火星進入段縱向脫敏局限性分析與三自由度脫敏設計

龍 也，劉一武

(1．北京控制工程研究所，北京100190;2．空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

0 引言

以實現0．1 km定點著陸精度為目標的火星精確著陸問題是目前火星探測進入、下降和著陸(Entry，Descent and Landing，EDL)過程制導、導航與控制技術研究的熱點［1－2］。而作為EDL過程中氣動環境最惡劣、高度跨度最大，參數變化及不確定性最多的階段［1］，火星進入段的末端狀態精度對前述目標實現非常關鍵。為此需深入研究影響進入段制導精度的具體因素及高精度魯棒制導的實現途徑［2］。

研究表明，進入狀態偏差是引起進入段末端狀態偏差的主要擾動來源之一［3］。目前，在“火星科學實驗室”等實際探測任務中得到應用的“解析預測校正進入制導方式”存在一定缺陷，它對進入狀態偏差敏感，需嚴格保證精度，否則初始偏差經進入段誤差傳播可能引起較大著陸誤差［2］，而相關魯棒制導律的研究［4－5］則集中在制導跟蹤的魯棒性上，缺乏針對擾動來源的直接優化。相對而言，基于脫敏最優控制(Desensitized Optimal Control，DOC)的制導方法［6－9］提供了一種新的設計思路，它通過在性能指標中添加特定形式的“系統對狀態擾動敏感度”罰項來獲得具有相應脫敏特性的標稱軌跡，從而實現針對性的制導魯棒性提升。但目前該類方法通常采用反轉邏輯［10－11］控制橫程偏差，以傾側角反轉可瞬時完成為假設前提，未考慮實際過程中傾側角調整能力的限制。

本文在考慮前述問題的基礎上針對“進入狀態偏差”進行三自由度脫敏軌跡設計研究。全文安排如下:第一節介紹動力學模型、現有縱向脫敏方法及非脫敏方法，第二節分析傾側角調整性能受束即非理想反轉條件下反轉邏輯對制導精度的影響，說明縱向脫敏存在的局限性并指出對于脫敏類制導方法采用三自由度設計的必要性，第三節討論三自由度模型下敏感度傳播奇異問題并給出本文設計，第四節進行仿真分析。

1 預備知識

1．1動力學模型與基本約束

考慮自轉影響的三自由度火星進入段動力學方程如下:

式中:r為探測器到火星中心距離，v為速度，γ為航跡傾角，s為航程，θ為經度，λ為緯度，ψ為航跡方位角，ωmrs為火星自轉角速度，g=μ/r2為探測器所處位置的重力加速度，μ為火星引力常數，σ為傾側角。L和D分別為氣動升力和阻力加速度:

式中:ρ為火星大氣密度，采用標準指數型大氣模型ρ=ρsexp［－(h/hs)］，h=r－rM為所處位置高度，rM為火星半徑，ρs為火星表面大氣密度，hs為火星大氣尺度高度，CL和CD分別為氣動升力和阻力系數，Sr為探測器參考面積，m為探測器質量。此外也可采用如下方法計算升阻力加速度:

式中:B為彈道系數，Γ為升阻比系數。

受限于探測器物理參數極限及開傘安全要求，進入段需考慮的基本約束包括最大過載約束、最大動壓約束、最大熱流率約束等三項過程約束及末端開傘動壓約束、速度約束等兩項末端約束:

式中:nmax，qmax，，qfmax，vfmax等為前述約束的最大容許值，kq，rn，N，M為熱流率計算相關系數。

1．2縱向脫敏方法

縱向脫敏方法采用縱向簡化動力學方程，由式(1)～式(4)構成并忽略自轉，記為如下形式:

式中:x=［r，v，γ，s］T為系統狀態向量，u=cosσ為控制輸入，t為時間，f(x，u)為式(1)～式(4)右側項式。t∈［t0，tf］時，令x(t)=X(t|t0，x0)表示其在初始條件x(t0)=x0下的解，則敏感度矩陣S(t|t0，x0)按下式定義［9］:

簡記為S(t|t0)，它滿足如下敏感度傳播方程［7］:

跟蹤控制律:

式中:u*(t)和x*(t)分別為t時刻的標稱控制量和標稱系統狀態，K(t)為狀態反饋增益陣，η(t)為反饋增益乘子，通常η(t)=1，但考慮控制飽和問題時，部分文獻采用如下形式［8］:

