識別結果的影響;Yozo 等［12］采用漸近式分析得出了索的模態阻尼比;劉釗［13］基于能量法求解了索力計算公式;Nam 等［14］認為索的柔性減小阻尼約20%，同時增加了阻尼器的阻尼系數.以上學者從索的邊界條件、抗彎剛度及垂度等方面研究了索的計算方法.但是根據吊桿的振動特性發現，以上研究均沒有考慮轉動慣量和剪切變形及兩者耦合作用下對索力的影響;張戎令等［15］基于結構振動理論，建立了吊桿索力計算公式，考慮了轉動慣量和剪切變形耦合影響.實際吊桿是由高強鋼絞絲和PE(polyethylene)護套兩種材料組成，實際頻率為兩者的耦合頻率;吊桿的邊界條件在不同結構中差異較大;吊桿有效長度在實際中亦難以確定.在實際索力計算中需要一種綜合考慮以上影響的有效方法.

本文根據已有研究成果及吊桿的動力特性，結合抗彎剛度的影響，同時考慮轉動慣量和剪切變形的影響及其耦合作用，推導了吊桿鉸接下索力計算公式;在索力計算式中，頻率受到索結構自身和外界因素的影響較多，其對索力計算值影響較大;根據實測頻率對索力靈敏度進行分析，給出了索力計算的實用公式.

1 吊桿受力分析及求解

吊桿是由等直徑的鋼絞絲制成，假設其為等截面，則截面面積S 和抗彎剛度EI 均為常量;在振動中，橫向發生位移，同時與吊桿中心線相切的線段產生一個剪切角γ. 在張拉力作用下，吊桿橫向位移為u(x，t)是隨坐標軸x 和時間t 連續變化的函數.取吊桿上一微段dx 為隔離體，吊桿受力見圖1，圖中，f1為第一階頻率. 如圖1 所示，微段吊桿在運動過程中處于動平衡狀態，由水平力及力矩平衡條件可得

式中:Q 為剪力;m 為吊桿的線密度;M 為彎矩;T 為拉力;ρ 為材料的質量密度;I 為截面慣性矩;θ 為截面轉角.

根據吊桿彎曲理論，剪力Q 與剪切角γ 的關系式為

式中:Sc為截面有效剪切系數;G 為剪切模量.

由圖1 可知，截面轉角θ 和剪切角γ 的關系為

由式(1)～(3)可得

圖1 吊桿微段隔離體受力圖Fig.1 Force diagram of the micro-element of suspender

根據吊桿結構的彎曲理論，彎矩M 與曲率?θ/?x 的關系為

將式(2)、(5)代入式(1)，并對x 求導，可得

將式(4)代入式(6)整理可得

為簡化分析，假設位移函數隨時間簡諧變化，令

式中:Y(x)為吊桿振動形狀，不隨時間變化;ω 為吊桿振動頻率.

式(8)代入式(7)，并令

可得

設解的形式為Y(X)=Aeβx，將其代入式(9)，得

令

因此，式(10)的解為

將β1～β4代入Y(X)=Aeβx，用雙曲函數和三角函數替換指數函數，得

式中:ξ1、ξ2、ξ3、ξ4為吊桿的振動形狀.

根據吊桿的受力情況，假設兩端為鉸接，桿長為l，則邊界條件為

根據邊界條件可解得:

將α1、α2代入式(11)，通過中各參數的關系，可求出吊桿兩端鉸接情況下索力的計算式為

式中:fn為第n 階頻率.

式(14)中第1 項為經典弦振動基本方程;第2項考慮抗彎剛度的影響;第3 項考慮轉動慣量的影響;第4 項考慮剪切變形的影響;第5 項為吊桿轉動慣量和剪切變形二者耦合影響.

在不考慮轉動慣量和剪切變形的影響時，式(14)變為

在不考慮轉動慣量和剪切變形和抗彎剛度時，式(14)變為

文中推導的式(14)雖在理論上完善了吊桿張拉力的計算公式，但一方面由于考慮轉動慣量和剪切變形的索力公式是基于梁理論進行分析的，實際中的索不完全等同于梁，剪切變形和轉動慣量對高頻會有些影響;另一方面公式中涉及到剪切系數、抗彎剛度等參數，在實際結構中難以準確計算，即使通過實際索力將剪切變形、轉動慣量及其耦合項進行簡化、擬合后，計算式中參數較多，依然較難準確計算出與實際符合的索力.因此，結合吊桿長度，基于實際頻率與索力的關系，通過頻率的靈敏度分析，修正本文推導的公式，進而得到計算吊桿張力的實用公式.

2 頻率靈敏度分析

2.1 試驗概況

以實際工程1 ～128 m 系桿拱橋為研究對象，其吊桿采用PESC7-085 絲φ 7 mm 的低松弛環氧噴涂高強鋼絲成品吊桿，標準強度為1 670 MPa，彈性模量為195 GPa，截面面積為3 271 mm2，吊桿直徑為71.2 mm，單位長度質量為25.7 kg/m，抗彎剛度為246.1 kN·m2.拱橋吊桿布置及編號見圖2.

