《橢圓及其標準方程》教學設計

談瑋

隨著高中新課程改革的推進，我國數學課堂教學改革取得了一些實質性進展。廣大教師逐漸意識到：提升課堂教學的質量是深化新課程改革的關鍵，而如何提升課堂教學的質量讓數學課堂更加高效，這是擺在我們每一位數學教師面前的重要問題。下面是筆者在進行《橢圓及其標準方程》這一課的教學設計。

一、教學目標

本節課的教學目標主要有三點：一是通過觀看課件以及學生之間的相互討論，感受數學與生活的聯系；二是動手操作，掌握橢圓的畫法及定義；三是聯系已學的舊知識，復習和鞏固本節課所學的新知識，經歷數學化地表示問題的多種形式，體會數形結合的思想方法。

二、新課講授

（一）觀察現實生活中的背景，提出問題，課堂引入

課件展示章。

當變化的平面與圓錐軸所成的角變化時，請學生觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是什么圖形？又是怎樣變化的？特別是當截面不與圓錐的軸線或圓錐的母線平行時，截口曲線是橢圓。在觀察和操作了課件后，老師提出兩個問題：第一、你能理解為什么把圓、橢圓、雙曲線和拋物線叫作圓錐曲線嗎？第二、你能舉出現實生活中圓錐曲線的例子嗎？（在生活中，眼鏡片、油罐車的橫斷面、餐桌等）學生回答后課件展示。

【設計意圖】

在課堂的開頭用統一的形式展示“圓錐曲線”得名的緣由，讓學生在一個立體幾何圖形情境中體驗解析幾何研究對象的相互關系。

（二）動手畫橢圓，構建橢圓的視覺圖形

引導學生一起探究P41頁上的問題（同桌的兩位同學準備無彈性的細繩子一條（約10 cm長，兩端各結一個套），教師準備無彈性細繩子一條（約60 cm，一端結個套，另一端是活動的），圖釘兩個）。當套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是橢圓。啟發性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？

【設計意圖】

新課程強調數學教學要增強情境滲透，一是讓學生領悟數學與生活的廣泛聯系，二是增加學生學習數學的興趣與動力。

（三）定義橢圓與寫方程，體會數學的嚴謹、簡潔，新課講授

1.由上述探究過程得到橢圓的定義

《板書》把平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫作橢圓。其中這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩定點間的距離叫作橢圓的焦距。即當動點設為M時，橢圓即為點集P=

{M||MF1|+|MF2|=2a}。其中，|MF1|+|MF2|>|F1F2|。

（ii）橢圓標準方程的推導過程

提問：已知圖形，建立直角坐標系的一般性要求是什么？第一、充分利用圖形的對稱性；第二、注意圖形的特殊性和一般性關系。

無理方程的化簡過程是教學的難點，注意無理方程的兩次移項、平方整理。

設參量b的意義：第一、便于寫出橢圓的標準方程；第二、a，b，c的關系有明顯的幾何意義。

類比：寫出焦點在y軸上，中心在原點的橢圓的標準方程■+■=1（a>b>0）。

【設計意圖】

通過作圖展示與操作，學生對橢圓的形成有了一定的認識。在教師的引導下，結合前面已學的“曲線與方程”的知識，讓學生能夠把幾何問題化歸成代數問題來分析，反過來會把代數問題轉化為幾何問題來思考，培養學生數形結合的思想方法。

（四）數與形完美結合，強化橢圓概念

設計三道例題，并通過分析講解、剖析、引申等。

【設計意圖】

通過例題講授，讓學生認同與領悟：培養學生從定義的角度思考問題的好習慣；典型的用代入法求動點的伴隨點的軌跡，培養學生的辯證思維方法，會用分析、聯系的觀點解決問題；培養學生的對問題引申、分段討論的思維品質。在學習了“曲線與方程”之后，學生初步形成了由已知曲線求解方程，以及通過方程研究曲線簡單性質的解析幾何基本能力。

（五）鞏固練習，作業布置

【教學反思】

《橢圓及其標準方程》是在學完《曲線和方程》之后，學生接觸的第一種圓錐曲線，既是對前面所學“坐標法”的一次實戰演示，也為以后進一步學習橢圓的幾何性質及雙曲線、拋物線提供樣本學習模式。這節課對《圓錐曲線》這章的學習起著引領作用，是本章的重點內容，也是高考的重點考查內容之一。

“尊重學生，以學生為主體”作為一種教學理念得到教師認同，但在實際行動中卻不自覺地主觀設定學生的認知水平，不自覺地把自己的理解強加給學生，這節課的教學過程，應該說為做到“以學生為主體”提供了一種途徑，從課后效果看本節課的意義還不只是突破了難點，讓學生獲得了知識和方法。更重要的是激發了學生的學習興趣，對學生學好解析幾何，既有方法的奠基也有信心的激勵。

在我們的教學過程中，有時可能會認為一個概念的形成或一個知識的推導不值得花費較多的課堂時間，不如后面跟進訓練效率高、效率明顯，于是就壓縮知識的形成過程，特別是自主探究過程；反過來，在解題教學中，又不斷地去提煉數學思想方法，抱怨學生學得快忘得快，抱怨學生不了解知識的本質，不能運用數學思想方法分析問題、解決問題，殊不知這種現象的根源是來自教學，來自教學對知識形成過程的忽略，可以說知識的形成過程是最好的數學思想方法載體，做好了這個環節，才可以提高學生的學習效率，起到事半功倍的效果。

（作者單位：湖北省黃石三中）endprint