“不等式恒成立問題”的教學再設計

洪慧瓊

高三數(shù)學的兩種主要課型是復習課和講評課，解題教學是其重點，單純的求解應轉(zhuǎn)變?yōu)榻夥ǖ臄M定及具體實施，把能力培養(yǎng)置于首位。于是，筆者對一節(jié)“不等式的恒成立問題”的教學設計進行了反思及再設計，并在后續(xù)教學中進行了嘗試，取得了預期的效果。

一、教學引入——預設練習，暴露問題

1.設計意圖

考慮到學生已經(jīng)具備一定的解答問題的知識方法，只是尚未系統(tǒng)化。因此，在新的教學設計中，將這節(jié)解題課轉(zhuǎn)變成一節(jié)習題課，試圖通過對學生前期解答的分析，來了解學生的解題思路，對學生解題中暴露的問題進行整理分析，增加學生的親切感，更能引起重視，幫助學生由最近發(fā)展區(qū)靠近解題要點。

2.教學過程

學生分析預習作業(yè)的錯誤原因，交流解題經(jīng)驗：

（1）關于x的不等式（a2+4a-5）x2-2（a+5）x+3>0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________。

3.說明與反思

高三教學中，新課較少，習題課增加。本課即為一節(jié)有主題的習題課。然而一部分“懂而不會”的高三學生，對習題課極不重視。為解決這一問題，教師需在“備學生”上多下工夫。本課設計以學生的錯誤引入，讓學生感受到內(nèi)容的重要性。其中，作業(yè)（1）旨在鞏固學生對常規(guī)問題的解決及分類討論的能力，讓學生在自我反思中發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)討論的重要性；作業(yè)（2）則是在學生的解答中整理多種解法，一方面將解法歸納，另一方面通過解法對比體現(xiàn)解題過程中觀察及思考的重要性。

二、教學重點

（一）重點突破，以“理”服人

1.設計意圖

高三學生，由于已經(jīng)學會了高中階段的數(shù)學知識，一些新的知識方法常常會對其認知結構產(chǎn)生沖擊，導致對新內(nèi)容的吸收較為困難。所以切不能將教學內(nèi)容強加于學生，那樣學生從根本上不能掌握，也使學生對教師失去了信任。蘇霍姆林斯基曾說：“在人們的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發(fā)明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，這種需要則特別強烈。”因此，本課在教學重點環(huán)節(jié)的處理，改變了過去教師傳授講解的生硬方式，而是創(chuàng)設環(huán)境，給予學生表達自己想法的空間，平等地與學生交流，讓學生自然過渡到新方法的運用中。

2.教學過程

例1 已知關于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在x∈（-2，-1）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

教師：請問這里要分幾種情況討論？請你把需要討論的情形逐一畫在黑板上。

學生：（在黑板上畫出了開口向上的三種情況及開口向下的一種情況。）

教師：很好，需要分成四種情況討論。請問你是仍要將此方法進行到底，還是愿意再嘗試一下第二種解法？

教師：我們發(fā)現(xiàn)解法二明顯簡便，那么在遇到這類問題時應如何判斷解法的選擇呢？

學生：這要具體情況具體分析了。比如定義域為R，我會先考慮解法一；定義域為給定區(qū)間，討論起來比較復雜，就試試解法二。

3.說明與反思

此例的求解思路是本課的重點，希望通過對該問題的剖析，使學生學會在“弄清問題”之后，如何有效“擬定計劃”。當學生的第一反應是選擇較為復雜的方法時，萬萬不能隨意打斷，將預設的想法強加于學生。《新課標》中指出：“數(shù)學課程要講邏輯推理，更要講道理。”教師不能幫學生“擬定計劃”，而應教會學生“擬定計劃”的能力。所以，用了“仍要......還是愿意......”這樣的語言，給學生空間去探索發(fā)現(xiàn)，希望做到以“理”服人，使學生自然地認同解法二在此處的優(yōu)勢。試圖借上述例子中最后一個問題設計，培養(yǎng)學生解題后“回顧反思”的習慣。解題者通過回顧所完成的解答，重新考慮和檢查結果及思路，鞏固知識并培養(yǎng)分析能力。

（二）設計變式，突破難點

1.設計意圖

變式設計的目的，一是提高教學效率，不增加同類型的重復解題；二是凸顯“恒成立”與“能成立”問題的區(qū)別，迫使學生對難點進行思考。此外，變式中精心設計數(shù)據(jù)，使解題中亦蘊含另一難點，即等號的取舍問題。力求通過一個變式，實現(xiàn)兩個難點的共同突破，讓變式的設置更有效。

