數學教學要突出數學本質

彭永新

“新課標”開篇即說：“數學是研究數量關系和空間形式的科學”[ ]。這句話點出了數學的本質。我們知道，數學知識作為客觀事物在數與形方面的特征與聯系在人腦中的能動反映，反映的是一類對象在數與形方面的內在的、固有的屬性，不僅表現為數學概念、法則、公式等抽象的言語信息，還表現為數學思想方法等策略性知識。但是在實際教學中，一些老師往往囧于具體教學內容的表面現象，看不清楚數學概念背后蘊含的數學本質的本源，教學實踐中不能準確把握數學本質的教學主流，甚至輕視數學知識的教學，致使數學本質被“形式化”、“片面化”乃至“虛幻化”。下面選取幾個教學案例做簡單分析。

一、概念教學不能止于“形似”——數學本質“形式化”

案例1：某教師在教學線段、射線、直線之間的關系時，先出示一條線段，然后邊擦端點邊告訴學生“擦掉線段的一個端點，就變成了射線；再擦掉射線的一個端點，就變成了直線”。

分析：關于直線、線段、射線三者關系的描述，蘇教版四上P16頁有如下描述：把線段的一端無限延長，就得到一條射線；把線段的兩端都無限延長，就得到一條直線。這兩句話揭示了直線、射線與線段三者之間聯系與區別：線段是直線的一部分，它有兩個端點，可以度量，而直線和射線都是無限長的，射線只有一個端點，而直線沒有端點。因此，“擦去線段的一個端點”，而不作延長的標示，它依然是一條線段，因為“擦去”一個端點，必然會產生新的端點。同理，只“擦去射線的一個端點”，也依然是一條射線。這一道理是如此的淺顯，為什么這位老師要告訴學生“擦掉線段的一個端點，就變成了射線；再擦掉射線的一個端點，就變成了直線”呢？原因是這位教師淺顯地理解“習慣上教材有意識地把射線的一個端點或線段的兩個端點放大，使在線上隱形的抽象的點顯性化、形象化”的真實用意。比如，畫一條射線，只需在一端用一短豎線或者一個紅點標示（教材上基本上是這樣標示的），如果是線段，需要在兩端都如此標示。如此來看，“擦去一個端點”，其視覺效果正好符合射線的“標示”模式。顯然，這種做法迎合的只是一種數學概念外在的“形似”，而或略了直線和射線的本質特點“無限長”。這樣的教學有可能使學生產生錯誤的理解：“直線就是線段去掉兩個點，射線就是線段去掉一個點，從而誤解了直線、線段、射線的本質屬性。”我們的教學決不能將本質當做淺顯的形式，失去了數學的“真”，這樣的教學后果是可怕的。

二、概念教學該怎樣走向深刻——數學本質“片面化”

案例2：一位教師教學倍的認識。先出示：●表示紅花，你能知道紅花的朵數是藍花的幾倍嗎？先猜一猜，藍花可能有幾朵，紅花的朵數就是藍花的幾倍？

學生有的說：2朵，有的說可能3朵，4朵，也有人說可能5朵，或者8朵……

師：大家的猜想有沒有道理呢？這樣吧，請你們在練習紙上用○表示藍花先畫一畫，再圈一圈，看看紅花的朵數是你畫的藍花的幾倍？

數分鐘后，教師展示藍花分別是2朵、3朵、4朵和6朵四種情況（圖略），并逐一讓學生說出紅花的朵數各是藍花的幾倍。

師：剛才有人說藍花可以是5朵，或者8朵，你們覺得可以嗎？

生：不可以！……

分析：很顯然，這段設計十分精巧。先猜一猜，紅花的朵數就是藍花的幾倍，藍花可能有幾朵。然后老師借助畫、圈兩個動作，讓學生自主探索出藍花的朵數可以是2朵、3朵、4朵、6朵。在聽課的當中，我非常期待執教者能關注一下學生前面的5朵、8朵這兩種猜想的現實性，但遺憾的是，教師將5朵、8朵這樣的情況主動回避了。為什么回避？執教者的解釋是二年級學生對“倍”的認識僅限于整數范圍。因為只學了整數，所以倍的認識就只限于整數嗎？

倍的本質是“比”，即兩個量之間不僅僅是整數倍的關系，也可以是分率關系，關鍵是確定比的標準，將被比量看做一個單位，通過比較量有幾個或幾分之幾個這樣的單位來確定兩者之間的倍比關系。學生出現的5朵、8朵的猜想，不僅不能被排除在倍的認識討論之外，相反是教學走向深刻的一個契機。這個案例的分析說明，對數學本質的把握，我們需要有一個長遠的目光。我們的教學不能只是見木而不見林，人為地割斷知識間的聯系，這很容易使學生陷入思維的泥沼。

三、數學文化的根基在哪里——數學本質“虛幻化”

案例3：一位老師執教圓的周長一課。課前先引導學生觀看微課：也就是通過電腦演示圓的周長分別與它的外接正方形周長和內接正六邊形周長比較，得出圓的周長比它的直徑的三倍多一些，又比它的直徑的四倍小一些。

接著教學中讓學生分組用滾圓法或者繞圓法開展測量活動，并計算出周長與直徑的比值（要求保留兩位小數），巧合的是學生大多測量的結果接近3.14。

然后教師讓學生交流前面微課的體會，引出古今中外關于圓周率的研究歷史，從周三徑一到祖沖之的歷史貢獻等等。

分析：很顯然，執教者的意圖是通過微課的形式充分展示了圓周率的歷史文化，突出了數學文化的教學，而對操作測量活動的安排一帶而過。對這樣的安排，一些老師認為是可行的有深度的教學嘗試。但筆者認為，如果沒有測量法的實踐感受，學生怎會產生深刻的“麻煩”體驗，缺少了體驗的文化滲透，充其量只是一場走秀而已。因此，筆者這里不僅需要從課堂上的實際情況做真實的測量活動，相反應該讓學生從取一位小數、到兩位小數、再三位小數、甚至四位小數的近似值結果，從中實際感受到測量法求圓周率的誤差把握的不易，在此基礎上再借機進行古代數學家們進行計算圓周率的方法探求，這不僅僅是一種科學精神的教育，更重要的是數學思想的滲透。從這節課的探討來看，筆者以為我們對數學本質核心的理解關鍵取決于教師具有怎樣的教學境界。

從上面三個案例的分析來看，一線教師在概念教學時之所以出現數學本質形式化、片面化、虛幻化，筆者認為一個重要的原因是教師們尚不能從微觀出發來認識和把握處理數學概念的數學本質。所謂微觀，即從小的方面、局部方面去研究，這種研究方法，叫做微觀方法。在微觀上，數學本質是指具體數學內容的本真意義。對此，章建躍、張翼等人提出，數學本質不僅體現在數學知識上，體現在數學思想、數學文化、數學精神里，還體現在抽象、嚴密、簡潔等特點上。北京教育學院劉加霞教授則將數學本質的內涵歸結為以下五個層面：一是對基本數學概念的理解；二是對數學思想方法的把握；三是對數學特有思維方式的感悟；四是對數學美的鑒賞；五是對數學精神（理性精神與探究精神）的追求。這些論述，對我們的教學實踐具有一定的指導意義。

【作者單位：蘇州工業園區星海小學 江蘇】