基于Curvelet稀疏表示的圖像壓縮感知重構算法

張 巖 任偉建 唐國維

(東北石油大學 a.計算機與信息技術學院；b.電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163318)

近年來基于正交變換的稀疏表示方法大多采用離散余弦變換、小波變換、Contourlet變換及Curvelet變換等。離散余弦變換是一種全局變換，不能很好地描述圖像的局部特征。傳統的小波變換能夠稀疏表示一維點狀奇異特征，有效捕獲點狀奇異特征，因此被廣泛應用于信號特征提取及信號去噪等領域[1，2]，但是圖像中包含的紋理信息通常是以曲線狀線條為基本特征，具有線狀奇異性，所以不具備方向識別性的小波變換不是理想選擇[3]。Contourlet變換將多尺度分析和方向分析同時進行，其支撐區間是具有隨尺度變化長寬比的長條形結構，具有方向性和各向異性，Contourlet變換獲取圖像邊緣的能力相對較強，但描述曲線狀紋理并不理想。Curvelet是一種具有方向性的各向異性小波[4]，其曲線狀基元和圖像中曲線狀紋理的特征類似，因此可以更有效地獲取圖像的紋理特征，實現稀疏表示。

文獻[5，6]提出，壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論根據信號本身的稀疏性與觀測方式的非相關性，只要信號在某個變換域是稀疏或可壓縮的，就可以用一個與稀疏表示不相關的測量矩陣對信號進行降維觀測，并在接收端使用復雜的重構算法以較高的概率通過其低維觀測值高精度重構原始信號[7]，突破了奈奎斯特采樣定理的瓶頸，為在圖像采集的同時壓縮數據提供了理論依據。但是，目前在基于Curvelet變換的壓縮感知重構方法中存在兩個主要問題[8～10]：Curvelet變換雖然能夠捕捉圖像的曲線狀紋理特征，在低頻區域保留圖像大部分的能量，但高頻仍存在大量細節信息，而且各尺度之間的Curvelet變換系數相關性較強，當前基于Curvelet變換的圖像CS處理方法忽略了利用Curvelet變換各尺度之間系數的相關性來保持高頻細節信息；傳統的求解圖像CS重構的基追蹤算法計算復雜度較高，即使處理常見尺寸的二維信號也非常耗時，而且二維圖像的CS觀測矩陣規模隨原圖像的尺寸增大而增加，不僅提高了存儲和計算處理的成本，還使CS過程受計算機硬件條件的限制。為此，筆者提出一種基于Curvelet稀疏表示的圖像分塊壓縮感知重構算法以解決上述問題。

1.1 Curvelet

Candès E J和Donoho D L提出了兩種基于第二代Curvelet變換理論的快速離散Curvelet變換方法，分別是非均勻空間抽樣的二維FFT算法和Wrap算法[11]。

第二代Curvelet變換直接在連續域進行定義，連續Curvelet變換中頻率窗Uj將頻域光滑地分成角度不同的環形，j為尺度，如圖1所示，陰影部分表示一個標準楔形窗，為連續Curvelet變換的支撐區間。

圖1 連續Curvelet變換頻率空間分塊圖

圖2 離散Curvelet變換頻率空間分塊圖

(1)

式中ω——傅里葉變換后的頻域參量；

Φ——一維低通窗口的內積，各尺度低通窗口對應于圖2中大小不同的笛卡爾方形窗。

二維圖像x∈L2(R2)經過Curvelet變換，可表示為：

(2)

式中Cj,l,k——Curvelet基函數；

〈x,Cj,l,k〉——Curvelet變換后尺度為j、方向為l、位置k=(k1,k2)的系數。

1.2 多尺度相關性分析

對一幅512×512像素的babarla圖像進行6級Curvelet分解，得到如圖3所示的系數分布圖。圖中灰色條帶是系數的間隔帶，黑色局部出現亮點的條帶是真實Curvelet系數條帶。可以看出，沿方形窗由內而外Curvelet變換尺度依次增加，正中心包含了低頻信息，最外層方形窗是最精細尺度的變換系數。可見Curvelet變換可以將大部分能量集中在第一級尺度，在2～6級變換尺度上，高頻子帶大部分系數值較小，并且在父級尺度下值較大的系數，在當前尺度下值也相應較大，各尺度之間相關性比較明顯。

圖3 Curvelet各尺度系數分布

Curvelet變換后的1～4級尺度系數結構見表1，每一級尺度j由多個方向l的系數組成。變換后得到的Curvelet系數以C{j}{l}(k1,k2)形式表示，其中j表示尺度，l表示方向，(k1,k2)表示尺度j上第l個方向上的坐標。在Curvelet變換各尺度之間對應方向上系數矩陣的尺寸不具有規則的倍數關系，與小波變換域多尺度之間的變換系數具有明確四叉樹結構的父子關系分布有很大不同。