圖2 吊桿編號及布置形式Fig.2 Suspender number and arrangement

每一對吊桿有兩根吊桿，分別記為A、B. 實際吊桿頂端并非穿過拱肋，而是固定在下弦管下緣，并安裝有球形支座，其簡化成鉸接更為合理.

2.2 數據分析

現場采用頻率法進行索力測試，由于實際吊桿共68 根，數量較多，因此選取典型吊桿進行分析，分別選1#吊桿(17#吊桿)、5#吊桿(13#吊桿)、9#吊桿，即選取拱橋最短、中間、最長吊桿為研究對象，分析吊桿頻差與階數的關系.吊桿各階頻率變化情況見圖3，圖中，f1為一階頻率，Hz.

圖3 不同吊桿頻譜圖Fig.3 Frequency spectra of different suspenders

由圖3 可以看出，雖然吊桿約束形式相同、材料相同、長度相同，但對應的同階頻率相差較大.有些吊桿只有3 ～8 階頻率，甚至只有1 階頻率(如1#吊桿A 和17#吊桿B 所示)，即使有高階頻率(如右線9#吊桿A)，按照頻率識別法，在平均譜圖中找出從大到小排列的10 階峰值:①用其它值除以最小值，若結果大部分為整數，則最小值即為基頻，若結果大部分約為0.5 的整數倍，則用最小值減去頻差就是基頻;②對10 個峰值求最大公約數，這個最大公約數就是基頻.以上方法很難精確得出反應實際索力的基頻. 由于實際吊桿在轉動慣量、剪切變形、吊桿有效長度、鋼絞線和PE 護套耦合頻率等因素影響下，導致實測索力頻率隨著階數的提高，頻差越大.以圖3 中右線9#A 吊桿為例，1 階頻率為2.148 0 Hz，10 階頻率對應求出的基頻為2.504 9 Hz，13 階 頻 率 對 應 求 出 的 基 頻 為3.005 0 Hz.可見高階頻差作為基頻誤差很大.

為了確定出精確的索力，分析了各階頻率差與階數的擬合曲線見圖4. 由圖4 可以看出，不同吊桿、不同階頻率差擬合有線性和非線性曲線，非線性曲線又有二次、三次曲線的不確定性. 同時由于現場索力測試傳感器通常布置在距吊桿下端3.5 m 處(以本橋為例)，這樣通過頻率法測得的頻率以高階頻率為主，因此，直接通過高階頻率差求基頻會造成基頻值識別變大，從而導致索力識別值偏大.

圖4 索力頻率差擬合Fig.4 Frequency difference fitting of cable force

通過以上不同吊桿頻率和頻率差分析，本文通過各吊桿一階頻率的分析，根據實際張拉力反推部分吊桿的理論頻率，將實際張拉測得的頻率與理論頻率進行擬合，進而得到頻率的修正值，推導出適用的索力計算簡化公式.

為了修正頻率，同時保證修正后頻率的精度滿足要求，通過1#～9#吊桿的擬合，將所有吊桿統一成一條曲線后，難以保證修正后的精度. 通過各個實測吊桿的頻率分布特點，按照不同吊桿長度，將吊桿分成3 個長度范圍，分別進行擬合分析. 具體分析見圖5、圖6.

通過1#～9#吊桿(9#吊桿僅統計A)實測頻率和理論頻率的曲線擬合分析，得到索力計算實用的公式為

圖5 1# ～9#吊桿理論頻率與吊桿長度擬合關系Fig.5 Fitted relationship between theoretic frequency and suspender length for 1# ～9# suspenders

式中:ki=fti/fai，這里，fti為i 值時吊桿的理論頻率，fai為i 值時吊桿的實測頻率，i 根據吊桿長度分別取1，2，3.

圖6 1# ～9#吊桿實測頻率與吊桿長度擬合關系曲線Fig.6 Fitted relationship between measured frequency and suspender length for 1# ～9# suspenders

3 算例分析

為了驗證式(17)與實際的吻合性，將本座橋梁剩余的未分析吊桿(9#吊桿B ～17#吊桿AB)做為研究對象，進行理論計算張拉力與實際張拉力對比分析.計算參數取值(見2.1 試驗概況)均以實際系桿拱橋進行取值. 具體分析結果詳見表1，表中基頻為第一階固有頻率.

