Y 型圓鋼管相貫節(jié)點軸向剛度計算模型

趙必大， 劉成清， 章圣冶， 張建勝

(1. 浙江工業(yè)大學建筑工程學院，浙江 杭州310014;2. 西南交通大學土木工程學院，四川 成都610031;3. 浙江大學建筑工程學院，浙江 杭州310058)

圓鋼管相貫連接節(jié)點具有施工便利、建筑視覺效果美觀等優(yōu)點，被廣泛應用于各種建筑結構. 國內現行有關設計規(guī)范［1-2］依然將連接節(jié)點視為理想的剛性連接或鉸接，然而，鋼管相貫節(jié)點在工程常見幾何參數范圍內是一種典型的半剛性連接.節(jié)點連接的非剛性對整體結構的受力性能有影響［3-7］，較精確的分析計算需要考慮節(jié)點連接的非剛性效應，其中最基本的參數就是節(jié)點初始剛度.

關于鋼管相貫節(jié)點初始剛度的研究，早期較缺乏，且主要采用試驗手段［8-9］.隨著計算機技術的發(fā)展，有限元法成為研究節(jié)點剛度的主要手段，近年來取得了一些成果［4，10-11］.

已有的相關研究存在以下不足:散點數據少(正交模型所致)導致擬合結果與實際可能存在不小差異，無法反映節(jié)點幾何參數之間可能存在的相互影響，節(jié)點剛度計算公式缺乏理論支撐，使工程設計人員難以理解.

本文建立了Y 型圓鋼管相貫節(jié)點在支管軸力作用下局部變形的簡化力學模型，在此基礎上推導了節(jié)點剛度的理論公式;通過對理論公式的簡化并結合多元回歸分析，建立了Y 型圓鋼管相貫節(jié)點軸向初始剛度參數化實用計算公式;將實用公式的計算結果與有限元分析結果和已有試驗數據進行比較，證明了公式的合理性.

1 相貫節(jié)點軸向剛度模型

在受荷較小的線彈性狀態(tài)下，節(jié)點剛度可定義為廣義力與節(jié)點局部變形之比.關于節(jié)點局部變形的定義和獲取方法，可分直接法［4］和間接法［12］兩大類，2 類方法獲得的節(jié)點初始剛度差異不大［13］.從構建力學模型以推導節(jié)點剛度的角度出發(fā)，直接法比間接法更適合，因此，本文中無論是有限元分析還是理論推導，都采用直接法確定節(jié)點剛度.

借鑒Togo 關于X 型圓鋼管相貫節(jié)點強度計算的環(huán)模型思想［14］，并考慮到Y 型節(jié)點的局部變形發(fā)生在與支管相連接那一側的主管管壁(上半部分)，可將Y 型節(jié)點在支管軸力作用下節(jié)點局部變形計算的理論模型簡化為截面高度和寬度分別為T 和Be的半圓拱模型(Be為環(huán)模型［14］的有效寬度，取Be=ηD，η 為一常數)，見圖1.為簡化推導，將環(huán)模型中鞍腳附近2 個力F=0.5Nsin θ(沿拱截面寬度Be均布)的間距由cd 改為d-t.

此外，在支管軸力作用下，主管上半部分產生局部變形，下半部分(無支管相連側主管管壁)則對上半部分存在轉動、水平和豎向3 種約束. 工程實際中，豎向可近似為完全約束，而水平(剪切)與轉動約束應為彈性約束，為對比分析，考慮水平、轉動方向完全約束和無約束2 種極端情況.

圖1 Y 型圓鋼管相貫節(jié)點在支管軸力作用下的剛度計算模型Fig.1 Calculating models for rigidity of a CHS Y-type joint under branch axial load

2 節(jié)點剛度的理論推導與修正

推導過程:(1)根據圖1(a)中主管下半部分受力圖，利用桿系結構力學方法，獲得模型1 支座端的扭轉約束剛度r1=2EI/D0、剪切約束剛度r2=2EI/，其中D0=(D -T)/2，E 為材料彈性模量，I=BeT3/12(D、T 見圖1(a)). (2)根據桿系結構力學中的力法原理，忽略軸力和剪力引起的變形以簡化計算，求出1 ～4 點的變形Δ1～Δ4，此即為支主管相貫線處的冠點、鞍點在支主管平面內垂直主管軸線方向的主管管壁局部變形.(3)根據直接法關于節(jié)點軸向局部變形δ 的定義［4］和剛度定義，求出節(jié)點軸向初始剛度KN. 整個推導過程相當復雜繁瑣，這里不再贅述，僅列出結果:

式中，χ 為常系數.