按式(19)積分就能得到軌跡各處對于進入狀態偏差的敏感度陣，進而可根據不同設計目標［6，9］計算敏感度罰項，通過優化求解過程得到具有相應脫敏特性的標稱軌跡。

1．3非脫敏方法

非脫敏方法用于設計簡單的標稱軌跡，本文中作為參照衡量其它兩種方法性能，軌跡同樣通過優化求解過程得到，動力學方程及約束與縱向脫敏方法一致，目標函數為:

式中:J1=－h(tf)，Jn2=u2，cn0為懲罰因子。

2 非理想反轉對制導精度的影響

反轉邏輯的優點在于偏差控制策略的簡便性及橫縱程設計的解耦特性，因此得到廣泛應用［9－13］。但需注意的是，實際過程中探測器的傾側角調整能力有限，特別是弱機動能力航天器的調整能力更差，這使得真實反轉過程不能滿足假設前提，從而可能對制導精度造成影響。目前部分文獻［12－13］已考慮到該類問題，但通常僅關注如何補償偏差，較少對其影響制導精度的具體途徑進行分析。

事實上，非理想反轉引起的直接變化主要包括以下兩個方面:一是影響垂直升力分量，使得控制指令偏離標稱值，二是導致制導過程出現開環飛行狀態。本節從這兩點出發討論其對制導精度的影響，并對縱向脫敏方法在非理想反轉條件下的真實受擾程度進行分析(圖表均采用第4節設計的相應標稱軌跡測試得到)。

2．1升力分量偏離標稱值的影響

由傾側角反轉基本定義可知反轉過程中探測器垂直升力分量相對標稱值偏大，因此航跡傾角會不可避免的有所增加。單次反轉過程額外增加的γ總量可按下式估計［14］:

其中單次反轉時長Δt可通過假定傾側角按恒定的最大變化角速度反轉進行估算:

式中:σ0為反轉前σ瞬時值。同時垂直升力增量

令LT=CLqSr，將式(25)代入式(23)中整理得:

2．2反轉過程制導開環的影響

反轉過程中制導邏輯默認不進行狀態閉環［12］，而弱機動能力航天器反轉耗時較長，這使得其制導過程會較長時間處于開環狀態，導致偏差消除能力下降，間接削弱了制導魯棒性。

由圖2和表1可知，縱向設計的“非脫敏軌跡”應用于真實制導過程時反轉次數多達八次，反轉過程耗時74．73 s，約占總時長30%左右。由圖3可知，制導末端高度及速度標準差會隨傾側角調整能力的下降而趨于增大，即系統對進入狀態偏差的敏感度上升，制導魯棒性下降。

圖1 非理想反轉條件下開環標稱制導末端狀態偏差與的關系Fig．1 Relation between open-loop nominal guidance terminal state error and under non-ideal inverse condition

2．3縱向脫敏受擾程度分析

圖3 非理想反轉條件下閉環制導末端狀態標準差與的關系Fig．3 Relation between close-loop guidance terminal state standard deviation andnder non-ideal inverse condition

為充分反映非理想反轉對縱向脫敏方法實際制導過程的影響，本節采用“縱向脫敏軌跡”和“非脫敏軌跡”進行對照，觀察它們在無進入狀態偏差條件下的閉環制導過程以及考慮進入狀態偏差問題時的末端狀態偏差抑制能力。由圖4和圖5對比可知，采用縱向脫敏方法時系統在反轉完成后易因狀態偏差過大而出現持續的控制飽和。由圖6和圖7對比可知，非理想反轉條件下“非脫敏軌跡”末端高度偏差范圍為±1 km，速度偏差范圍為±50 m/s，而“縱向脫敏軌跡”末端高度偏差范圍為 －8～2 km，速度偏差范圍為－250～50 m/s。

由此可見，對于縱向脫敏方法，非理想反轉容易引起持續的控制飽和并會導致其所設計軌跡在蒙特卡洛仿真測試中不但不能達到預期的制導魯棒性增強效果，反而出現末端狀態偏差散布程度數倍于非脫敏方法的嚴重失效問題。

圖4 非脫敏軌跡制導過程控制剖面對照Fig．4 Control profile comparison of non-desensitized trajectory guidance process

綜上所述，非理想反轉對弱機動能力航天器制導精度影響明顯，且對縱向脫敏方法影響尤為嚴重，這說明采用反轉邏輯進行橫向偏差控制的傳統制導策略并不適用于弱機動能力航天器精確制導。因此對“脫敏類制導方法”來說，取消反轉邏輯，考慮三自由度模型下的脫敏設計十分必要。

