等差數列基本題型“知三求二”析解

李敏

在等差數列的通項公式與前n項和公式中含有5個基本量：a1，d，n，an，Sn。關于這5量之間的運算是一類基礎題型，稱為“知三求二”，根據條件和結論要求可分為10類，限于篇幅，只就較為典型的5類進行分析求解，旨在拋磚引玉。

一、已知a1，d，n求an，Sn型

例1 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=3，公比d=-2，求a5與S5。

分析：分別把已知條件代入等差數列的通項公式an與前n項和公式Sn求解。

解：a5=3+（5-1）×（-2）=-5；

點評：在等差數列的通項公式與前n項和公式中涉及的5個量中，a1與d又是最基本的兩個量，是構成等差數列的兩大支柱，因此一般a1與d為已知，則只有直接將相關的量代入通項公式與前n項和公式就可求得an與Sn。

變式拓展1：在{an}中，a1=15，3an+1=3an-2（n∈N*），求an與S6。

二、已知a1，an，n求d，Sn型

例2 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=-10，a5=-38，求公比d和S5。

分析：先利用等差數列的通項公式建立方程求公差d的值，然后把相關量代入等差數列的前n項和公式求S5。

點評：利用a1與an的值代入通項公式可求得公差d，然后再將相關的已知量與所求得的量代入前n項和公式即可求得Sn。

例3 等差數列的{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0。（1）求出公差d的取值范圍；（2）指出S1，S2，…，Sn中哪一項最大，并說明理由。

解：（1）設Sn=An2+Bn，∵a3=S3-S2=5A+B=12，∴B=12-5A，即Sn=An2+（12-5A）n。由題意得S12=144A+12（12-5A）點評：借助二次函數的性質研究等差數列前n項和的最值問題，是常用的方法。一般需抓住“三點一軸”來考慮問題。三點是指開口方向、n取值范圍的兩個端點，一軸是對稱軸。

變式拓展2：在等差數列{an}中，a1=-60，a17=-12。（1）求通項an；（2）求此數列前30項的絕對值的和。

三、已知a1，an，d求n，Sn型

例4 等差數列{an}中，首項a1=-1，公差d=5，如果an=124，求n和Sn。

分析：先根據等差數列的通項公式建立方程求出n，然后把相關量已知量及所求得的量代入等差數列的前n項和公式求Sn。

解：依題意，由通項公式得-1+（n-1）×5=124，解得n=26。

變式拓展3：等差數列{an}中，首項a1=-3，a5=5，如果an=25，求n和Sn。

四、已知a1，d，Sn求n，an型

例5 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=3，d=4，Sn=36，求n和an。

分析：先利用等差數列的前n項和公式建立方程求出n，然后把相關量代入等比數列的通項公式求an。

變式拓展4：在等差數列{an}中，公差為d，a1∶a3=1∶3，且Sn∶d=30∶1，求n和an∶d。

五、已知an，d，Sn求a1，n型

∴n2-7n-30=0，∴（n-10）（n+3）=0，又n∈N*，

∴n=10，a1=-3。

點評：已知an，d，Sn求a1，n，只需依據等差數列的通項公式與前n項和公式列方程組求解。

（作者單位：河南省鄭州幼兒師范高等?？茖W校）endprint

在等差數列的通項公式與前n項和公式中含有5個基本量：a1，d，n，an，Sn。關于這5量之間的運算是一類基礎題型，稱為“知三求二”，根據條件和結論要求可分為10類，限于篇幅，只就較為典型的5類進行分析求解，旨在拋磚引玉。

一、已知a1，d，n求an，Sn型

例1 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=3，公比d=-2，求a5與S5。

分析：分別把已知條件代入等差數列的通項公式an與前n項和公式Sn求解。

解：a5=3+（5-1）×（-2）=-5；

點評：在等差數列的通項公式與前n項和公式中涉及的5個量中，a1與d又是最基本的兩個量，是構成等差數列的兩大支柱，因此一般a1與d為已知，則只有直接將相關的量代入通項公式與前n項和公式就可求得an與Sn。

變式拓展1：在{an}中，a1=15，3an+1=3an-2（n∈N*），求an與S6。

二、已知a1，an，n求d，Sn型

例2 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=-10，a5=-38，求公比d和S5。

分析：先利用等差數列的通項公式建立方程求公差d的值，然后把相關量代入等差數列的前n項和公式求S5。

點評：利用a1與an的值代入通項公式可求得公差d，然后再將相關的已知量與所求得的量代入前n項和公式即可求得Sn。

例3 等差數列的{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0。（1）求出公差d的取值范圍；（2）指出S1，S2，…，Sn中哪一項最大，并說明理由。