2.教學過程

例1的變式：若關于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在0∈（-2，-1）有解，求實數(shù)m的取值范圍。

3.說明與反思

該題是本節(jié)課的難點。教學中，學生對于“恒成立”感覺比較直觀，理解問題不大。而“能成立”，一方面容易與“恒成立”混淆，另一方面較為抽象，學生往往處理不好。所以，教師在此處的處理不能急躁。設計中采用變式，節(jié)省難點前的變形環(huán)節(jié)，給學生時間去消化難點，并充分考慮另一難點——等號問題。

筆者在這節(jié)高三解題課的教學中，轉(zhuǎn)變了原有的教學方式。雖然課堂上沒能完成思考題，使得本課留下了遺憾，但這樣費時費力地在“變量難以分離”問題中與各層次學生進行思維上的交流與碰撞，教學效果中的能力培養(yǎng)證明，這樣做是值得的。一位詩人曾說，“幸福的日子使人聰明”。教師的解題教學要有意識地營造使學生不斷進取而取得思維成就的環(huán)境，讓學生不斷在思維成功的幸福中取得良性循環(huán)，越學越想學，越學越靈活，給學生以“漁”的技能，把能力培養(yǎng)真正落到實處。無論是哪個階段的孩子，需要的都是一個自由和諧、富有個性、獨立自主的學習生態(tài)環(huán)境，只有在這樣的學習環(huán)境中，學生才能更高效地吸收知識，得到健康的成長。

（作者單位：華東師范大學第一附屬中學）endprint

高三數(shù)學的兩種主要課型是復習課和講評課，解題教學是其重點，單純的求解應轉(zhuǎn)變?yōu)榻夥ǖ臄M定及具體實施，把能力培養(yǎng)置于首位。于是，筆者對一節(jié)“不等式的恒成立問題”的教學設計進行了反思及再設計，并在后續(xù)教學中進行了嘗試，取得了預期的效果。

一、教學引入——預設練習，暴露問題

1.設計意圖

考慮到學生已經(jīng)具備一定的解答問題的知識方法，只是尚未系統(tǒng)化。因此，在新的教學設計中，將這節(jié)解題課轉(zhuǎn)變成一節(jié)習題課，試圖通過對學生前期解答的分析，來了解學生的解題思路，對學生解題中暴露的問題進行整理分析，增加學生的親切感，更能引起重視，幫助學生由最近發(fā)展區(qū)靠近解題要點。

2.教學過程

學生分析預習作業(yè)的錯誤原因，交流解題經(jīng)驗：

（1）關于x的不等式（a2+4a-5）x2-2（a+5）x+3>0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________。

3.說明與反思

高三教學中，新課較少，習題課增加。本課即為一節(jié)有主題的習題課。然而一部分“懂而不會”的高三學生，對習題課極不重視。為解決這一問題，教師需在“備學生”上多下工夫。本課設計以學生的錯誤引入，讓學生感受到內(nèi)容的重要性。其中，作業(yè)（1）旨在鞏固學生對常規(guī)問題的解決及分類討論的能力，讓學生在自我反思中發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)討論的重要性；作業(yè)（2）則是在學生的解答中整理多種解法，一方面將解法歸納，另一方面通過解法對比體現(xiàn)解題過程中觀察及思考的重要性。

二、教學重點

（一）重點突破，以“理”服人

1.設計意圖

高三學生，由于已經(jīng)學會了高中階段的數(shù)學知識，一些新的知識方法常常會對其認知結構產(chǎn)生沖擊，導致對新內(nèi)容的吸收較為困難。所以切不能將教學內(nèi)容強加于學生，那樣學生從根本上不能掌握，也使學生對教師失去了信任。蘇霍姆林斯基曾說：“在人們的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發(fā)明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，這種需要則特別強烈。”因此，本課在教學重點環(huán)節(jié)的處理，改變了過去教師傳授講解的生硬方式，而是創(chuàng)設環(huán)境，給予學生表達自己想法的空間，平等地與學生交流，讓學生自然過渡到新方法的運用中。

2.教學過程

例1 已知關于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在x∈（-2，-1）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

