慣導(dǎo)/測(cè)距/測(cè)速相結(jié)合的安全軟著陸自主導(dǎo)航方法

吳偉仁，李 驥，黃翔宇，張洪華，王大軼，張 哲

(1．國(guó)防科工局探月與航天工程中心，北京100037;2．北京控制工程研究所，北京100190;3．空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

0 引言

地外天體軟著陸探測(cè)是深空探測(cè)的一種重要方式。到目前為止，美國(guó)、蘇聯(lián)、歐空局以及日本等國(guó)家和組織已經(jīng)先后對(duì)月球、火星、小行星和彗星等地外天體實(shí)施了軟著陸探測(cè)。以嫦娥三號(hào)為代表，我國(guó)也實(shí)現(xiàn)了月球軟著陸探測(cè)［1］，未來(lái)還將開展對(duì)火星、小行星等深空天體的著陸探測(cè)。

由于地外天體距離地球都很遙遠(yuǎn)，地面測(cè)控在實(shí)時(shí)性和精確性上很難滿足要求，因此著陸過(guò)程的導(dǎo)航一般都采用自主導(dǎo)航。在已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的著陸探測(cè)任務(wù)中，美國(guó)的Surveyor［2］和Apollo［3］采用了基于慣性測(cè)量單元(以下簡(jiǎn)稱IMU)、雷達(dá)高度計(jì)和多普勒速度敏感器的導(dǎo)航方式;蘇聯(lián)的lunar系列也采用的是陀螺、加速度計(jì)(以下簡(jiǎn)稱加計(jì))、多普勒測(cè)速儀和測(cè)高儀的導(dǎo)航方式［4］;我國(guó)的嫦娥三號(hào)月球探測(cè)器在軟著陸過(guò)程中則采用了IMU、激光測(cè)距儀和微波測(cè)距測(cè)速敏感器組合的導(dǎo)航方式［5］。目前，各國(guó)正在研制的新一代著陸探測(cè)器則進(jìn)一步突出了著陸導(dǎo)航精度。例如，日本的Selene-B計(jì)劃采用IMU、光學(xué)導(dǎo)航相機(jī)、激光高度計(jì)/測(cè)速儀的復(fù)合導(dǎo)航方法［6］;歐空局研制中的月球著陸器采用了IMU、距離傳感器和導(dǎo)航相機(jī)相組合的導(dǎo)航方法［7］;美國(guó)原計(jì)劃開展的星座計(jì)劃項(xiàng)目，甚至設(shè)計(jì)了一套融合光學(xué)圖像、測(cè)距測(cè)速以及地面無(wú)線電測(cè)量的導(dǎo)航方法，形成一種天地一體的組合導(dǎo)航方案［8］。

為確保地外天體軟著陸任務(wù)中，著陸器能夠以盡可能小的速度垂直降落到天體表面理想?yún)^(qū)域，導(dǎo)航系統(tǒng)需要提供準(zhǔn)確的相對(duì)天體表面的高度和速度(包括垂向和水平共三個(gè)方向)信息，至于水平位置信息則處于相對(duì)次要的地位。因此盡管具體方案千差萬(wàn)別，采用的敏感器在工作體制、性能指標(biāo)上也不盡相同，但慣導(dǎo)結(jié)合測(cè)距以及測(cè)速修正的導(dǎo)航方式始終是地外天體軟著陸自主導(dǎo)航的核心。其中慣導(dǎo)是提供位置、速度和姿態(tài)測(cè)量的基本手段，測(cè)距用于修正慣導(dǎo)的高度誤差，測(cè)速則用于修正慣導(dǎo)的三維速度誤差。在這三者的組合下就提供了安全軟著陸的基本導(dǎo)航手段。本文以此為基礎(chǔ)，對(duì)慣導(dǎo)、測(cè)距和測(cè)速及在工程實(shí)用中會(huì)遇到的地形問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的數(shù)學(xué)建模和理論分析，并給出了相關(guān)計(jì)算方法和修正策略。

1 慣性導(dǎo)航

1．1軟著陸運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

取天體中心慣性系為參考坐標(biāo)系(用i表示)，軟著陸平動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以描述為

式中:ri是著陸器位置矢量在慣性系下的表示(3×1列向量)，vi是著陸器速度矢量在慣性系下的表示(3×1列向量)，μ是天體中心引力常數(shù)，F(xiàn)i是除引力外作用在著陸器上的合外力矢量在慣性系下的表示(3×1列向量)，m是著陸器的質(zhì)量，是引力攝動(dòng)加速度矢量在慣性系下表示(3×1列向量)。

