淺談分類討論思想在數學解題中的應用

文/王芳芳

引言

數學課程標準明確提出數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，分類討論思想是一種普遍應用的數學思想，應用較為廣泛。作為數學教師，如何發現并挖掘分類討論思想，并將這一思想傳遞給學生，已經成為數學教師普遍關注的問題。在新課程中，分類思想在教材中的體現是豐富多彩的，在整個初中、高中階段很多問題都用了分類的思想，將不同的事物分為不同的種類，尋找它們各自的共同點及內在的規律性。

一、分類討論思想概述

1. 分類討論的定義

分類討論思想是指在解決問題時，研究對象存在多種情況，不能一并解決，要求我們搞清研究問題的本質，進行適當的歸類劃分，然后根據分類情況分別討論研究，最后將各類結果匯總，得到解決問題的最終結果。

2. 分類討論的類型

(1)概念型。所研究問題所涉及的數學概念是分類進行定義的。如| m| 的定義分為m ＞0、m=0、m ＜0 三種情況。(2)條件型。所研究問題涉及到的數學問題有范圍或者條件約束的。如推導等比數列的前n 項和的公式，分m=1 和m≠1 兩種情況。(3)含參型。解含參變量的題目時，必須根據參數的不同取值范圍分別進行討論。如解不等式mx ＞4 時分m ＞0、m=0 和m ＜0 三種情況討論。

3. 分類討論解題步驟

(1)確定討論對象和確定研究的全域;(2)對研究問題進行分類(分類時注意做到不重和不漏);(3)分類討論:即對各類問題進行討論，然后分類解決;(4)歸納匯總，整理得出結論。

二、分類討論思想在解題中的應用

1. 分類討論思想在集合中的應用

例1. 已知集合P= {m2，m+1，-3}，Q= {m-3，2m -1，m2+1}，若P∩Q= {-3}，則m 的值( )

A. 0 B. -1 C. 1 D. 2

解:選B;∵ P∩Q= {-3}，

∴ -3 ∈Q= {m-3，2m-1，m2+1}，

當m-3= -3 時，m=0，P= {0，1，-3}，Q= {-3，-1，1}，則P∩Q= {-3，1}，與題設矛盾，

當2m-1= -3 時，m= -1，P= {1，0，-3}，Q= {-4，-3，2}，

當m2+1= -3 時，方程無實數解。

小結:該題考查了集合在運算時的分類討論思想，分類的標準為集合的性質:確定性、無序性、互異性。

2. 分類討論思想在解不等式中的應用

剖析:此題主要考察含參數不等式的解法，參數m 決定了2m+1 的正負和兩根-4m、6m 的大小，所以要對參數m 分四種情況

分以下四種情況討論:

2 時，(x+4m)(x-6m) ＜0，解得:6m ＜x ＜-4m。

綜上得:當m ＞0 時，x ＜-4m 或x ＞6m;當m=0 時，x≠0;當-＜m ＜0 時，x ＜6m 或x ＞-4m;當時，6m ＜x ＜-4m。

小結:做含參變量的題目時，要分清參量和變量，做到合理有效的分類，不重不漏。

3. 分類討論思想在方程和函數中的應用

例3. (2011 天津文16)設函數. 對任意，恒成立，則實數的取值范圍是;

【解析】解法1。顯然，由于函數對是增函數，則當時，不恒成立，因此。

當時，函數在是減函數，因此當時，取得最大值，于是恒成立等價于的最大值，即，解得。所以實數的取值范圍為。

小結:含有參數的二次函數的最值問題是一類常見問題，分類的關鍵是抓住對稱軸，對其在不同的區間進行分類討論。

三、小結

分類討論思想的應用非常廣泛，涉及到的知識點較多，這里不能一一列舉出來，分類討論思想的關鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的事物和標準，按可能出現的所有情況做出準確分類，再分門別類加以求解，最后將各類結論綜合歸納，得出正確答案。分類討論思想是一類重要的數學思想，教師一方面引導學生理解其分類精髓，學會運用分類思想解題，另一方面也要不斷培養學生的數學思維能力，對學生學習其它數學思想會產生積極作用。

［1］安玉祿，分類討論思想在數學教學中的應用［J］，中學生數理化，2010 年08 期.

［2］趙慧，分類討論思想在高中數學教學中的運用［J］，考試周刊，2010 年38 期.

［3］ 楊建平，淺談分類討論思想在中學數學教學中的應用［J］，學周刊，2013 年07 期.

［4］ 葉偉文，例說分類討論思想在高中數學解題中的應用［J］，數學教學通訊，2010 年27 期.

［5］李克大，分類討論的數學思想及其應用［J］，中學生數學，2010 年09 期.