諧波力矩測量技術分析和優化設計

王雪竹，崔 龍，李洪誼，王越超，李 濤，張 濤

(1．中國科學院沈陽自動化研究所機器人學國家重點實驗室，沈陽110016;2．中國科學院大學，北京100049)

0 引言

諧波齒輪傳動具有重量輕、體積小、傳動比大、承載能力大、傳動精度高、回差小、能在密封空間和輻射介質的工況下正常工作等優點，因此成為輕型空間機械臂的首選減速裝置［1－3］。為提高機械臂的力感知和力控制能力，以及通過力矩反饋控制克服諧波傳動系統固有的柔性、嚙合過程中的動態誤差和復雜的摩擦特性，獲得更優的伺服精度［4－8］，需要對諧波傳動輸出力矩進行測量。常用的力矩測量方法是基于電阻應變原理，在諧波傳動和負載之間加入一個彈性體，通過測量該彈性體形變來衡量諧波輸出力矩的大小［8－9］。然而在航天航空領域中，由于其獨特的工況條件，對機械傳動機構的體積、重量、動力特性和可靠性有著嚴格的要求，額外的力矩傳感器增加了零部件數量，使得系統結構更復雜，重量和體積均增大，且彈性體的存在進一步加大了系統柔性。

為克服這一缺陷，考慮到諧波柔輪本身的彈性特性，研究人員提出了諧波測力技術(也稱為諧波內置力矩傳感器技術)，該技術不需要在諧波傳動和負載之間增加新的機械構件，而是將可變形的柔輪當作力矩傳感器的彈性體部分，通過測量柔輪形變得到諧波輸出力矩值［10］，從而達到節省關節空間和降低關節質量的目的，因而更適合太空應用。由于柔輪除了受負載影響產生形變之外，還在波發生器的作用下產生依賴于其轉動位置的形變，這給從測得的柔輪形變信號中提取負載力矩帶來很大干擾。因此諧波測力技術的研究重點是抑制測量信號中受波發生器作用產生的柔輪形變部分。Taghirad等將該部分柔輪形變看作正弦信號，采用四個對稱分布的應變花并使用惠斯通電橋以抵消該波動信號［11］。Godler等假設該部分柔輪形變為N個頻率分量的疊加，采用直角應變花削弱波動信號，并使用增益調節方法抵消由應變片安裝誤差帶來的額外干擾［12］。Pan等采用了類似的增益調節方法對波動信號進行雙重補償［13］。Sensinger等采用四個應變花進行力矩測量，綜合使用電橋和增益調節技術將小范圍(5 N范圍內)的測量誤差削減至±0．5 Nm［14］。目前的測量精度不能滿足高精度力矩測量的需求，這是因為目前對諧波測力技術的研究缺乏對柔輪復雜的形變過程的分析，僅基于經驗對傳感器的應變片進行布局，而精確的傳感器布局恰恰是抑制波動信號、減小力矩測量誤差的關鍵。

為了提高諧波力矩測量的精度，針對上述問題，本文首先從理論上分析了柔輪形變對諧波測力技術測量精度的影響，然后采用有限元方法對諧波傳動依次進行穩態和瞬態動力學分析，得到柔輪在負載作用下的實時應變情況，進而對諧波測力技術的設計方案進行對比分析，得出最優方案。

1 諧波測力技術

諧波測力系統的構成如圖1所示，柔輪應變由貼在柔輪表面的應變片轉化為電阻變化量，再經電橋轉化為電壓信號，通過信號處理提取出其中的負載力矩信號，并進行信號采集。諧波傳動由剛輪、柔輪和波發生器構成，當波發生器轉動時，它與柔輪的接觸關系迫使柔輪不斷改變形狀，柔輪外齒依次嚙入和嚙出剛輪的內齒，實現嚙合過程，完成力與運動的傳遞。諧波測力技術通過測量柔輪形變得到負載力矩，然而柔輪形變除了受負載力矩影響外，還受波發生器形狀、轉速以及輪齒嚙合過程中的摩擦粘滯效應等因素的影響。摩擦效應主要體現在改變柔輪外齒附近的受力分布，對距離外齒較遠部分的影響不大，而且基本不改變柔輪平均形變，因而不妨忽略。波發生器轉動給力矩測量帶來的干擾很大，下面具體分析如何通過信號處理去除其干擾。

圖1 諧波測力系統結構圖Fig．1 System organization of the build-in torque sensor for harmonic drive

忽略摩擦效應，柔輪表面某一點的應變量ε可以表示為

式中:εf為由波發生器轉動帶來的柔輪形變，以下稱之為柔輪自身形變，kττload為負載力矩帶來的柔輪形變，其中τload為負載力矩，kτ為彈性系數，其大小與該點在柔輪上的位置有關，并受轉速影響。可以看出，若能測得柔輪應變量并抵消掉柔輪自身形變，則可測得負載力矩。