最后一步是將拱截面的慣性矩I=BeT3/12 =ηDT3/12、D0=(D-T)/2 和T =D/(2γ)代入后化簡而得.

式中:c0～c12為常系數;

對于支座邊界條件極端的模型2 和模型3，其節(jié)點剛度表達式類似模型1，僅f(β0)的具體形式略有差異以及相應常系數的值不同.

此外，對模型1 中2 個力F 的間距由d -t 改為cd 后進行推導，結果與式(1)類似，但f(β0)變成f(β0，βc)(其中βc=β -0.5β/(γ -0.5))，且常系數更多.從式(3)來看，無論是f(β0)還是f(β0，βc)，最終都轉化成關于β、γ-0.5 和τ 的復雜表達式f(β，γ-0.5，τ).

由于f(β0)的表達式比較復雜，故式(1)無法直接用于工程實踐. 但式(1)表明，節(jié)點剛度KN與E、D 和1/sin2θ 成正比.結合式(2)和(3)，KN存在關于β、γ-0.5 和τ 中兩者或三者的相互影響.從數學角度看，反三角函數、平方根函數可通過泰勒級數展開為多項式，故f(β0)可近似展開為β0的多項式，而多項式又是指數函數的泰勒展開式. 再結合式(3)，可將式(1)分母中的f(β0)(γ -0.5)3近似為關于β、γ -0.5 和τ 的指數函數與關于(γ -0.5)的冪函數(γ-0.5)a的乘積(a 是β 和τ 的函數).由此，式(1)可簡化為

式中:C 為常系數;f1和f2為反映節(jié)點參數β、γ 與τ 間相互影響的函數.

f1和f2常見的函數形式是多項式，尤以線性函數最簡單，則式(1)可進一步簡化為

式中，C0～C6為常系數.

3 待定常系數的確定

需確定半圓拱模型獲得的Y 型圓鋼管相貫節(jié)點軸向剛度計算式(式(5))中的待定常系數C0～C6，這7 個常系數涉及節(jié)點的3 個無量綱參數β、γ和τ.先定性分析β、γ 和τ 對節(jié)點剛度的影響:僅γ增大而其他參數不變時，主管壁厚T 減小，相貫面(半圓拱的截面)的抗彎剛度EI 將急劇下降，故γ對節(jié)點剛度影響很大;僅β 增大時，支管直徑d 增大，d-t 增大明顯，力F 更靠近支座，故1 ～4 點撓度減小，節(jié)點剛度增大明顯;僅τ 增大時，支管壁厚t 增大，但t 通常遠小于d，d -t 變化小，故節(jié)點剛度變化較小.

然后，采用有限元法進行單參數分析，定量分析這3 個參數對節(jié)點剛度的影響. 有限元模型中，固定D=245 mm，θ =90°，支管和主管長度分別為6d 和10D，材料彈性模量E = 206 GPa;采用ABAQUS 中的S4R 殼單元，主管兩端完全固定約束，沿支管軸線方向施加荷載. 圖2 給出了有限元單參數分析獲得的節(jié)點剛度隨β、γ 和τ 的變化以及文獻［4］關于τ 的單參數有限元分析(采用ANSYS 中的殼單元shell93)結果.

圖2 參數β、γ 和τ 對節(jié)點軸向剛度的影響Fig.2 Effects of parameters β，γ and τ on joint axial rigidity

從圖2 可見，節(jié)點剛度KN與β 之間大致呈指數函數關系，與γ(γ -0.5 可視為坐標平移，并不影響曲線形狀)大致呈冪函數關系，與文獻［4］的單參數分析結果類似，證明節(jié)點剛度KN采用式(5)的形式較合理.

式(5)與文獻［4］中節(jié)點剛度表達式的不同之處:指數函數的自變量是多個，而非僅僅1 個(β);冪函數的指數a 不再是一個常系數，而是與節(jié)點的幾何參數有關，這反映了節(jié)點幾何參數之間可能的相互影響，故式(5)更合理.

從圖2 還可以看出，參數τ 對KN的影響很小.本文中單參數τ 分析的范圍為0.35≤τ≤1.00，所得KN的最大值與最小值之間相差約6. 7%;文獻［4］中單參數τ 分析的范圍為0.22≤τ≤0.84，KN最大值與最小值之間相差約12%.