著陸器本體相對(duì)慣性系的姿態(tài)用四元數(shù)q=［q1，q2，q3，q4］T表示，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以描述為

式中:ωb是角速度矢量在著陸器本體系(用b表示)下的表示(3×1列向量)，它可以根據(jù)陀螺測(cè)量得到。式(1)和式(2)構(gòu)成了著陸過(guò)程的基本運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，它們也是慣性導(dǎo)航解算的基礎(chǔ)。

1．2慣導(dǎo)基本方程

1)慣導(dǎo)位置、速度外推

慣性導(dǎo)航的基本測(cè)量源為IMU，它包含三個(gè)正交的陀螺和三個(gè)正交的加計(jì)，整個(gè)組件以捷聯(lián)方式安裝在著陸器本體上。其中陀螺可以獲得本體相對(duì)慣性空間的角速度，加計(jì)可以獲得作用在本體上的非引力加速度。假設(shè)本體系下非引力加速度的測(cè)量值為，由于在軌飛行中加計(jì)的零偏和刻度因子都可以進(jìn)行標(biāo)定，扣除這些因素后有

式中:Cbi是本體相對(duì)慣性系的姿態(tài)矩陣，是加計(jì)的測(cè)量噪聲向量在著陸器本體系下的表示。

將式(3)代入式(1)，則有

2)慣導(dǎo)姿態(tài)外推

將式(5)代入式(2)中有

將式(4)和式(6)結(jié)合起來(lái)就可以進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)外推，即慣導(dǎo)外推。慣導(dǎo)外推有很多具體的算法，例如嫦娥三號(hào)著陸器所使用的四子樣算法等［5］。但無(wú)論哪種算法，都可以用基本方程(4)和(6)來(lái)表示。

1．3慣導(dǎo)在著陸導(dǎo)航中的不足

基于遞推算法的慣性導(dǎo)航中，由于各種誤差的累積作用，慣導(dǎo)計(jì)算誤差逐漸增大。圖1和圖2是某月球軟著陸任務(wù)中仿真得到的慣導(dǎo)高度誤差和垂直速度誤差隨時(shí)間的變化曲線，其中點(diǎn)劃線是蒙特卡洛仿真統(tǒng)計(jì)的均值，虛線是蒙特卡洛仿真中獲得的最大值，實(shí)線為統(tǒng)計(jì)得到的3σ界。很顯然，慣導(dǎo)的高度和速度誤差均呈發(fā)散狀態(tài)。這說(shuō)明單純依靠慣導(dǎo)無(wú)論是在高度還是在速度上都很難滿足安全著陸的需要。

圖1 慣導(dǎo)高度誤差曲線Fig．1 INSerror in altitude

2 測(cè)距對(duì)慣導(dǎo)高度的修正

2．1地形模型

測(cè)距儀得到的是著陸器沿測(cè)距儀波束方向相對(duì)天體表面的直線距離，而慣性導(dǎo)航提供的是相對(duì)天體中心的位置，這意味著慣性導(dǎo)航不能直接給出相對(duì)天體表面的高度。兩者之間存在地形影響。

圖2 慣導(dǎo)垂直速度誤差曲線Fig．2 INSerror in vertical velocity

以月球虹灣地區(qū)為例，動(dòng)力下降的典型航跡如圖3所示。圖中，縱向白線為航跡，箭頭表示飛行方向。該航跡下的地形起伏如圖4所示。

圖3 月球著陸過(guò)程的典型航跡圖Fig．3 Typical landing trajectory of lunar landing

月面地形可以建模為趨勢(shì)項(xiàng)和疊加在該趨勢(shì)項(xiàng)上的高度起伏。對(duì)于虹灣地區(qū)來(lái)說(shuō)，其趨勢(shì)項(xiàng)可以建模成斜坡

式中:hL是基準(zhǔn)高度，s是著陸航程，α是坡度。

圖4 典型航跡下的月面起伏Fig．4 Terrain under the typical landing trajectory

高度起伏可以用一階馬爾科夫過(guò)程描述，即

β是相關(guān)距離。

由于航程實(shí)際是水平速度的積分，即

式中:vhor表示水平速度，因此式(9)可以變?yōu)?/p>

顯然，隨著高度的降低，著陸器水平速度越來(lái)越小，則地形的起伏變化也越來(lái)越小。

2．2測(cè)距模型

測(cè)距儀測(cè)量的是沿波束方向到實(shí)際月面的斜距。將它解算為高度時(shí)，需要用到著陸器的姿態(tài)信息。假設(shè)測(cè)距波束方向在本體系的表示為，測(cè)距儀的斜距測(cè)量值為，那么測(cè)距儀解算的高度為

