從函數(shù)定義域談學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

谷楊

（重慶市銅梁中學(xué) 重慶銅梁 402560）

從函數(shù)定義域談學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

谷楊

（重慶市銅梁中學(xué) 重慶銅梁 402560）

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是指?jìng)€(gè)體在數(shù)學(xué)實(shí)踐或數(shù)學(xué)訓(xùn)練中所表現(xiàn)出來(lái)的思維活動(dòng)的外部特征，它包括思維的嚴(yán)密性、靈活性、深刻性、批判性和敏捷性等品質(zhì)。然而高中數(shù)學(xué)中函數(shù)是一條主線(xiàn)，函數(shù)的定義域又是函數(shù)的三大要素之一，單純地求解函數(shù)的定義域似乎很簡(jiǎn)單，然而在解決實(shí)際問(wèn)題中稍不注意，就會(huì)得到錯(cuò)解。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是非常重要的。下面本人就函數(shù)定義域教學(xué)與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)來(lái)淺談自己的看法。

高中數(shù)學(xué) 函數(shù)定義域 思維品質(zhì)

學(xué)生進(jìn)入高中，學(xué)習(xí)集合這一基本工具后，就開(kāi)始了高中函數(shù)的學(xué)習(xí)。用集合的觀(guān)點(diǎn)定義了函數(shù)，進(jìn)而開(kāi)始了對(duì)函數(shù)的研究。然而，不管是求函數(shù)解析式、值域，還是研究其性質(zhì)，都離不開(kāi)對(duì)定義域的研究。[1]

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。如：

例1：用籬笆圍一個(gè)矩形菜園，現(xiàn)有籬笆總長(zhǎng)度為100m，求矩形菜園的面積S與矩形長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為(50—x)米，由題意得：S=(50-x)

故函數(shù)關(guān)系式為：S=x(50-x).

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說(shuō)學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問(wèn)題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：0＜x＜50

即：函數(shù)關(guān)系式為：S=x(50-x)（0＜x＜50）

這個(gè)例子說(shuō)明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問(wèn)題的影響。這體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，培養(yǎng)學(xué)生此項(xiàng)品質(zhì)是十分必要的。

二、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1.

故所求的函數(shù)值域是[1,+∞）.

以上例子說(shuō)明，變量的允許值范圍的重要性，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過(guò)程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。

初看本題似乎沒(méi)有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒(méi)有注意到此題定義域不是R，而是[1，4]。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說(shuō)明學(xué)生思維缺乏靈活性。學(xué)生只知道利用對(duì)稱(chēng)軸求二次函數(shù)最值。然而，那往往是定義域是R的時(shí)候，當(dāng)條件改變時(shí)，需要考慮完善。本題還要繼續(xù)做下去：

這個(gè)例子說(shuō)明，在函數(shù)定義域受到限制時(shí)，應(yīng)注意定義域的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響，并在解題過(guò)程中加以注意，這說(shuō)明思維的靈活性很重要。

三、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如：

如果在做題時(shí)，沒(méi)有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說(shuō)明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型，套公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說(shuō)明學(xué)生的思維缺乏深刻性。此題正解應(yīng)該是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間是

四、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，如果定義域區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)就無(wú)奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

若學(xué)生像以上這樣的過(guò)程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性

如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性可能得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：

綜上所述，在求解函數(shù)關(guān)系式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性等問(wèn)題中，若能精細(xì)地檢查思維過(guò)程，思辨函數(shù)定義域有無(wú)改變(指對(duì)定義域?yàn)镽來(lái)說(shuō))，對(duì)解題結(jié)果有無(wú)影響，就能提高學(xué)生辨析理解能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

[1]劉紹學(xué)，錢(qián)珮玲，章建躍.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)[M].北京:人民教育出版社,2007.1.

[2]田萬(wàn)海.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].浙江:浙江教育出版社1993.