從KN-τ 關 系 曲 線 看，在 工 程 中0. 3 ≤τ ≤0. 8的常見范圍內，上述差異將更小.因此，從工程實用出發(fā)，可忽略參數τ 對節(jié)點剛度的影響，即取式(5)中待定常系數C5和C6為0，則式(1)進一步簡化為

根據式(6)，固定D =245 mm，E =206 GPa，θ=90°，τ=0.8，并結合工程實際中常見的幾何參數范圍，取β=0.30，0.45，0.60，0.75，0.90，γ =7，15，22，30，建立共計20 個節(jié)點的有限元模型(模型中單元、材性、邊界條件等同前).

根據有限元計算獲得的20 個散點數據，通過置信度為95%的多元非線性回歸確定常系數C0～C4，最終得

4 節(jié)點剛度計算公式校驗

4.1 參數E、D 和θ 的校驗

可用于工程實際的節(jié)點剛度參數化計算式(式(7))表明，節(jié)點剛度KN與E、D 和1/sin2θ 成正比，但前提是將工程實際中復雜的三維殼節(jié)點簡化為二維半圓拱模型.因此，需要對E、D 和1/sin2θ進行校驗.

文獻［4］通過單參數分析和量綱分析，得KN與D 成正比.筆者也進行了類似分析，建立了5 個單參數D 的有限元模型(D=100，200，…，500 mm)，結果5 個模型獲得的KN/D 的最大值與最小值的相對誤差小于0.5%，可以認為KN與D 成正比.

對單參數E(E =20 ～206 GPa)進行類似分析，結果KN/E 的最大值與最小值的相對誤差為0.3%，可以認為KN與E 成正比.

關于參數θ，固定參數D =245 mm，β =0.6，γ=15，τ=0.8，改變θ(取θ =30° ～90°(具體取值見表1)足以涵蓋工程范圍)進行單參數分析，結果見表1.

表1 節(jié)點剛度關于θ 的單參數分析結果Tab.1 Joint axial rigidity as a function of parameter θ

表1 中，誤 差 為(KNsin2θ - KN90)/KN90×100%，其中KN90為θ=90°時的節(jié)點剛度.從表1 可知，誤差均為負值，且隨θ 減小而增大，更準確的說法是節(jié)點剛度KN與1/sinξθ 成正比，ξ 為略大于2且隨θ 減小而增大的變量. 但誤差均不超過7%(表1)，且隨θ 增大呈現較快下降的趨勢，故從實用出發(fā)，完全可取ξ=2.

為更全面驗證KN與1/sin2θ 的關系，在已有θ=90°的20 個有限元模型基礎上，固定其他參數不變，增加θ =30°，45°，65°三組共60 個有限元模型，將這3 組所得節(jié)點剛度值乘以1/sin2θ 后分別與θ=90°組的數據進行比較，得到類似表1 的相對誤差，見圖3.可見，除4 個點的誤差略大于0 以外，其他都小于0;僅有2 點的誤差接近-12%，其余介于0 ～-10%(且大部分在0 ～-5%)之間.從圖3 還可見，誤差隨θ 增大急劇減小，相對較大的誤差基本上集中在工程實際中較少采用的θ =30°的極端情況，故可以認為KN與1/sin2θ 成正比.

圖3 節(jié)點剛度KN 與1/sin2θ 成正比的誤差Fig.3 The error resulted from KN proportional to 1/sin2θ

4.2 與有限元分析結果和已有試驗數據的比較

圖4 為按式(7)計算的節(jié)點剛度與上述所有節(jié)點有限元模型計算結果的相對誤差.有限元模型中節(jié)點幾何參數范圍:0.3≤β≤0. 9，7 ≤γ≤30，30°≤θ ≤90°，0. 22 ≤τ ≤1. 00，100 mm ≤D ≤500 mm.

從圖4 可見，除3 個點的誤差相對較大(約10% ～14%)外，其余都在9%以內，且大部分小于6%，說明與有限元結果吻合較好.

圖4 剛度計算值與有限元分析結果的誤差Fig.4 The error between stiffness values obtained by FEA and the formula

為進一步校驗，表2 給出了部分節(jié)點軸向初始剛度的已有試驗數據［4］、有限元計算結果［4，15］及與式(7)計算值的比較.表2 中，試件A1 ～A4 為反復加載試驗，故同時給出了抗拉和抗壓剛度;試件FE1 ～FE6 為采用ANSYS 中殼單元shell93 的計算結果;KNT和KNF分別為試驗(或有限元)、式(7)計算的節(jié)點剛度(單位為kN/mm);誤差為(KNF-KNT)/KNT×100%.

從表2 可見，Y 型圓鋼管相貫節(jié)點軸向剛度簡化公式(式(7))計算的節(jié)點剛度與已有試驗數據和有限元計算結果吻合.