教師：請問這里要分幾種情況討論？請你把需要討論的情形逐一畫在黑板上。

學生：（在黑板上畫出了開口向上的三種情況及開口向下的一種情況。）

教師：很好，需要分成四種情況討論。請問你是仍要將此方法進行到底，還是愿意再嘗試一下第二種解法？

教師：我們發(fā)現(xiàn)解法二明顯簡便，那么在遇到這類問題時應如何判斷解法的選擇呢？

學生：這要具體情況具體分析了。比如定義域為R，我會先考慮解法一；定義域為給定區(qū)間，討論起來比較復雜，就試試解法二。

3.說明與反思

此例的求解思路是本課的重點，希望通過對該問題的剖析，使學生學會在“弄清問題”之后，如何有效“擬定計劃”。當學生的第一反應是選擇較為復雜的方法時，萬萬不能隨意打斷，將預設的想法強加于學生。《新課標》中指出：“數(shù)學課程要講邏輯推理，更要講道理。”教師不能幫學生“擬定計劃”，而應教會學生“擬定計劃”的能力。所以，用了“仍要......還是愿意......”這樣的語言，給學生空間去探索發(fā)現(xiàn)，希望做到以“理”服人，使學生自然地認同解法二在此處的優(yōu)勢。試圖借上述例子中最后一個問題設計，培養(yǎng)學生解題后“回顧反思”的習慣。解題者通過回顧所完成的解答，重新考慮和檢查結果及思路，鞏固知識并培養(yǎng)分析能力。

（二）設計變式，突破難點

1.設計意圖

變式設計的目的，一是提高教學效率，不增加同類型的重復解題；二是凸顯“恒成立”與“能成立”問題的區(qū)別，迫使學生對難點進行思考。此外，變式中精心設計數(shù)據(jù)，使解題中亦蘊含另一難點，即等號的取舍問題。力求通過一個變式，實現(xiàn)兩個難點的共同突破，讓變式的設置更有效。

2.教學過程

例1的變式：若關于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在0∈（-2，-1）有解，求實數(shù)m的取值范圍。

3.說明與反思

該題是本節(jié)課的難點。教學中，學生對于“恒成立”感覺比較直觀，理解問題不大。而“能成立”，一方面容易與“恒成立”混淆，另一方面較為抽象，學生往往處理不好。所以，教師在此處的處理不能急躁。設計中采用變式，節(jié)省難點前的變形環(huán)節(jié)，給學生時間去消化難點，并充分考慮另一難點——等號問題。

筆者在這節(jié)高三解題課的教學中，轉(zhuǎn)變了原有的教學方式。雖然課堂上沒能完成思考題，使得本課留下了遺憾，但這樣費時費力地在“變量難以分離”問題中與各層次學生進行思維上的交流與碰撞，教學效果中的能力培養(yǎng)證明，這樣做是值得的。一位詩人曾說，“幸福的日子使人聰明”。教師的解題教學要有意識地營造使學生不斷進取而取得思維成就的環(huán)境，讓學生不斷在思維成功的幸福中取得良性循環(huán)，越學越想學，越學越靈活，給學生以“漁”的技能，把能力培養(yǎng)真正落到實處。無論是哪個階段的孩子，需要的都是一個自由和諧、富有個性、獨立自主的學習生態(tài)環(huán)境，只有在這樣的學習環(huán)境中，學生才能更高效地吸收知識，得到健康的成長。

（作者單位：華東師范大學第一附屬中學）endprint

高三數(shù)學的兩種主要課型是復習課和講評課，解題教學是其重點，單純的求解應轉(zhuǎn)變?yōu)榻夥ǖ臄M定及具體實施，把能力培養(yǎng)置于首位。于是，筆者對一節(jié)“不等式的恒成立問題”的教學設計進行了反思及再設計，并在后續(xù)教學中進行了嘗試，取得了預期的效果。

一、教學引入——預設練習，暴露問題

1.設計意圖

考慮到學生已經(jīng)具備一定的解答問題的知識方法，只是尚未系統(tǒng)化。因此，在新的教學設計中，將這節(jié)解題課轉(zhuǎn)變成一節(jié)習題課，試圖通過對學生前期解答的分析，來了解學生的解題思路，對學生解題中暴露的問題進行整理分析，增加學生的親切感，更能引起重視，幫助學生由最近發(fā)展區(qū)靠近解題要點。

2.教學過程

學生分析預習作業(yè)的錯誤原因，交流解題經(jīng)驗：

（1）關于x的不等式（a2+4a-5）x2-2（a+5）x+3>0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________。

3.說明與反思

高三教學中，新課較少，習題課增加。本課即為一節(jié)有主題的習題課。然而一部分“懂而不會”的高三學生，對習題課極不重視。為解決這一問題，教師需在“備學生”上多下工夫。本課設計以學生的錯誤引入，讓學生感受到內(nèi)容的重要性。其中，作業(yè)（1）旨在鞏固學生對常規(guī)問題的解決及分類討論的能力，讓學生在自我反思中發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)討論的重要性；作業(yè)（2）則是在學生的解答中整理多種解法，一方面將解法歸納，另一方面通過解法對比體現(xiàn)解題過程中觀察及思考的重要性。