圖5 縱向脫敏軌跡制導過程控制剖面對照Fig．5 Control profile comparison of longitudinal desensitized trajectory guidance process

圖6 非理想反轉條件下非脫敏軌跡末端狀態偏差分布Fig．6 Terminal state error distribution of non-desensitized trajectory under non-ideal inverse condition

圖7 非理想反轉條件下縱向脫敏軌跡末端狀態偏差分布Fig．7 Terminal state error distribution of longitudinal desensitized trajectory under non-ideal inverse condition

3 三自由度脫敏設計

動力學方程包括式(1)～式(7)并考慮傾側角調整動態:

式中:σv為傾側角角速度，uc為傾側角角加速度。優化求解過程以uc為系統輸入。

3．1控制及狀態約束

基礎約束包括式(12)～式(16)，并附加傾側角范圍約束、角速度及角加速度約束:

附加末端狀態約束:

末端航程stf為自由狀態，經緯度與預期值θtf，λtf一致時標稱軌跡結束。

3．2敏感度傳播方程

首先，類似于縱向脫敏方法，考慮x為完整的狀態量［r，v，γ，s，θ，λ，ψ］T，f(x，u)為式(1)～ 式(7)右項。此時，敏感度傳播方程中?f/?u項為:

顯然u=1時?f/?u最后一項變為無窮，出現“奇異問題”，這會導致傳播方程無法繼續推演，因此前述x與f(x，u)的選取并不合理。

應注意到，在僅考慮縱向剖面的現有脫敏方法中x=［r，v，γ，s］T包括了對末端開傘安全最為重要的高度、速度項，而航程s相當于將耦合的橫縱程脫敏問題轉化為單一量表示。因此，敏感度傳播方程仍采用式(19)，跟蹤控制律中η(t)=1－(u*(t))2。

3．3目標函數

目標函數的選取包括末端開傘高度和軌跡脫敏兩項。一方面，開傘高度是保證探測器安全著陸的重要因素，且開傘高度越高意味著探測任務點可選范圍更大［1］。另一方面，S(tf|t0)包含末端狀態對進入狀態偏差的敏感度信息。因此目標函數J設為:

式中:J1=－h(tf)為開傘高度罰項，c0≥0為敏感度懲罰因子，J2為進入狀態偏差敏感度項:

式中:ci≥0，i=1，2，3，4為權重因子，表示對各狀態脫敏特性的注重程度。

4 仿真分析

本節首先給出仿真參數，其次分別采用“非脫敏方法”，“縱向脫敏方法”與“三自由度脫敏方法”設計標稱軌跡，最后通過蒙特卡洛仿真校驗三自由度脫敏的改進效果。其中部分軌跡設計及仿真結果已在前文引用，不再重復給出。

4．1仿真參數

反轉邏輯采用的航向誤差走廊參數如下［11］:

式中:stgo為待飛航程，航向誤差Δaz超出最大允許航向誤差Δazm時傾側角進行反轉。其它設計及仿真參數見表2～表5。

表2 相關物理參數Table 2 Related physical parameters

此外 σt0=0，=0，K=－［0．01，0．005，50，0．001］。

對于前兩種設計方法，表4中前四項約束保留，且stf=735 km，smax=stf并有umin=－0．8，umax=0．8。

4．2軌跡設計結果

軌跡的優化求解均采用高斯偽譜法［15］實現。圖8～圖9為三自由度脫敏軌跡設計結果。

表3 控制及過程約束參數［1］Table 3 Control and process constraint parameters［1］

表4 邊界條件及約束參數Table 4 Boundary conditions and constraint parameters

表5 蒙特卡洛仿真參數Table 5 Monte-Carlo simulation parameters

圖8 c0=0．02、h(tf)=10210 m時三自由度脫敏軌跡標稱傾側角剖面Fig．8 Nominal bank angle profile of three degree of freedom desensitized trajectory corresponding to c0=0．02 and h(tf)=10210 m

圖9中傾側角加速度與速率軌跡表明本文方法在設計時已保證所設計軌跡在探測器傾側角調整能力范圍之內。

圖9 三自由度脫敏軌跡完整信息Fig．9 Complete information of three degree of freedom desensitized trajectory