表2 剛度計算值與試驗結果、有限元結果的比較Tab.2 Stiffness values obtained by the formula，FEA and existing tests

5 支管拉力、主管受力的影響分析

式(7)是建立在支管承受軸向壓力、主管不受力基礎上的.節(jié)點軸向剛度按支管受力可分為軸向抗拉和抗壓2 種.有限元分析結果表明［7］:在工程常用參數范圍內，X 型節(jié)點的抗拉剛度僅略大于抗壓剛度(絕大部分在10%以內).對Y 型節(jié)點可進行類似分析，取D、β、γ 和θ 四個影響較大的參數進行單參數有限元分析(共35 個模型)，獲得節(jié)點的抗拉剛度，并與節(jié)點抗壓剛度進行比較，見圖5(相對誤差以抗壓剛度為基礎計算).可見，相對誤差隨β、γ 增大而增大，但絕大部分在6%以內. 因此，在工程應用中，可將抗壓剛度作為節(jié)點軸向剛度的下限，用其代替抗拉剛度.

圖5 節(jié)點軸向抗拉與抗壓剛度的相對誤差Fig.5 The relative error of axial tensile rigidity and axial compressive rigidity for a joint

工程實際中，主管也受荷載作用，因此對主管受荷對節(jié)點初始剛度的影響進行了有限元分析.分析時，先給主管施加軸力，讓其分別處于較低(0.3fy，fy為主管屈服強度)、中等(0.5fy)和較高(0.7fy)3 種應力狀態(tài)，每種應力狀態(tài)又分為拉和壓2 種情況，然后再施加支管軸壓力. 計算結果表明，主管受力與不受力時節(jié)點軸向剛度最大相差不到3%，因此完全可以忽略主管受荷對節(jié)點初始軸向剛度的影響.

6 函數f1 和f2 的進一步討論

式(7)中，f1和f2分別簡化為線性函數C1β +C2(γ -0.5)和C3+ C4β. 筆者對f1(β，γ-0.5)和f2(β)的形式進行了多種嘗試，以考察能否進一步簡化，以及f1和f2采用更復雜的多項式時能否明顯提高精度.

嘗試如下:

(1)f1簡化為C1β，f2不變;

(2)f1簡化為C1β，f2變?yōu)殛P于β 的二次多項式;

(3)f1不變，f2變?yōu)殛P于β 的二次多項式;

(4)f1變?yōu)镃1β + C2(γ -0. 5)+ C7β(γ -0.5)，f2不變;

(5)f1變?yōu)殛P于β 和(γ -0.5)的完全二次多項式，f2不變.

通過多元非線性回歸分析，將得到的常系數代入剛度計算式，并與前述有限元計算結果和試驗數據進行比較，結果表明:

(1)f2采用β 的線性函數就能獲得足夠精度，即使變?yōu)殛P于β 的二次多項式，總體上誤差降低很小.但若f2變成常數，則誤差急劇增大(絕大部分增大8 ～13 個百分點，少數增大15 個百分點). 這再一次說明β 與γ 之間存在不可忽視的相互影響.

(2)f1采用關于β 和(γ -0.5)的線性函數就能獲得足夠精度，但若忽略(γ -0.5)項，而將f1變成僅僅是β 的函數，即使是β 的二次多項式，誤差將明顯增大(大部分增大約10%)，這符合前文關于節(jié)點剛度公式數學形式的分析.

可見，將f1和f2定義為線性函數不僅與實際較符合，能獲得較高精度，而且表達式相對簡單，便于工程應用.

7 結 論

基于彈性約束支座的半圓拱簡化模型，導出了Y 型圓鋼管相貫節(jié)點軸向剛度理論公式;運用泰勒級數等數學手段，忽略次要因素，對理論公式進行簡化;通過多元非線性回歸分析，建立了實用的Y型圓鋼管相貫節(jié)點軸向初始剛度計算公式，并用有限元計算結果和已有試驗數據進行了校驗.研究獲得以下結論:

(1)節(jié)點剛度與E、D 和1/sin2θ 成正比，與參數β、γ -0.5 和τ 之間呈現較復雜且相互影響的關系.

(2)已有試驗數據和有限元計算結果驗證了節(jié)點初始剛度計算式在0.3≤β≤0.9、7≤γ≤30、30°≤θ≤90°和0.22≤τ≤1.0 的工程常見幾何參數范圍內的合理性

(3)主管受力對節(jié)點軸向初始剛度影響小，支管受軸向拉、壓的剛度差異較小，因此導出的節(jié)點初始剛度計算式也可以用于主管受荷載作用、支管受軸向拉力作用的情況.

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