用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題

閆子紅

要理解導(dǎo)數(shù)概念，必須先掌握函數(shù)的平均變化率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的物理意義。下面，讓我們從實(shí)際問題中領(lǐng)悟?qū)?shù)概念。

一、治污效果的比較

例1 國家環(huán)保局在規(guī)定的排污達(dá)標(biāo)的日期前，對甲、乙兩家企業(yè)進(jìn)行檢查，其連續(xù)檢測結(jié)果如圖1所示（圖中W1（t），W2（t）分別表示甲、乙企業(yè)在時(shí)刻t的排污量）。試問哪個(gè)企業(yè)的治污效果較好？

分析：本題主要體現(xiàn)函數(shù)平均變化率的定義在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，要想知道哪個(gè)企業(yè)的治污效果好，關(guān)鍵看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好。

解：在時(shí)刻t2處，雖然W1（t）=W2（t），

說明在單位時(shí)間里企業(yè)甲比企業(yè)乙的平均治污率大。即企業(yè)甲的治污效果要好一些。

評注：本題實(shí)質(zhì)上考察的是曲線割線的斜率的絕對值大小，這里不涉及瞬時(shí)變化率。

二、圓形波紋的變化

例2 投石入水，水面產(chǎn)生圓形波紋區(qū)。圓的面積隨著波紋的傳播半徑r的增大而增大（如圖2），計(jì)算：

（1）半徑r從a增加到a+h時(shí)，圓面積相對于r的平均變化率；

（2）半徑r=a時(shí)，圓面積相對于r的瞬時(shí)變化率。

分析：本例中的題（1）是求變化中的幾何圖形（圓）面積的平均變化率。而題（2）則是求圓面積的瞬時(shí)變化率，實(shí)際上就是求函數(shù)S=πa2的瞬時(shí)變化率。

解：（1）半徑r從a增加到a+h時(shí)，圓面積從πa2增加到π（a+h）2，其改變量為π[（a+h）2-a2]，而半徑r的改變量為（2）在上面得到的平均變化率表達(dá)式中，讓r的改變量h趨于0，得到半徑r=a時(shí)，圓面積相對于r的瞬時(shí)變化率為2πa。

評注：本例中的題（1）求的是函數(shù)曲線的割線斜率，從數(shù)學(xué)的角度看，都是函數(shù)值的改變量與對應(yīng)的自變量的改變量的比；而題（2）求的是函數(shù)的瞬時(shí)速度，即平均變化率在某點(diǎn)處的極限，也就是某一點(diǎn)處切線的斜率。

三、運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度

（1）求s關(guān)于t的變化率，并說明其物理意義；

（2）求運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度關(guān)于t的變化率，說明其物理意義。

分析：本題是導(dǎo)數(shù)概念在物理學(xué)中的運(yùn)用，題（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算得出位移函數(shù)s關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)（即運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度），而題（2）則是求瞬時(shí)速度關(guān)于時(shí)間t的瞬時(shí)變化率（運(yùn)動(dòng)物體的加速度）。

趨于at，即s′（t）=at。從物理上看，s關(guān)于t的變化率at就是運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度。

時(shí)，a還是a，所以s″（t）=a，它是運(yùn)動(dòng)物體的加速度。

評注：通過本例，一方面可以加深我們對導(dǎo)數(shù)定義的理解，另一方面則從數(shù)學(xué)的角度對加速度作了較為嚴(yán)格的定義。

四、利用定積分求曲邊梯形的面積

點(diǎn)評：本題考查了由定積分求解曲線圍成封閉圖形的面積以及利用微積分基本定理進(jìn)行計(jì)算的能力，考查了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合解決問題的能力。

（作者單位：黑龍江省龍江縣第一中學(xué)）endprint

要理解導(dǎo)數(shù)概念，必須先掌握函數(shù)的平均變化率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的物理意義。下面，讓我們從實(shí)際問題中領(lǐng)悟?qū)?shù)概念。

一、治污效果的比較

例1 國家環(huán)保局在規(guī)定的排污達(dá)標(biāo)的日期前，對甲、乙兩家企業(yè)進(jìn)行檢查，其連續(xù)檢測結(jié)果如圖1所示（圖中W1（t），W2（t）分別表示甲、乙企業(yè)在時(shí)刻t的排污量）。試問哪個(gè)企業(yè)的治污效果較好？

分析：本題主要體現(xiàn)函數(shù)平均變化率的定義在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，要想知道哪個(gè)企業(yè)的治污效果好，關(guān)鍵看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好。

解：在時(shí)刻t2處，雖然W1（t）=W2（t），

說明在單位時(shí)間里企業(yè)甲比企業(yè)乙的平均治污率大。即企業(yè)甲的治污效果要好一些。

評注：本題實(shí)質(zhì)上考察的是曲線割線的斜率的絕對值大小，這里不涉及瞬時(shí)變化率。

二、圓形波紋的變化

例2 投石入水，水面產(chǎn)生圓形波紋區(qū)。圓的面積隨著波紋的傳播半徑r的增大而增大（如圖2），計(jì)算：

（1）半徑r從a增加到a+h時(shí)，圓面積相對于r的平均變化率；

（2）半徑r=a時(shí)，圓面積相對于r的瞬時(shí)變化率。

分析：本例中的題（1）是求變化中的幾何圖形（圓）面積的平均變化率。而題（2）則是求圓面積的瞬時(shí)變化率，實(shí)際上就是求函數(shù)S=πa2的瞬時(shí)變化率。

