基于首次穿越破壞的TMD 體系頻域可靠性分析

譚 平， 劉良坤， 李祥秀， 張 穎， 周福霖，

(1. 廣州大學工程抗震研究中心，廣東 廣州510405;2. 北京工業大學建筑工程學院，北京100124)

可靠度分析在工程結構中的應用較為廣泛.結構受靜力作用時的可靠度容易求得，即使受到隨機地震激勵，在一般情況下，其動力可靠度也可根據首次穿越破壞理論［1-2］近似求解. 結構在隨機激勵下的可靠度分析一直是個難點，較為精確的計算可采用Monte Carlo 方法，但相比其計算量是得不償失的.為此，文獻［3］基于首次穿越破壞的Possion極值破壞理論，建立了隨機結構動力可靠度功能函數，并采用與響應面法結合的驗算點法對結構的失效概率進行了計算，但是每次計算需要進行迭代求解驗算，過程比較繁瑣. 文獻［4］基于隨機有限元攝動法計算了結構在非平穩激勵下的結構動力可靠度.文獻［5］采用攝動法結合Edgeworth 級數技術，分析了任意分布參數的梁結構剛度可靠性靈敏度問題.文獻［6-7］通過Hermite 多項式逼近［8］與降維法［9］，將多維動力可靠度問題轉換成一維問題，具有較高的精度與效率.文獻［10-13］基于概率密度演化方法求解結構復合隨機振動等情況的可靠度，該方法不需期望穿越閾值等假定，且具有較高精度，給出了結構的概率信息演化過程新形式，并對非線性情況作了一定闡述.

外激勵頻率對結構響應的影響是不可忽略的，那么結構的可靠度也必然與外激勵頻率相關.盡管在單隨機、復合隨機、靈敏度等方面的可靠度計算有較大改善，但尚未出現關于頻率的可靠度分析，本文提出頻域可靠度的概念，并采用對頻率敏感性強的調諧質量阻尼器(tuned mass damper，TMD)結構體系作為算例，進行隨機地震激勵下的可靠度分析.

1 結構的隨機地震響應分析

結構的隨機地震響應計算方法除傳統方法外，還可利用虛擬激勵法［14］求解. 假設結構在地震作用下的運動方程為

式中:

M、C、K 分別為結構的質量、阻尼、剛度矩陣;

I 為單位列向量;

¨ug為地面運動加速度.

式(1)中假設地震動為平穩隨機激勵，且為Kanai-Tajimi 譜模型，則響應自譜為

式中:

S 為結構響應譜密度;

ω 為外激勵頻率;

H(ω)為傳遞函數;

Sug為地震動譜密度.

由以上分析，可求出結構地震激勵響應的i 階譜矩

2 首次穿越破壞

結構受到地震作用，其動力可靠度可近似采用首次穿越破壞計算. 當響應限值較大時，出現交叉的概率較低，此時可認為結構動力響應與允許界限的交叉服從Poisson 分布.但Poisson 分布假定對寬帶過程和低閾值水平的計算結果可能不安全，而對窄帶過程又偏于保守. 此時可用Vanmarcke 基于Markov 過程假定［1-2］的改進概率計算公式:

式中:

b 為界限值;

t 為地震激勵時間.

一般來說，工程結構可簡化為串聯體系，其串聯后的可靠度按下式計算:

式中:

Pi為各樓層、減震裝置等各串聯部分的可靠度.

式(5)表示任意結構的破壞都將直接與總可靠度P 直接相關.

3 動力可靠度的頻域概率分布

由于Poisson 分布對寬帶過程誤差較大，窄帶過程又偏于保守，本文將利用Vanmarcke 基于Markov 過程假定的修正式(4)來分析概率分布.顯然，由式(4)可知結構的動力可靠度與所選取的激勵時間t、激勵譜密度Sug有關，但實際結構的可靠性也受激勵頻率的影響，因為激勵頻率接近結構振動頻率時更易使其失效.通過式(3)也發現譜矩的計算是激勵頻率的無窮積分的結果，這也說明了可靠度是與激勵頻率相關的.可以將譜矩的無窮上限用變量ωt代替(ωt稱為截止頻率).若假設隨機地震激勵為高斯平穩過程，此時將式(3)中的譜矩積分表達改寫成如下形式:

