基于螺旋理論對(duì)4-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度及運(yùn)動(dòng)分析*

胡興偉，夏廣嵐，殷寶麟，于 峰，孫趙寧，莊騰飛

(佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

與串聯(lián)機(jī)器人相比，并聯(lián)機(jī)器人具有許多優(yōu)點(diǎn)，而近年來(lái)對(duì)少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究已成為了一個(gè)熱點(diǎn)［1-3］。因?yàn)樯僮杂啥炔⒙?lián)機(jī)器人由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、驅(qū)動(dòng)容易、造價(jià)低而具有較高的實(shí)用價(jià)值，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用前景［4-7］。

本文研究的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)在空間能實(shí)現(xiàn)三移動(dòng)一轉(zhuǎn)動(dòng)，它是由上下平臺(tái)以及四個(gè)分支鏈構(gòu)成。四個(gè)支鏈的結(jié)構(gòu)均對(duì)稱分布，且每個(gè)支鏈都由一個(gè)虎克鉸，一個(gè)移動(dòng)副，一個(gè)虎克鉸組成，下平臺(tái)為靜平臺(tái)，上平臺(tái)為動(dòng)平臺(tái)。本文應(yīng)用螺旋理論［8］對(duì)4-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了自由度分析，最終成功驗(yàn)證了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為4。

1 自由度分析

1.1 螺旋理論基本知識(shí)

在幾何數(shù)學(xué)中，一條空間直線的姿態(tài)(位置和方向)是由兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定的。在螺旋理論的范疇里，如圖1所示，空間任何一條直線的確定是由方向矢量S和矢量S對(duì)原點(diǎn)的線矩S0來(lái)定義表示的，直線也叫做線矢量(節(jié)距h=0)，是旋量一種特殊的情況。直線的的矢量表達(dá)形式如下:

其矢量方程的標(biāo)準(zhǔn)形式即為:

齊次坐標(biāo)滿足:

圖1 直線的矢量方程

其中L、M、N是有向線段 S的方向數(shù)，P、Q、R是該線段S對(duì)原點(diǎn)的線矩在X、Y、Z三軸的分量。當(dāng)S·S=1時(shí)，則線矩S0的模表示直線到原點(diǎn)的距離。此時(shí)ξ為單位線矢量;當(dāng)S0=0時(shí)，即直線的線矩為零，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。由表達(dá)式顯然可知，S·S0=0。這種滿足正交條件的齊次坐標(biāo)(S;S)0表示了直線在空間的方向及位置，(S;S)0稱為直線的Plücker線坐標(biāo)。

若節(jié)距∞≠h≠0，且 S·S0=0，S≠0 時(shí)，用 h=S·S0/S·S來(lái)表示該旋量的節(jié)距。那么該旋量可以看作是一個(gè)線矢量與一個(gè)偶量的同軸合成，即為:

若節(jié)距 h=0，S·S0=0，S≠0時(shí)，旋量就退化為線矢量，此時(shí)可以用來(lái)表示一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副或者一個(gè)約束力;若S=0，S0≠0時(shí)，則旋量退化為偶量，即為(0;S0)，此時(shí)的節(jié)距為無(wú)窮大，那么該旋量可以表示一個(gè)移動(dòng)副和約束力偶。

若 ξ1，ξ2分 別 為(L1，M1，N1;P1，Q1，R1)與(L2，M2，N2;P2，Q2，R2)，則兩個(gè)螺旋的互易積定義如下:

如果所研究的兩個(gè)螺旋ξ1，ξ2之間的互易積為零，即為:

在這里稱與螺旋1構(gòu)成互易積為零的螺旋2為螺旋1的反螺旋。可以從物理的運(yùn)動(dòng)及力的角度解釋，可以把ξ1看作力螺旋，ξ2看作是運(yùn)動(dòng)螺旋，在如上表述的情況下，無(wú)論該力螺旋的力及力矩多大，都無(wú)法對(duì)物體進(jìn)行做功，不影響物體的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，也不改變物體在約束允許下的螺旋運(yùn)動(dòng)。為了更加清晰的來(lái)描述螺旋與反螺旋的定義，不妨設(shè)ξ=(S;S0)和，那么可以表示如下:

通過(guò)上述等式，對(duì)于運(yùn)動(dòng)螺旋ξ的反螺旋ξr，若是它的節(jié)距為零，則代表一個(gè)約束力，其限制了沿約束力方向的移動(dòng);若是它的節(jié)距為無(wú)窮大，則代表一個(gè)約束力偶，限制了繞該力偶方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。