4．3蒙特卡洛仿真校驗

圖10為“縱向脫敏軌跡”在縱向剖面內校驗時的蒙特卡洛仿真結果，圖11為“三自由度脫敏軌跡”在三自由度模型下校驗時的蒙特卡洛仿真結果。

圖10表明“縱向脫敏軌跡”的末端高度偏差為±50 m，速度偏差為±15 m/s。圖11表明“三自由度脫敏軌跡”的末端高度偏差為±10 m，速度偏差為 ±1 m/s，航程偏差為 ±0．2 km，縱向偏差為 ±0．5 km，橫向偏差為±4 km。由此可知，本文設計相比現有縱向脫敏方法可更大程度降低系統對進入狀態偏差的敏感程度，具有顯著增強的魯棒性能。

圖10 在縱向剖面內校驗時縱向脫敏軌跡的蒙特卡洛測試結果Fig．10 Monte-Carlo test results of longitudinal desensitized trajectory when tested in longitudinal profile

圖11 三自由度脫敏軌跡的蒙特卡洛測試結果Fig．11 Monte-Carlo test results of three degree of freedom desensitized trajectory

5 結束語

現有縱向脫敏方法通常采用反轉邏輯控制橫程偏差，但本文研究表明非理想反轉會引起末端狀態偏差、使系統對進入狀態偏差敏感度上升，并且導致弱機動能力航天器采用縱向脫敏方法制導時出現末端狀態偏差散布程度數倍于非脫敏方法的失效情況。因此，對于火星進入段制導，本文放棄采用反轉邏輯，針對進入狀態偏差問題提出了三自由度脫敏設計。仿真結果表明，該方法有效解決非理想反轉條件下縱向脫敏方法的嚴重失效問題，且末端狀態偏差抑制能力更強。

目前本文僅考慮了進入狀態偏差問題，針對“氣動參數不確定”、“過程氣動力擾動”的脫敏設計及同時考慮三類擾動形式的完整脫敏方案有待進一步研究。

［1］Braun R D，Manning R M．Mars exploration entry，descent and landing challenges［J］．Journal of Spacecraft and Rockets，2007，44(2):310－323．

［2］ 崔平遠，胡海靜，朱圣英．火星精確著陸制導問題分析與展望［J］．宇航學報，2014，35(3):245－253．［Cui Ping-yuan，Hu Hai-jing，Zhu Sheng-ying．Analysis and prospect of guidance aspects for Mars precision landing［J］．Journal of Astronautics，2014，35(3):245－253．］

［3］ 李爽，彭玉明，陸宇平．火星EDL導航、制導與控制技術綜述與展望［J］．宇航學報，2010，31(3):621－627．［Li shuang，Peng Yu-ming，Lu Yu-ping．Review and prospect of Mars EDL navigation guidance and control technologies［J］．Journal of Astronautics，2010，31(3):621－627．］

［4］Mooij E，Mease K D，Benito J．Robust re-entry guidance and control system design and analysis［C］．AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit，Hilton Head，USA，August，2007．

［5］Lu W M，Bayard D S．Guidance and control for Mars atmospheric entry:adaptivity and robustness［R］．AIAA Paper，1999．

［6］Shen H J，Hans S，Richard W P．Desensitizing the pin-point landing trajectory on Mars［C］．AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit，Honolulu，Hawaii，August 18－21，2008．

［7］Seywald H，Kumar R R．Desensitized optimal trajectories［J］．Advances in the Astronautical Sciences，1996，93(1):103－115．

［8］Seywald H．Desensitized optimal trajectories with control constraints［J］．Advances in the Astronautical Sciences，2003，114:737－743．

［9］Li S，Peng Y M．Mars entry trajectory optimization using DOC and DCNLP［J］．Advances in Space Research，2011，47(3):440－452．

［10］Harpold JC，Graves Jr CA．Shuttle entry guidance［J］．Journal of the Astronautical Sciences，1979，27(3):239－268．

［11］Tu K Y，Munir M S，Mease K D，et al．Drag-based predictive tracking guidance for Mars precision landing［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2000，23(4):620－628．

［12］Carman G，Ives D，Geller D．Apollo-derived Mars precision lander guidance［C］．AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference and Exhibit，Boston，MA，August 10－12，1998．

［13］Brunner C W．Skip entry trajectory planning and guidance［D］．Iowa:Iowa State University，2008．

［14］Mooij E，Space D．Model reference adaptive guidance for reentry trajectory tracking［C］．AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit，Rhode Island，USA，August 16－19，2004．

［15］Garg D，Michael P，Hager W，et al．A unified framework for the numerical solution of optimal control problems using pseudospectral methods［J］．Automatica，2010，46(11):1843－1851．