式(6)物理意義為:當取某截止頻率ωt后結構響應關于截止頻率的譜矩. 由此，式(4)的譜矩及其關聯項可用式(6)計算，當地震激勵時間和激勵譜強度確定時，代入式(4)計算出的動力可靠度就是關于截止頻率ωt的函數:

式(7)的物理意義為:當取某截止頻率ωt后，結構響應關于截止頻率的動力可靠度. 因此，只要通過改變截止頻率ωt即可求得結構的動力可靠度關于頻率分布的情況. 此時，盡管可以求得結構動力可靠度關于頻率的分布，但還沒有給出關于頻率的概率密度分布.求頻率概率密度的解析解相對困難，但可轉變思路，先用式(7)求得關于截止頻率的動力可靠度，再用向前差分方法即可求出關于頻率的概率密度.向前差分具有一階精度，當ωt的變化量較小時，求出的結構動力可靠度關于頻率的概率密度信息的精度可滿足分析要求.利用向前差分計算概率密度，可求得結構動力可靠度關于頻率的概率密度如下:

式中:

Δω 為頻率增量.

求得結構動力可靠度關于頻率的概率密度信息fS2(ωt)后，再用式(5)可求得整體結構的總概率信息.值得注意的是，由于積分的上限值ωt為變量，隨著上限值的增大可靠度下降，當ωt→∞時，結果與式(4)計算的可靠度相同，此時包含所有頻率成分，其可靠度顯然最低.

根據前述分析，隨著積分上限值的增大可靠度下降，因而可靠度關于截止頻率ωt的導數是負數，即關于頻率的概率密度值也就是負數，這也就是說基于頻率的可靠度隨頻帶帶寬的增大逐漸變小，趨于式(4)首次穿越破壞可靠度;若從隨機響應來看，隨著頻率積分上限的增加，隨機響應數值增大，那么超越界限的概率加大，將導致結構易失效，即其可靠度會下降.這也就解釋了關于頻率的概率密度是負數的原因.若求某個頻段的概率減少量可將式(8)進行積分或用式(7)作減法運算，即

需要注意的是，在分析頻域概率過程中，當激勵時間確定、激勵較小時，可靠度一直接近1，此時基于頻率的分析將不明顯，反映不出結構關于頻率的動力可靠度信息.可增大激勵強度以凸顯出某些頻率對結構可靠度的影響，以便進行結構可靠度分析.

4 TMD 結構體系動力頻域可靠度分析

由于TMD 結構體系對頻率較為敏感，本節將其作為算例研究基于頻域的動力可靠度問題.假設某10 層鋼框架結構基本周期為1.085 s，層質量為20 000 kg，層 剪 切 剛 度 為 30 MN/m，層 高為2.55 m，結構阻尼矩陣采用瑞雷阻尼，并假定結構阻尼比為0. 02;地震動譜密度模型為Kanai-Tajimi 譜模型，按文獻［15］取二類場地，為使頻域概率信息表達更清晰，取8 度遠場小震，地震動時間20 s，并假設其層間位移限值按規范取為層高的1/300，即為0.012 m.若TMD 的質量比為0.01，其頻率比與阻尼比均按Den Hartog 公式［16］設計.

假設本算例為串聯結構體系，求得頻域累積概率和概率密度分布如圖1 和圖2 所示.

圖1 為結構總頻域概率隨頻率的分布情況(此處頻率為圓頻率，下同)，圖2 為結構總頻域概率密度隨頻率的分布情況. 隨著頻率的變化，無控制結構的最終可靠度趨于0.246 2，TMD 結構體系的最終可靠度趨于0.969 6.因此，從頻域累積概率圖1 上看，TMD 可提高結構的可靠性.

圖1 與第3 節所述一致，即隨著積分上限的增大，結構可靠度降低.這是因為隨著頻帶加寬，結構響應方差也在加大，最終導致了結構可靠性的降低.