采用直角應變花測量柔輪上某一點的應變，如圖2(a)所示。對直角應變花建立局部坐標系，直角應變花的兩個應變片R1和R2位于xy平面，并關于y軸對稱。當受到應力時，應變花產生應變ε=(εx，εy，εz)，如圖2(b)所示，其中線段op表示無變形時的應變花，op*表示變形后的應變花。則兩個應變片的阻值變化量ΔR1和ΔR2分別為

式中:kx、ky和kz分別為應變片在x、y、z三個方向的靈敏系數，ΔRtemp為溫度漂移。

從式(2)可以看出，使用惠斯通電橋對直角應變花的兩個應變片進行半橋互補可以去除溫度漂移，并得到單方向的應變量εx:

式中:kv為電橋系數。

圖2 直角應變花的局部坐標系示意圖Fig．2 Local coordinate system of the right-angle strain rosette

為了測量負載力矩，需要將直角應變花沿柔輪上負載力矩的作用方向進行布局。如圖3所示，對柔輪建立圓柱全局坐標系(ρ，φ，h)，將N個直角應變花沿h軸對稱均勻貼在柔輪表面，間距為Δφ=2π/N，圖3(a)為貼在柔輪底部的方案，圖3(b)為貼在柔輪筒壁的方案，圖中粗線oipi代表第i個應變花，oi－xiyizi為第i個應變花的局部坐標系。不管哪種方案，負載轉矩都是沿著圖中虛線圓的切線方向，給各個應變花帶來其局部坐標系下x方向的應變。因此根據式(1)可得第i個直角應變花在xi方向的應變εxi為

式中:εfxi為柔輪自身形變在xi方向的分量，kτxi為柔輪在第i個應變花處的彈性系數在xi方向的分量。

圖3 直角應變花在柔輪上的布局圖Fig．3 Layout of the strain rosette on the flexspline

對于常用的雙波諧波傳動，波發生器為橢圓形對稱結構，波發生器每轉一圈柔輪轉過2個齒，因此柔輪的變化以半圈為一個周期。而波發生器轉動過程中柔輪上任一點的形變近似正弦變化，故εfxi可用如下正弦信號的疊加表示:

式中:βi為第i個應變花對應的波發生器轉角，bk為第k個正弦分量的幅值。由于應變花的間距為2π/N，故有 βi=β+2π(i－1)/N，其中β=β1，將其代入式(5)可得

將式(4)代入式(3)可得第i個直角應變花的電壓輸出信號為

將式(6)代入式(7)，使用信號調理電路對N個直角應變花的電壓輸出信號求均值可得

然而實際中應變花的數目N不可能無窮大，要提高諧波測力的精度，就需要對應變片布局進行分析和改進，使柔輪自身形變對測量值的影響盡量小，即盡量小。另外，由于柔輪形變和負載力矩并不完全呈線性，且柔輪形變在一定程度上受波發生器轉速的影響，因此在優化應變片布局時還需要考慮使負載力矩和波發生器轉速對彈性系數 的影響盡量小。

2 柔輪動應變分析

根據以上分析可知，為了對諧波測力技術的傳感器布局進行分析，需要首先對柔輪在負載作用下的實時應力應變進行分析。由于諧波傳動的嚙合過程相當復雜，目前對柔輪的理論分析都是忽略了齒圈部分，將柔輪簡化為光滑的柱形殼體來計算，其計算結果只是一定程度上的近似，更精確的結果需要采用有限元方法計算得到。

諧波測力技術需要獲取轉動過程中柔輪的實時應變，因此要進行動態分析。由于裝配好的諧波傳動在空載時存在預應力，因此在進行動態分析之前還需要對柔輪的初始形變進行靜態分析。LS-DYNA顯式求解器能快速求解瞬時大變形動力學和復雜的接觸碰撞問題，而ANSYS隱式求解方法在處理靜態問題時更為有效，因此我們結合這兩種方法的優點執行隱式－顯式順序求解:首先使用ANSYS隱式求解波發生器裝入后柔輪在空載時的靜應變，再將隱式求解結果作為ANSYS/LS-DYNA顯式求解的預載進行瞬態分析。