二、教學重點

（一）重點突破，以“理”服人

1.設計意圖

高三學生，由于已經(jīng)學會了高中階段的數(shù)學知識，一些新的知識方法常常會對其認知結構產(chǎn)生沖擊，導致對新內(nèi)容的吸收較為困難。所以切不能將教學內(nèi)容強加于學生，那樣學生從根本上不能掌握，也使學生對教師失去了信任。蘇霍姆林斯基曾說：“在人們的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發(fā)明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，這種需要則特別強烈。”因此，本課在教學重點環(huán)節(jié)的處理，改變了過去教師傳授講解的生硬方式，而是創(chuàng)設環(huán)境，給予學生表達自己想法的空間，平等地與學生交流，讓學生自然過渡到新方法的運用中。

2.教學過程

例1 已知關于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在x∈（-2，-1）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

教師：請問這里要分幾種情況討論？請你把需要討論的情形逐一畫在黑板上。

學生：（在黑板上畫出了開口向上的三種情況及開口向下的一種情況。）

教師：很好，需要分成四種情況討論。請問你是仍要將此方法進行到底，還是愿意再嘗試一下第二種解法？

教師：我們發(fā)現(xiàn)解法二明顯簡便，那么在遇到這類問題時應如何判斷解法的選擇呢？

學生：這要具體情況具體分析了。比如定義域為R，我會先考慮解法一；定義域為給定區(qū)間，討論起來比較復雜，就試試解法二。

3.說明與反思

此例的求解思路是本課的重點，希望通過對該問題的剖析，使學生學會在“弄清問題”之后，如何有效“擬定計劃”。當學生的第一反應是選擇較為復雜的方法時，萬萬不能隨意打斷，將預設的想法強加于學生。《新課標》中指出：“數(shù)學課程要講邏輯推理，更要講道理。”教師不能幫學生“擬定計劃”，而應教會學生“擬定計劃”的能力。所以，用了“仍要......還是愿意......”這樣的語言，給學生空間去探索發(fā)現(xiàn)，希望做到以“理”服人，使學生自然地認同解法二在此處的優(yōu)勢。試圖借上述例子中最后一個問題設計，培養(yǎng)學生解題后“回顧反思”的習慣。解題者通過回顧所完成的解答，重新考慮和檢查結果及思路，鞏固知識并培養(yǎng)分析能力。

（二）設計變式，突破難點

1.設計意圖

變式設計的目的，一是提高教學效率，不增加同類型的重復解題；二是凸顯“恒成立”與“能成立”問題的區(qū)別，迫使學生對難點進行思考。此外，變式中精心設計數(shù)據(jù)，使解題中亦蘊含另一難點，即等號的取舍問題。力求通過一個變式，實現(xiàn)兩個難點的共同突破，讓變式的設置更有效。

2.教學過程

例1的變式：若關于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在0∈（-2，-1）有解，求實數(shù)m的取值范圍。

3.說明與反思

該題是本節(jié)課的難點。教學中，學生對于“恒成立”感覺比較直觀，理解問題不大。而“能成立”，一方面容易與“恒成立”混淆，另一方面較為抽象，學生往往處理不好。所以，教師在此處的處理不能急躁。設計中采用變式，節(jié)省難點前的變形環(huán)節(jié)，給學生時間去消化難點，并充分考慮另一難點——等號問題。

筆者在這節(jié)高三解題課的教學中，轉(zhuǎn)變了原有的教學方式。雖然課堂上沒能完成思考題，使得本課留下了遺憾，但這樣費時費力地在“變量難以分離”問題中與各層次學生進行思維上的交流與碰撞，教學效果中的能力培養(yǎng)證明，這樣做是值得的。一位詩人曾說，“幸福的日子使人聰明”。教師的解題教學要有意識地營造使學生不斷進取而取得思維成就的環(huán)境，讓學生不斷在思維成功的幸福中取得良性循環(huán)，越學越想學，越學越靈活，給學生以“漁”的技能，把能力培養(yǎng)真正落到實處。無論是哪個階段的孩子，需要的都是一個自由和諧、富有個性、獨立自主的學習生態(tài)環(huán)境，只有在這樣的學習環(huán)境中，學生才能更高效地吸收知識，得到健康的成長。

（作者單位：華東師范大學第一附屬中學）endprint