表1 張拉索力計算比較Tab.1 Suspender tension comparison

由表1 可看出:修正前式(14)最大誤差為-5.2%，盡管修正前式(14)有個別索力誤差比式(17)誤差小，但式(14)平均誤差為0.8%;實用式(17)在式(14)的基礎上大大的簡化了計算，而且計算出的索力與實際索力吻合較好，理論計算最大誤差為4.7%，平均誤差僅為0.3%，誤差均控制5.0%以內，修正后索力整體誤差更小，索力受力更均勻，可以滿足實際索力張拉控制要求. 考慮到實際吊桿邊界的復雜性和吊桿振動特性，特別是對短吊桿和下端張拉的拱橋吊桿，為了減少邊界條件的影響，建議將索力傳感器盡量布置在索的中間位置或盡量遠離張拉端的位置，以減小固定端的影響，準確測得索的實際振動頻率，保證索力計算的準確性.

4 結 論

本文通過吊桿振動力學理論分析并結合實測試驗，驗證了系桿拱橋吊桿索力計算簡化分析方法的有效性，得出以下結論:

(1)弦振動理論公式及考慮抗彎剛度公式是本文的特例，即本文公式在不考慮轉動慣量和剪切變形影響時，可得僅考慮抗彎剛度的索力計算公式;同時不考慮抗彎剛度時，可得經典的弦振動理論公式;

(2)本文吊桿索力計算實用公式誤差可以控制在5%以內，能夠保證索力控制的精度要求. 計算中直接應用一階頻率進行計算，公式計算簡單方便.

致謝:蘭州交通大學青年科技基金項目資助(2012028).

［1］ RUSSELL J C，LARDNER T J. Experimental determination of frequencies and tension for elastic cables［J］. Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1998，24(10):1067-1072.

［2］ KIM B H，PARK T. Estimation of cable tension force suing the frequency-based system identification method［J］. Journal of sound and Vibration，2007，304(3/4/5):660-676.

［3］ CEBALLOS M A，PRATO C A. Determination of the axial force on stay cables accounting for their bending stiffness［J］. Journal of sound and Vibrationg，2008，317(1/2):127-141.

［4］ MA Haitao. Exact solutions of axial vibration problems of elastic bars［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineering，2008，75(2):241-252.

［5］ MEHRABI A B，TABATABAI H. A unified finite difference formulation for free vibration of cables［J］.Journal of Structural Engineering， ASCE， 1998，124(11):1313-1322.

［6］ 孫永明，李惠. 端部性質對頻率法測量豎直拉索索力影響分析［J］. 工程力學，2013，30(8):10-17.SUN Yongming，LI Hui. Effect of extreme properties of vertical cable on the cable force measurement by frequency-based method［J］. Engineering Mechanics，2013，30(8):10-17.

［7］ 孫永明，孫航，任遠. 頻率法計算勻質豎直拉索索力的實用公式［J］. 工程力學，2013，30(4):211-218.SUN Yongming，SUN Hang，REN Yuan. Practical formulas to calculate tensions of vertical cable with uniform properties by frequency method［J］.Engineering Mechanics，2013，30(4):211-218.

［8］ ZUI H，SHINKE T，NAMITA Y. Practical formulas for estimation of cable tension by vibration method［J］.Journal of Structural Engineering， ASCE， 1996，122(6):651-656.

［9］ 任偉新，陳剛. 由基頻計算拉索拉力的適用公式［J］. 土木工程學報，2005，38(11):26-31.REN Weixin，CHEN Gang. Practical formulas to determine cable tension by using cable fundamental frequency［J］. China Civil Engineering Journal，2005，38(11):26-31.

［10］ ARMIN B， HABIB T. Unified finite difference formulation for free vibration of cables［J］. Journal of Structural Engineering，124，11:1313-1322.

［11］ 田廣宇，郭彥林，張博浩，等. 車輻式屋蓋結構的一種索力識別方法的誤差研究［J］. 工程力學，2013，30(3):126-132.TIAN Guangyu，GUO Yanlin，ZHANG Bohao，et al.Research on error of a cable force estimation methodfor spoke structural roofs［J］. Engineering Mechanics，2013，30(3):126-132.

［12］ YOZO Fujino. Design formulas for damping of a stay cable with a damper［J］. Journal of Structural Engineering，2008，134(2):269-278.

［13］ 劉釗. 基于能量法的系桿拱橋最優吊桿內力的確定［J］. 工程力學，2009(8):168-173.LIU Zhao. Determination of the optimal hanger forces for tied-archbridges based on energy methods［J］.Engineering Mechanics，2009(8):168-173.

［14］ NAM Hoang，YOZO Fujino. Analytical study on bending effects in a stay cable with a damper［J］.Journal of Engineering Mechanics，2007，133，11:1241-1246.

［15］ 張戎令，王起才，馬麗娜，等. 考慮轉動慣量和剪切變形耦合的鉸接吊桿索力實用計算公式［J］. 中國鐵道科學，2014，35(5):30-37.ZHANG Rongling，WANG Qicai，MA Lina，et al.Practical formulas for cable force of hinged suspender considering the coupling effects of moment of inertia and shearing deformation［J］. China Railway Science，2014，35(5):30-37.