對諧波傳動建立有限元模型如圖4所示。不妨假設波發生器在轉動過程中不發生變形，從而將橢圓盤狀的波發生器簡化為一個剛性的橢圓環。對柔輪的建模采用未變形的圓筒形，并將柔輪和波發生器兩者的中心同軸裝配。柔輪的直徑為80 mm，筒高42 mm，厚0．6 mm，齒數為160，采用漸開線齒廓。為簡化分析，略去柔輪筒底法蘭盤上的螺孔，在諧波傳動輸出端添加一個環形負載圈，以便于施加負載力矩和約束柔輪運動。在仿真中將剛輪假設為不可變形的剛性體，因此剛輪外圈厚度不影響仿真結果，為減少網格數目畫得較薄。柔輪的材料為30CrMnSi，其彈性模量為204 GPa，泊松比0．29，密度6．691 g．cm－3，負載圈材料設置同柔輪。波發生器和剛輪的材料為45號鋼，其彈性模量為210 GPa，泊松比0．3，密度7．85 g·cm－3。使用八節點實體單元進行網格劃分。

圖4 諧波傳動有限元模型Fig．4 Finite element model of the harmonic drive

使用ANSYS有限元分析軟件進行空載時的隱式靜態仿真，仿真結果如圖5所示，可以看出，空載時柔輪在波發生器和剛輪的共同約束下產生形變，在長軸(x方向)和短軸(y方向)處形變較大，在兩者中部形變較小(MN);最大應變(MX)發生在齒圈上，從齒圈到筒壁再到底部應變呈逐漸減小趨勢，越靠近柔輪輸出端應變越小。

圖5 空載時仿真結果Fig．5 Simulation results of the harmonic drive under no-load

將隱式靜態仿真的結果作為瞬態分析的預載，導入ANSYS/LS-DYNA軟件中，進行顯式瞬態分析，分別在轉速恒定、負載力矩變化和負載力矩恒定、轉速變化的情況下仿真。圖6為負載力矩45 Nm、波發生器轉速100 rad/s的仿真結果，圖(a)和圖(b)分別為波發生器逆時針轉動0．5 rad和1 rad時的柔輪應變，二者對比可以看出在同樣負載下柔輪應變相似，且柔輪的扭曲隨著波發生器的轉動而轉動。對比圖5(c)和圖6，可以看出柔輪在負載力矩影響下產生明顯扭曲，且越靠近柔輪輸出端扭曲越明顯，即柔輪輸出端附近的應變受負載力矩的影響更大;而從圖5(b)和(c)中可以看出柔輪輸出端附近柔輪自身形變的干擾更小，因此初步認為靠近柔輪輸出端的地方更適合安裝應變片。接下來使用仿真得到的柔輪實時應變對應變片布局進行定量分析。

圖6 負載下柔輪應變仿真結果Fig．6 Simulation results of the flexspline strain under loads

3 傳感器優化設計

使用第2部分的諧波傳動有限元計算結果來分析不同方案下的力矩測量效果。首先從有限元計算結果中獲取直角應變花的應變:如圖3所示，將第i個直角應變花簡化為由柔輪表面的點oi和pi構成的長為l的線段，將有限元仿真得到的點pi的實時應變轉換到局部坐標系oi－xiyizi下，則可以得到直角應變花oipi在局部坐標系下的應變。

對各個直角應變花在其局部坐標系下x方向的應變量εxi求均值，由式(8)可得

式中:j為采樣時間，n為采樣長度，τest(j)=kest(j)為力矩測量值，其中kest為對和τload最小二乘擬合的結果，計算方法為kest=，其中Tload=［τload(1)… τload(n)］T。

在諧波傳動系統轉動過程中，柔輪表面不同位置的應變受柔輪自身形變、負載力矩和波發生器轉速的影響并不相同，而應變片的大小也影響測量值，因此以下分別對應變片位置ρ或h、應變片長度l和數目N對力矩測量精度的影響進行分析。

1)空載時的應變量

空載時，根據有限元仿真結果，按圖3(a)所示在柔輪底部布置直角應變花，應變花數目N=178，長度l=2 mm，則不同半徑ρ下應變花可測得的應變如圖7(a)所示;按圖3(b)所示在柔輪筒壁布置直角應變花，N=178，l=2．4 mm，則不同高度h下應變花可測得的應變如圖7(b)所示。圖中φ=0°和180°為波發生器長軸對應的位置。可以看出柔輪應變以半圈為一個周期，空載時柔輪底部應變較小，且越靠近柔輪輸出端形變越小;柔輪筒壁應變很大，且不同高度下應變大小差別不大。這表明柔輪自身形變對柔輪筒壁的測量值影響較大，而對柔輪底部靠近輸出端的測量值影響較小。

2)應變片位置、長度與力矩測量誤差的關系

圖7 空載下直角應變花的應變Fig．7 Strains of the strain rosette on the flexspline under no-load