測(cè)距儀解算的高度與實(shí)際星下點(diǎn)高度是有偏差的，包括測(cè)距儀自身的測(cè)量誤差以及測(cè)距儀指向與鉛垂線之間夾角帶來(lái)的地形起伏誤差(如圖5所示)。為了降低后者的影響，通常在著陸器本體向下的方向會(huì)安裝一個(gè)測(cè)距波束天線或裝置。這樣當(dāng)著陸器最終以垂直方式著陸時(shí)，該波束方向與鉛垂線方向一致，地形起伏的影響得以消除。

圖5 測(cè)距儀測(cè)量原理Fig．5 Measurement geometry of altimeters

2．3測(cè)距修正

測(cè)距儀解算的高度與著陸器位置之間有如下關(guān)系

式中:Rm是天體參考半徑，δhalt是測(cè)距儀高度解算的隨機(jī)誤差。

對(duì)于測(cè)距修正來(lái)說(shuō)，只有垂向通道的慣導(dǎo)誤差(高度和垂向速度)是可觀測(cè)的［10］，因此不能按照式(4)、(6)和(13)建立全狀態(tài)的濾波方程。著陸器的垂向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以近似為

式中:vver表示垂向速度，fver是垂向非引力加速度，g是重力加速度，δaver是縱向加速度誤差。h是著陸器相對(duì)天體參考半徑Rm的高度(稱為絕對(duì)高度)，它與著陸器位置r的關(guān)系為

測(cè)距儀測(cè)量出波束方向的斜距，并按式(12)可以解算出相對(duì)實(shí)際天體表面的高度(稱為相對(duì)高度)，那么由式(13)可以得到測(cè)量方程為

由式(11)可知hn隨速度越來(lái)越小，因此將hn與測(cè)距儀誤差δhalt一起考慮為隨機(jī)量。假設(shè)href已知，那么可以建立濾波的狀態(tài)方程和測(cè)量方程

需要說(shuō)明的是，導(dǎo)航系統(tǒng)應(yīng)該提供著陸器相對(duì)天體實(shí)際表面的高度，即相對(duì)高度，而由式(17)估計(jì)的高度是絕對(duì)高度，那么為計(jì)算相對(duì)高度還應(yīng)當(dāng)補(bǔ)償?shù)粢阎匦危?/p>

理論上，測(cè)距修正除了能夠估計(jì)出著陸器的高度外還應(yīng)估計(jì)出垂直速度，但是實(shí)際估計(jì)出的垂直速度并不是特別準(zhǔn)確。在地外天體著陸過(guò)程中href通常并不知道。將式(17)進(jìn)行適當(dāng)變換，有

式(19)可用來(lái)對(duì)著陸器相對(duì)天體地形趨勢(shì)項(xiàng)的高度和垂直速度進(jìn)行估計(jì)，方程的右邊出現(xiàn)了天體地形趨勢(shì)項(xiàng)的變化率，即。由于地外天體著陸任務(wù)中地形趨勢(shì)往往事先不知，因此在式(19)中只能假定這個(gè)變化率為0。但實(shí)際上，只要趨勢(shì)面存在高度變化，那么href對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)在著陸器轉(zhuǎn)為垂直飛行之前就不為0，由此濾波估計(jì)出的垂向速度就會(huì)出現(xiàn)偏差。但相對(duì)高度是直接觀測(cè)量，受地形不確定的影響較小，即使href沒(méi)有先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)高度估計(jì)效果的影響也可忽略。

3 測(cè)速對(duì)慣導(dǎo)速度的修正

對(duì)于著陸安全性來(lái)說(shuō)，水平速度為0是避免著陸器接觸天體表面時(shí)發(fā)生翻倒的一個(gè)重要前提。為了提高水平速度精度，導(dǎo)航還必須引入直接的速度測(cè)量修正。為了構(gòu)建完整的三維空間速度矢量，需要有三個(gè)不共面的測(cè)速波束。

慣導(dǎo)提供的是著陸器相對(duì)慣性系的速度，而慣性系的速度與相對(duì)天體表面的速度之間存在如下關(guān)系

那么根據(jù)式(4)和(21)，可以構(gòu)造濾波方程

式中:δvradar是測(cè)速敏感器測(cè)量誤差，I3×3表示3×3單位矩陣。對(duì)式(22)可以使用擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行估計(jì)，其中ri、vi的時(shí)間更新部分就是慣導(dǎo)位置、速度的外推。