解：（1）設Sn=An2+Bn，∵a3=S3-S2=5A+B=12，∴B=12-5A，即Sn=An2+（12-5A）n。由題意得S12=144A+12（12-5A）點評：借助二次函數的性質研究等差數列前n項和的最值問題，是常用的方法。一般需抓住“三點一軸”來考慮問題。三點是指開口方向、n取值范圍的兩個端點，一軸是對稱軸。

變式拓展2：在等差數列{an}中，a1=-60，a17=-12。（1）求通項an；（2）求此數列前30項的絕對值的和。

三、已知a1，an，d求n，Sn型

例4 等差數列{an}中，首項a1=-1，公差d=5，如果an=124，求n和Sn。

分析：先根據等差數列的通項公式建立方程求出n，然后把相關量已知量及所求得的量代入等差數列的前n項和公式求Sn。

解：依題意，由通項公式得-1+（n-1）×5=124，解得n=26。

變式拓展3：等差數列{an}中，首項a1=-3，a5=5，如果an=25，求n和Sn。

四、已知a1，d，Sn求n，an型

例5 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=3，d=4，Sn=36，求n和an。

分析：先利用等差數列的前n項和公式建立方程求出n，然后把相關量代入等比數列的通項公式求an。

變式拓展4：在等差數列{an}中，公差為d，a1∶a3=1∶3，且Sn∶d=30∶1，求n和an∶d。

五、已知an，d，Sn求a1，n型

∴n2-7n-30=0，∴（n-10）（n+3）=0，又n∈N*，

∴n=10，a1=-3。

點評：已知an，d，Sn求a1，n，只需依據等差數列的通項公式與前n項和公式列方程組求解。

（作者單位：河南省鄭州幼兒師范高等?？茖W校）endprint

在等差數列的通項公式與前n項和公式中含有5個基本量：a1，d，n，an，Sn。關于這5量之間的運算是一類基礎題型，稱為“知三求二”，根據條件和結論要求可分為10類，限于篇幅，只就較為典型的5類進行分析求解，旨在拋磚引玉。

一、已知a1，d，n求an，Sn型

例1 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=3，公比d=-2，求a5與S5。

分析：分別把已知條件代入等差數列的通項公式an與前n項和公式Sn求解。

解：a5=3+（5-1）×（-2）=-5；

點評：在等差數列的通項公式與前n項和公式中涉及的5個量中，a1與d又是最基本的兩個量，是構成等差數列的兩大支柱，因此一般a1與d為已知，則只有直接將相關的量代入通項公式與前n項和公式就可求得an與Sn。

變式拓展1：在{an}中，a1=15，3an+1=3an-2（n∈N*），求an與S6。

二、已知a1，an，n求d，Sn型

例2 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=-10，a5=-38，求公比d和S5。

分析：先利用等差數列的通項公式建立方程求公差d的值，然后把相關量代入等差數列的前n項和公式求S5。

點評：利用a1與an的值代入通項公式可求得公差d，然后再將相關的已知量與所求得的量代入前n項和公式即可求得Sn。

例3 等差數列的{an}的前n項和為Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0。（1）求出公差d的取值范圍；（2）指出S1，S2，…，Sn中哪一項最大，并說明理由。

解：（1）設Sn=An2+Bn，∵a3=S3-S2=5A+B=12，∴B=12-5A，即Sn=An2+（12-5A）n。由題意得S12=144A+12（12-5A）點評：借助二次函數的性質研究等差數列前n項和的最值問題，是常用的方法。一般需抓住“三點一軸”來考慮問題。三點是指開口方向、n取值范圍的兩個端點，一軸是對稱軸。

變式拓展2：在等差數列{an}中，a1=-60，a17=-12。（1）求通項an；（2）求此數列前30項的絕對值的和。

三、已知a1，an，d求n，Sn型

例4 等差數列{an}中，首項a1=-1，公差d=5，如果an=124，求n和Sn。

分析：先根據等差數列的通項公式建立方程求出n，然后把相關量已知量及所求得的量代入等差數列的前n項和公式求Sn。

解：依題意，由通項公式得-1+（n-1）×5=124，解得n=26。

變式拓展3：等差數列{an}中，首項a1=-3，a5=5，如果an=25，求n和Sn。

四、已知a1，d，Sn求n，an型

例5 已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=3，d=4，Sn=36，求n和an。

分析：先利用等差數列的前n項和公式建立方程求出n，然后把相關量代入等比數列的通項公式求an。

變式拓展4：在等差數列{an}中，公差為d，a1∶a3=1∶3，且Sn∶d=30∶1，求n和an∶d。

五、已知an，d，Sn求a1，n型

∴n2-7n-30=0，∴（n-10）（n+3）=0，又n∈N*，

∴n=10，a1=-3。

點評：已知an，d，Sn求a1，n，只需依據等差數列的通項公式與前n項和公式列方程組求解。

（作者單位：河南省鄭州幼兒師范高等?？茖W校）endprint