施加負載，波發生器的轉速為100 rad/s，負載為0～45Nm，仿真時間為0．01 s。在柔輪筒壁布置直角應變花，N=178，l=2．4 mm，使用式(10)求不同高度h下的均方根誤差σ，結果如圖8所示。可以看出σ的范圍為3．5～13．6 Nm，且與高度的關系并不明確。該諧波傳動的正常工作范圍為±50 Nm，故誤差為諧波量程的3．5%～13．6%。圖9為誤差最小處(h=17．4 mm)的力矩測量曲線，實線為負載力矩，虛線為力矩測量值，可以看出測量值未能很好地跟隨真實值變化，測量誤差偏大。原因是筒壁的形變受齒輪嚙合影響較大，齒輪嚙入嚙出會帶來應變尖峰，產生噪聲，而且負載力矩對柔輪筒壁形變的影響相對柔輪自身形變而言較小。因此筒壁不適合用來貼應變片。

在同樣負載下，在柔輪底部布置直角應變花，N=178，l=2 mm，使用式(10)求不同半徑ρ下的均方根誤差σ，結果如圖10中細實線所示。可以看出，σ范圍為1．28～2．64 Nm，且隨著ρ的減小呈遞減趨勢。這是因為筒底的形變受柔輪自身形變影響相對較小，且越靠近負載輸出地方，受負載力矩影響越大，這和圖6、圖7(a)的結論也是相符的。

依次改變應變花的長度l為4 mm、6 mm、8 mm、10 mm和12 mm，使用式(10)求得均方根誤差σ如圖10中對應曲線所示。可以看出，長度對測

圖8 筒壁上不同高度處的力矩擬合誤差σFig．8 Torque measurement errors for different positions on the tube of the flexspline

圖9 筒壁上誤差最小處的力矩測量曲線Fig．9 The best torque measurement on the tube of the flexspline

3)彈性系數與轉速的關系

圖10 筒底上不同半徑處的力矩擬合誤差σFig．10 Torque measurement errors for different positions on the bottom of the flexspline

圖11 筒底上誤差最小處的力矩測量曲線Fig．11 The best torque measurement on the bottom of the flexspline

圖12 筒底上不同半徑處速度對彈性系數的影響系數Fig．12 Effect of the velocity on elasticity on the bottom of the flexspline

4)應變片數目與力矩測量誤差的關系

在波發生器轉速為100 rad/s、負載為0～45 Nm下仿真，時長0．01 s，選取如下應變片設計方案進行分析:ρ=31．6 mm，l=4 mm。改變應變花個數N，使用式(10)求不同N下的均方根誤差σ，結果如圖13所示。可看出，當N＜14時，隨應變花個數的增加，力矩測量誤差迅速降低，σ由5．5 Nm降至2 Nm以內;當N較大，尤其是N＞30時，力矩測量誤差隨應變花個數的變化較小，此時σ在1．3～1．8 Nm之間波動，但總體上仍呈下降趨勢。

圖13 不同應變花個數下的力矩擬合誤差Fig．13 Torque measurement errors for different numbers of the strain rosette

綜合以上分析，可以得出如下結論:(1)柔輪筒壁形變受柔輪自身形變影響較大，故力矩測量誤差較大;(2)柔輪底部形變能夠較好地反映負載力矩，且越靠近輸出軸測量誤差越小;(3)適當增加應變花長度有利于減小測量誤差;(4)選擇筒底中部位置并適當增加應變片長度可以減小轉速的影響;(5)力矩測量誤差隨著應變花個數的增加而遞減，應變花個數較少時下降較快，應變花個數較多時變化不大。

為提高測量精度，期望速度對彈性系數的影響盡可能小，且力矩測量誤差σ低于2%，即2 Nm。故選擇將直角應變花貼在柔輪底部ρ=31．6 mm處，應變片長度l=4 mm。考慮到實際應用中應變片數目過多會增加布片難度，根據圖13選擇應變花數目為誤差σ下降變慢的轉折點N=14，此時均方根誤差σ=1．6 Nm。無濾波時的力矩測量曲線如圖14中虛線所示，曲線的波動主要是由齒輪的嚙入嚙出帶來的。加上低通濾波器0．5/(0．5z－1+1)后的力矩測量曲線如圖14中帶點實線所示。可以看出，濾波后穩態誤差(改變力矩0．8 ms后的誤差)由2%提高至0．5%。

圖14 濾波前后的力矩測量曲線Fig．14 Torque measurements before and after filtering

3 結論

本文對諧波測力技術進行了理論分析，并首次使用有限元方法對其應變片布局與力矩測量精度的關系展開研究，為諧波測力技術的優化設計提供了定性和定量依據。所設計方案能夠有效削弱波發生器轉動帶來的干擾，實現較高的測量精度，從而為空間機器人提供了一種實用有效、緊湊化的關節力矩測量方法。

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