當(dāng)兩個(gè)螺旋的互易積為零時(shí)，如果一個(gè)螺旋表示了機(jī)械系統(tǒng)的約束反力，另一個(gè)則是為該機(jī)械系統(tǒng)所允許的運(yùn)動(dòng);反之，如果一個(gè)螺旋表示了物體的運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)則是機(jī)械系統(tǒng)本身所產(chǎn)生的約束。

兩螺旋互易積為零的解析式還可以表示為:

可見(jiàn)，若ξ為ξr的反螺旋時(shí)，同理ξr也一定為ξ的反螺旋，這正是反螺旋的互逆性的定義。兩個(gè)互逆的螺旋的互逆性和線性相關(guān)性只與兩個(gè)螺旋自身的參數(shù)有關(guān)，與原點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，也即與坐標(biāo)系的選擇沒(méi)有任何聯(lián)系。因此在分析某些機(jī)構(gòu)尤其是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度時(shí)，一般可以從以下幾個(gè)步驟來(lái)完成:

1)對(duì)于對(duì)稱型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)各支鏈的運(yùn)動(dòng)副分布情況及屬性寫(xiě)出某一支鏈相對(duì)應(yīng)的各運(yùn)動(dòng)副的螺旋;對(duì)于非對(duì)稱性的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，支鏈相同的可以只寫(xiě)出一個(gè)支鏈中的各個(gè)運(yùn)動(dòng)副的螺旋，不同的支鏈應(yīng)分別列寫(xiě)出各支鏈相對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)副螺旋即可;

2)根據(jù)線性代數(shù)理論，若線性方程組有n個(gè)未知數(shù)，方程組系數(shù)矩陣的秩為r，根據(jù)具體情況進(jìn)行求解，若n＞r和n＜r時(shí)，在無(wú)窮多個(gè)解向量中，解向量之間最大的線性無(wú)關(guān)的數(shù)目為n-r，這樣由互逆螺旋線性方程決定的基礎(chǔ)解析將會(huì)有n-r個(gè)螺旋構(gòu)成，這也是最大的線性無(wú)關(guān)的反螺旋數(shù)目。

3)通過(guò)分析該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的階數(shù)、構(gòu)件數(shù)、運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目等一系列相關(guān)的參數(shù)后，那么利用修正后的 Kutzbach-Grüber公式［4］便可以計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度。

1.2 4-UPU機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算

修正后的Kutzbach-Grüber公式為:

在公式中，其中M表示機(jī)構(gòu)的自由度;d表示機(jī)構(gòu)的階數(shù)，機(jī)構(gòu)的階數(shù)由公共約束數(shù)來(lái)確定;n表示所有的構(gòu)建數(shù)目;g表示機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)副數(shù)目;fi表示第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)目;ν為多環(huán)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在去除公共約束的因素后的冗余約束的數(shù)目;ζ為機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度。

如果4-UPU機(jī)構(gòu)的動(dòng)、靜平臺(tái)不為正方形時(shí)，根據(jù)4-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式以及排列組合的原理可以得到24種不同的結(jié)構(gòu)組合形式。在這里只對(duì)4條支鏈的兩端均采用虎克鉸垂直布置的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行分析驗(yàn)證。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的4條支鏈的各運(yùn)動(dòng)副布置情況的具體結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 4-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)(虎克鉸垂直布置)結(jié)構(gòu)圖

從圖中可以看到該結(jié)構(gòu)的鏈接布置情況，與靜平臺(tái)相鏈接的為虎克鉸 ai(i=1，2，3，4);與動(dòng)平臺(tái)相鏈接為虎克鉸 bi(i=1，2，3，4)。四個(gè)支鏈的結(jié)構(gòu)對(duì)稱，均由虎克鉸-移動(dòng)副-虎克鉸的形式進(jìn)行鏈接。建立下平臺(tái)靜坐標(biāo)系OB-XBYBZB，點(diǎn)OB位于下平臺(tái)的質(zhì)心點(diǎn)，XB軸平行于a1a4，同理YB軸平行于a1a4，Zb軸垂直于下平臺(tái)向上。建立機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系OM-XmYmZm，其中點(diǎn)OM位于上平臺(tái)的質(zhì)心點(diǎn)，Xm軸平行于b1b2，v軸平行于b1b4，ZM軸垂直于上平臺(tái)向上。由于一個(gè)虎克鉸副等效于兩個(gè)軸線互相垂直相交的轉(zhuǎn)動(dòng)副(即U=2R)，在此定義其中一個(gè)R垂直于定平臺(tái)，另外一個(gè)R則平行于靜平臺(tái)。