解：（1）半徑r從a增加到a+h時(shí)，圓面積從πa2增加到π（a+h）2，其改變量為π[（a+h）2-a2]，而半徑r的改變量為（2）在上面得到的平均變化率表達(dá)式中，讓r的改變量h趨于0，得到半徑r=a時(shí)，圓面積相對于r的瞬時(shí)變化率為2πa。

評注：本例中的題（1）求的是函數(shù)曲線的割線斜率，從數(shù)學(xué)的角度看，都是函數(shù)值的改變量與對應(yīng)的自變量的改變量的比；而題（2）求的是函數(shù)的瞬時(shí)速度，即平均變化率在某點(diǎn)處的極限，也就是某一點(diǎn)處切線的斜率。

三、運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度

（1）求s關(guān)于t的變化率，并說明其物理意義；

（2）求運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度關(guān)于t的變化率，說明其物理意義。

分析：本題是導(dǎo)數(shù)概念在物理學(xué)中的運(yùn)用，題（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算得出位移函數(shù)s關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)（即運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度），而題（2）則是求瞬時(shí)速度關(guān)于時(shí)間t的瞬時(shí)變化率（運(yùn)動(dòng)物體的加速度）。

趨于at，即s′（t）=at。從物理上看，s關(guān)于t的變化率at就是運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度。

時(shí)，a還是a，所以s″（t）=a，它是運(yùn)動(dòng)物體的加速度。

評注：通過本例，一方面可以加深我們對導(dǎo)數(shù)定義的理解，另一方面則從數(shù)學(xué)的角度對加速度作了較為嚴(yán)格的定義。

四、利用定積分求曲邊梯形的面積

點(diǎn)評：本題考查了由定積分求解曲線圍成封閉圖形的面積以及利用微積分基本定理進(jìn)行計(jì)算的能力，考查了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合解決問題的能力。

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要理解導(dǎo)數(shù)概念，必須先掌握函數(shù)的平均變化率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的物理意義。下面，讓我們從實(shí)際問題中領(lǐng)悟?qū)?shù)概念。

一、治污效果的比較

例1 國家環(huán)保局在規(guī)定的排污達(dá)標(biāo)的日期前，對甲、乙兩家企業(yè)進(jìn)行檢查，其連續(xù)檢測結(jié)果如圖1所示（圖中W1（t），W2（t）分別表示甲、乙企業(yè)在時(shí)刻t的排污量）。試問哪個(gè)企業(yè)的治污效果較好？

分析：本題主要體現(xiàn)函數(shù)平均變化率的定義在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，要想知道哪個(gè)企業(yè)的治污效果好，關(guān)鍵看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好。

解：在時(shí)刻t2處，雖然W1（t）=W2（t），

說明在單位時(shí)間里企業(yè)甲比企業(yè)乙的平均治污率大。即企業(yè)甲的治污效果要好一些。

評注：本題實(shí)質(zhì)上考察的是曲線割線的斜率的絕對值大小，這里不涉及瞬時(shí)變化率。

二、圓形波紋的變化

例2 投石入水，水面產(chǎn)生圓形波紋區(qū)。圓的面積隨著波紋的傳播半徑r的增大而增大（如圖2），計(jì)算：

（1）半徑r從a增加到a+h時(shí)，圓面積相對于r的平均變化率；

（2）半徑r=a時(shí)，圓面積相對于r的瞬時(shí)變化率。

分析：本例中的題（1）是求變化中的幾何圖形（圓）面積的平均變化率。而題（2）則是求圓面積的瞬時(shí)變化率，實(shí)際上就是求函數(shù)S=πa2的瞬時(shí)變化率。

解：（1）半徑r從a增加到a+h時(shí)，圓面積從πa2增加到π（a+h）2，其改變量為π[（a+h）2-a2]，而半徑r的改變量為（2）在上面得到的平均變化率表達(dá)式中，讓r的改變量h趨于0，得到半徑r=a時(shí)，圓面積相對于r的瞬時(shí)變化率為2πa。

評注：本例中的題（1）求的是函數(shù)曲線的割線斜率，從數(shù)學(xué)的角度看，都是函數(shù)值的改變量與對應(yīng)的自變量的改變量的比；而題（2）求的是函數(shù)的瞬時(shí)速度，即平均變化率在某點(diǎn)處的極限，也就是某一點(diǎn)處切線的斜率。

三、運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度

（1）求s關(guān)于t的變化率，并說明其物理意義；

（2）求運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度關(guān)于t的變化率，說明其物理意義。

分析：本題是導(dǎo)數(shù)概念在物理學(xué)中的運(yùn)用，題（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算得出位移函數(shù)s關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)（即運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度），而題（2）則是求瞬時(shí)速度關(guān)于時(shí)間t的瞬時(shí)變化率（運(yùn)動(dòng)物體的加速度）。

趨于at，即s′（t）=at。從物理上看，s關(guān)于t的變化率at就是運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度。

時(shí)，a還是a，所以s″（t）=a，它是運(yùn)動(dòng)物體的加速度。

評注：通過本例，一方面可以加深我們對導(dǎo)數(shù)定義的理解，另一方面則從數(shù)學(xué)的角度對加速度作了較為嚴(yán)格的定義。

四、利用定積分求曲邊梯形的面積

點(diǎn)評：本題考查了由定積分求解曲線圍成封閉圖形的面積以及利用微積分基本定理進(jìn)行計(jì)算的能力，考查了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合解決問題的能力。

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