從文獻(xiàn)［10］已知上述系統(tǒng)是完全可觀的，但對(duì)天體自轉(zhuǎn)角速度，即的模，比較小的天體(例如月球)，式(22)中ri的可觀性并不太好。對(duì)于這種情況，可以將ri視為已知量(由慣導(dǎo)提供)，這樣被估狀態(tài)就只剩下vi，與之相對(duì)應(yīng)，濾波器變?yōu)?/p>

這是一個(gè)線性定常系統(tǒng)，可以使用卡爾曼濾波進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。工程實(shí)踐時(shí)，也可以將它轉(zhuǎn)換為固定系數(shù)濾波器，但濾波系數(shù)應(yīng)隨高度或速度變化［5］，通常的趨勢(shì)是濾波系數(shù)隨高度降低或速度下降而增大。

4 組合使用的策略

從安全著陸的角度看，著陸過(guò)程的導(dǎo)航精度應(yīng)隨著高度的降低逐漸提高。慣性導(dǎo)航本身的誤差是逐漸增大的，而測(cè)距和測(cè)速儀的誤差會(huì)隨著高度的降低逐漸減小，兩者的精度水平可能會(huì)在某一高度下形成交叉。例如，某月球著陸器慣導(dǎo)和測(cè)距儀解算高度的精度水平以及慣導(dǎo)和測(cè)速儀精度水平的對(duì)比情況分別如圖6和圖7所示，圖中實(shí)線表示INS的誤差，點(diǎn)劃線表示測(cè)距或測(cè)速的誤差，線段長(zhǎng)度按照敏感器作用距離繪制。這表明，測(cè)距和測(cè)速修正并不一定需要在下降的全程都引入，只要保證在著陸后期(測(cè)距測(cè)速精度高于慣導(dǎo)以后)啟用，這樣也有利于降低敏感器研制的難度。

圖6 測(cè)距儀與慣導(dǎo)高度解算精度比較Fig．6 INSand altimeter errors

圖7 測(cè)速儀與慣導(dǎo)速度解算精度比較Fig．7 INSand Doppler velocimetry errors

5 仿真校驗(yàn)

以月球軟著陸過(guò)程為例，對(duì)慣導(dǎo)/測(cè)距/測(cè)速相結(jié)合的自主導(dǎo)航方法進(jìn)行仿真校驗(yàn)。仿真過(guò)程中假定著陸器從15×100 km的橢圓環(huán)月軌道近月點(diǎn)開始下降。測(cè)距修正從8 km高度開始引入;測(cè)速修正從4 km高度開始引入。

著陸過(guò)程的高度變化曲線如圖8所示。其中實(shí)線為實(shí)際飛行高度曲線，虛線為導(dǎo)航給出的高度變化曲線，點(diǎn)劃線是地形。由于初始測(cè)定軌誤差的存在，下降的初始階段導(dǎo)航給出的高度相比實(shí)際高度存在偏差，到8 km測(cè)距修正引入后，導(dǎo)航高度偏差迅速縮小。

圖8 月球軟著陸主減速過(guò)程的飛行軌跡Fig．8 Altitude vs time in lunar landing

著陸過(guò)程的速度誤差變化曲線如圖9所示，其中δVx、δVy和δVz分別表示慣性系下三方向的速度誤差。很明顯在測(cè)速修正引入以前，慣導(dǎo)的速度誤差處于發(fā)散狀態(tài)。當(dāng)測(cè)速修正引入后，速度誤差迅速趨于0，并在0附近波動(dòng)。

圖9 月球軟著陸過(guò)程導(dǎo)航速度誤差變化Fig．9 Velocity vs time in lunar landing

6 結(jié)論

地外天體軟著陸對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)而言，保證安全就是保證高度和速度三方向分量的精度。從這一根本要求出發(fā)，本文分析了慣導(dǎo)、測(cè)距儀和測(cè)速儀在著陸任務(wù)中的作用，對(duì)它們各自的原理、模型、算法、性能、優(yōu)缺點(diǎn)和組合使用方法等進(jìn)行了詳細(xì)的介紹和推導(dǎo)。并從工程實(shí)際出發(fā)，針對(duì)計(jì)算量、地形影響、濾波穩(wěn)定性等問(wèn)題，利用可觀性分析的結(jié)論，對(duì)測(cè)速、測(cè)距修正的算法進(jìn)行了簡(jiǎn)化。相比各種理論算法，本文介紹的安全軟著陸導(dǎo)航方法實(shí)用性更強(qiáng)。數(shù)學(xué)仿真表明基于慣導(dǎo)和測(cè)距/測(cè)速組合修正的安全軟著陸自主導(dǎo)航方法能夠保證導(dǎo)航系統(tǒng)在高度和速度上的精度，滿足安全軟著陸的基本需要。

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