由于四條支鏈完全對(duì)稱，因此可以選擇研究其中任何一條支鏈即可。其中給予以下結(jié)構(gòu)位置參數(shù)，(p q 0)為下平臺(tái)虎克鉸的中心位置，(i j k)為移動(dòng)副的方向余旋，(l m n)為上平臺(tái)虎克鉸的中心位置。那么根據(jù)所給出的位置參數(shù)，可以寫(xiě)出4-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)第一支鏈的螺旋表示:

根據(jù)互易積計(jì)算公式ξi·ξi(r)=0，可以求得該支鏈的一個(gè)反螺旋為:

通過(guò)計(jì)算結(jié)果可以清晰地看出ξi(r)為一個(gè)反螺旋力偶，其實(shí)它的存在限制了動(dòng)平臺(tái)繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，因此根據(jù)結(jié)構(gòu)的完全對(duì)稱型知道四個(gè)支鏈均有相同的反螺旋力偶，根據(jù)高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)Grassmann線幾何原理，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的4個(gè)反螺旋不能構(gòu)成公共約束，并且僅有2個(gè)是線性無(wú)關(guān)的，那么d=6，υ=t-k=2，再看結(jié)構(gòu)布置圖2，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)不存在局部自由度，因此 ζ=0，根據(jù)修正后的 Kutzbach-Grüber公式(9)計(jì)算如下:

由計(jì)算結(jié)果可知，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)為4。

2 4-UPU運(yùn)動(dòng)分析

通過(guò)上面基于螺旋理論及Kutzbach-Grüber公式對(duì)4-UPU型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行了驗(yàn)證并取得了正確的結(jié)果值。可以從其螺旋的位置及方向可以確定動(dòng)平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)3T1R，針對(duì)該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及動(dòng)平臺(tái)的位姿給出的詳細(xì)描述，然后可以順利地構(gòu)造出其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并得到以下結(jié)論:

動(dòng)平臺(tái)繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿x、y、z三坐標(biāo)軸的移動(dòng)，該機(jī)構(gòu)屬三移動(dòng)一轉(zhuǎn)動(dòng)自由度機(jī)構(gòu)。通過(guò)初步建立4-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型，并基于Pro/E中MDX模塊對(duì)所實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)做了一個(gè)仿真。下面給出了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)示意圖，其中的圖3給出了動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)沿x軸方向的移動(dòng)，圖4給出了動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)沿y軸方向的移動(dòng)，圖5給出了動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)沿z軸方向的移動(dòng)，圖6則給出了動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)沿z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖3 動(dòng)平臺(tái)沿X軸的移動(dòng)

圖4 動(dòng)平臺(tái)沿Y軸的移動(dòng)

圖5 動(dòng)平臺(tái)沿Z軸的移動(dòng)

圖6 動(dòng)平臺(tái)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

通過(guò)以上的運(yùn)動(dòng)分析發(fā)現(xiàn)，4-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)完全可以實(shí)現(xiàn)四自由度的位姿，這樣不僅從理論上證明了這點(diǎn)，而且通過(guò)對(duì)其進(jìn)行模型的建立和分析，同樣證明了這一點(diǎn)。

3 結(jié)論

本文利用螺旋理論以及反螺旋的思想，以4-UPU為例計(jì)算出了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)，驗(yàn)證了該算法的正確性和簡(jiǎn)便性。從理論上證明了其合理性，緊接著通過(guò)對(duì)其結(jié)構(gòu)建模并分析驗(yàn)證，可以順利地保證該機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)3T1R的預(yù)期目的。這對(duì)后續(xù)研究其運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。

［1］ 朱建國(guó).并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究［J］.科協(xié)論壇，2010(9)，94-95

［2］ 石曉宇.少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究綜述［J］.煤礦機(jī)械，2011.(10)

［3］ 于振文，張亞杰.少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究綜述［J］.制造業(yè)自動(dòng)化，2011(2)

［4］ 黃真，劉靖芳，曾達(dá)幸.基于約束螺旋理論的機(jī)構(gòu)自由度分析的普遍方法.中國(guó)科學(xué)(E輯:技術(shù)科學(xué))，2009，39(1):84-93

［5］ 蔡光起，原所先，胡明，等.少自由度并聯(lián)機(jī)床自由度配置和構(gòu)型設(shè)計(jì).第三屆海峽兩岸制造科技研討會(huì)文集，2003:349-354

［6］ D.Zlatanov，C.M.Gosselin.A New parallel architecture with four degrees of freedom［C］.The 2ndworkshop on Computational Kinematics，Seoul，2001:57-66

［7］ 李勤川，楊元兆，陳巧紅，胡旭東.基于螺旋理論的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度分析［J］.浙江理工大學(xué)報(bào)，2007(7)

［8］ 黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2006