表1 Curvelet變換后的1～4級尺度系數結構

2 圖像的分塊隨機觀測模型

文獻[12]首次提出基于分塊壓縮感知(Block Compressed Sensing，BCS)采樣方法，圖像矩陣x在采樣過程中，首先被劃分成不重疊的s個B×B子矩陣塊，然后用相同的觀測矩陣Φm×n對每個子矩陣塊進行獨立觀測，得到觀測向量集合：

yi|yi=Φm×nxi,i=1,2,…,s

(3)

3 圖像的重構模型

在圖像的CS應用中，求解基追蹤優化的主要問題在于基追蹤算法計算復雜度高，即使處理常見尺寸的圖像也非常耗時，于是降低計算復雜度成為眾多學者的研究熱點。近年來稀疏信號匹配追蹤、正交匹配追蹤及梯度投影等算法被先后提出[13～15]，這些算法雖然可以大幅降低計算復雜度，卻是以降低重構信號質量為代價的。文獻[16]提出光滑Landweber投影重構的BCS算法，其具有計算復雜度低、重構圖像質量高于眾多基追蹤算法的優點。文獻[17]基于小波變換各尺度之間與尺度內部的相關性，提出雙變量收縮閾值迭代模型并獲得了較好的去噪效果。雙變量收縮閾值的迭代模型如下：

(4)

其中，Round表示四舍五入運算，┌ ┒表示向上取整運算。由Curvelet變換系數分布可得如果父級尺度的系數ξp值大，則子級尺度系數ξ值也相應較大，多尺度之間相關性較強。利用ξp可以較好地預測ξ值，從而能更好地保留細節信息，濾除迭代重構過程中的噪聲。筆者提出的基于Curvelet稀疏表示各尺度間系數相關性的雙變量收縮閾值的Landweber重構迭代式為：

(7)

(8)

式中C——Curvelet變換；

CT——Curvelet反變換；

T——閾值收縮算子；

x(k)——估計值經過閾值比較的調整值；

y——圖像觀測數據；

φ——測量矩陣；

γ——比例因子。

CS重構算法的具體步驟如下：

a. 初始化，給定迭代停止參數τ、圖像分塊觀測矩陣φ、圖像觀測數據y，設迭代計數器k=0、Curvelet變換自適應閾值收縮算子為T、λ初值為λ0，給定η的初值；

d. 多尺度雙變量收縮閾值處理，V(k+1)=T(D(k+1))，其中V(k+1)為k+1次迭代系數閾值調整矩陣；

e. Curvelet反變換，xk+1=CT(V(k+1))，其中CT為Curvelet反變換；

f. 如果‖x(k+1)-x(k)‖2>τ轉到步驟b，否則輸出重構圖像x=x(k+1)；

g. 算法結束。

4 實驗結果與分析

對512×512像素的標準測試圖像Lenna和Barbara分別采用基于Curvelet稀疏表示的圖像分塊壓縮感知重構算法、DWT、Contourlet和DCT進行對比實驗，圖5、6分別給出了重構效果。可以看出DWT重構結果中的紋理區域振鈴現象較嚴重；Contourlet具有獲取兩個信號幾何輪廓特征的功能，結果中的紋理區域較清晰；DCT重構結果中的紋理區域模糊現象較嚴重；而筆者所提算法具有多尺度和多方向的識別能力，有利于圖像中曲線狀紋理的分辨，結合多尺度雙變量收縮閾值迭代能夠獲得更好的重構圖像效果。

圖4 Lenna圖像重構效果對比

圖5 Barbara圖像重構效果對比

表2分別給出了采樣率為0.3時，上述4種算法重構效果的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)結果。可見筆者所提算法重構效果均高于其他3種算法，Lenna圖像紋理區域相對較少，筆者所提算法的PSNR比其他算法平均提高0.74dB；Barbara紋理區域相對較多，筆者所提算法的PSNR比其他算法平均提高1.00dB。這都驗證了筆者所提算法的有效性與穩定性。

表2 不同算法的PSNR數值比較結果 dB

5 結束語

為了研究圖像的稀疏表示與重構問題，筆者提出了一種基于Curvelet稀疏表示的圖像壓縮感知重構算法，利用Curvelet變換優越的多尺度幾何分析能力對圖像曲線狀紋理進行稀疏表示，結合BCS技術降低隨機觀測計算的復雜度。在圖像重構過程中設計了基于Curvelet變換高頻子帶系數之間相關性的雙變量收縮閾值迭代重構算法，實驗結果也證實筆者所提算法可以很好地重構圖像，在同一采樣率下能夠更好地保持圖像的細節信息。

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