圖1 頻域累積概率分布Fig.1 Distribution of cumulative probability in frequency domain

圖2 頻域概率密度Fig.2 Probability density in frequency domain

從圖1 中可發現，無控結構的概率出現了3 個較為明顯的下降段.在圖1 中大致繪出其概率分布曲線下降段的中心點(橫向箭頭處)，這些中心點依 次 對 應 的 外 激 勵 頻 率 分 別 為5. 95、17. 11、28.20 rad/s，而實際結構的前3 階頻率為5. 79、17.24、28.30 rad/s. 那么從頻域可靠性的角度看，結構動力可靠度下降的原因可歸結為在此頻率處，外激頻率剛好與結構頻率接近導致共振發生，其響應增大，即降低了可靠度，這就是出現3 個明顯下降段的原因.實際上還有其他不明顯的下降段，這些下降段受這些高階振型的影響較小.從圖2 中也發現概率密度負值絕對值最大處(谷點)對應的外激勵頻率為5.86、17.19 和28.46 rad/s，其原因與前述分析類似.

圖1 與圖2 中的表明，TMD 可提高結構的可靠性.在圖1 中一階頻率對應的拐點附近，TMD 結構體系的可靠度下降量很小;從圖2 的概率密度幅值也可得知，當結構無控時在一階頻率處的可靠度下降量卻很大，這表明TMD 主要控制結構的一階響應.另外，圖2 中無控結構一階頻率對應的TMD結構體系的頻率概率密度為-0.011 78，二階頻率對應的為- 0. 156 60，這表明與無控結構相比，TMD 結構體系的頻率概率密度在二階頻率處的下降幅度比一階頻率處快.

無控結構在前兩階頻率附近可靠度下降量(1 階頻率對應可靠度與其他各階頻率對應可靠度之差)，以及可靠度總下降量(1 階頻率對應可靠度與最終可靠度之差)的比值如圖1 所示.結構無控時前兩階下降比例為59.23%和35.45%，此時對應的TMD 結構體系則為34.54%和55.92%，這表明TMD 結構體系在一階頻率處的可靠度下降比例小，主要控制一階振型.此外，這也表明對于無控結構，其可靠度對頻率的敏感性隨振型階數的提高是降低的，而TMD 結構體系則在無控結構對應的二階頻率出敏感性最強，一階頻率處敏感性稍弱，其它階則不明顯.

若分析結構各樓層的頻域概率累積分布與頻域概率密度分布，可發現其基本結論與上述的總頻域概率信息是一致的. 圖3(a)為無控時各樓層頻域概率隨頻率的分布情況，圖3(b)為無控時各樓層域概率密度隨頻率的分布情況.

圖3 無控結構頻域概率分布與概率密度Fig.3 Distribution of cumulative probability and probability density in frequency domain without control

圖4 是相應的頻域概率信息在TMD 控制時的情況.

圖4 TMD 結構頻域概率分布與概率密度Fig.4 Distribution of cumulative probability and probability density in frequency domain for TMD

從圖3 與圖4(圖中1、3、5、7、10 表示選取的代表樓層)可見，TMD 結構體系對下部結構可靠度的影響較大.圖4 結果表明第1 層的頻域可靠度與圖2 中結構整體可靠度一致，但第3 層TMD 結構體系在一階頻率處的影響更大，總體上二階頻率處結構可靠度的下降較多.這也從可靠度概率分布的角度說明了TMD 主要控制結構的一階頻率響應，在其他振型可能有放大作用. 其他樓層的概率信息分析過程類似，在此不再贅述.

5 結束語

通過提出頻域可靠度的概念，利用首次穿越破壞準則，給出了結構在隨機激勵下關于頻域的概率分布計算公式，并采用向前差分方法求出關于頻率的概率密度，用本文方法分析了TMD 結構的頻域概率信息，得出以下結論:

(1)頻域可靠度是可靠度關于譜矩截止頻率的概率特征，其關于截止頻率的概率密度為負數.

(2)頻域可靠度分析頻率敏感性結構具有優勢，例如可以解釋TMD 結構體系的減震可靠性.

(3)頻域可靠度分析可以從激勵頻率角度解釋結構可靠度性損失情況，從而獲得結構在各階外激勵頻率下的可靠度，為合理改善結構頻率特性提供了依據.

因此，頻域可靠度分析對頻率敏感結構的設計具有借鑒意義，采用本文的分析方法可以反映頻率特性對結構動力可靠度的影響.

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