基于圖形直觀 滲透模型思想 發展數學思維

朱衛明

[摘 要]課堂教學中，教師應基于圖形直觀滲透模型思想，發展學生的數學思維。通過對教學案例的反思與分析，教師要善于因人而異、因時制宜、因材施教，引導學生逐步積累借助圖形直觀分析數量關系的經驗，掌握建模的方法。

[關鍵詞]圖形直觀 模型思想 數學思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）02-020

案例：

蘇教版小學數學二年級下冊P67第13題（如下圖），求小玲家離學校多少米。

為了解學生利用圖形直觀解決問題的實際能力，在期末復習中，我讓學生練習這道題，然而練習的反饋情況并不樂觀。學生錯誤情況的分類統計如下：①700-400（5人）；②700+500（6人）；③500+400（6人）；④700+400+500（3人）；⑤400+700+500-400（2人）；⑥700-400+700-400（1人）。通過與出錯學生的交流，我了解到了他們真實的思考過程，并分析了他們產生錯誤的原因：一是不能正確讀圖，不了解線段所表示的真正含義；二是沒有圖文結合，將“求小玲家離學校多少米”簡單理解成“求大生家到學校的路程；三是從線段圖中提煉不出正確的數量關系，導致解決問題時想到哪算到哪。那么，該怎樣引導學生讀懂線段圖，領會內在的數量關系，積累借助圖形直觀分析數量關系的經驗，形成解決問題的策略呢？我設計如下的教學過程。

一、從現實情景中抽象

師：我們班有男生25人、女生24人，我們班一共有學生——

生：49人。

師：你能畫圖表示出這些數量嗎？（通過比較，學生一致認為在數量比較多時，畫線段圖表示比較簡單、便捷）

師（在黑板上畫線段圖，略）：你能指出男生人數、女生人數、全班人數對應的線段嗎？（師根據學生的回答，在圖中板書各種名稱和數量）

師：相對于男生、女生人數來說，全班人數比較——（多）那求全班人數用——

生：加法，即男生人數+女生人數。

師：和全班人數比，男生或女生人數比較——（少）那求男生或女生人數用——

生：減法。

師（擦去線段圖上的文字說明，寫上序號，如下圖）：我們今后解決問題時，會經常用到這樣的線段圖。如果要求線段③所表示的較大數時，可以怎樣算？

生：用加法。

師：要求線段①或線段②表示的較小數呢？

生：用減法。

師：下面請同桌之間相互指出線段圖中的較大數或較小數，再說一說求這個數的計算方法，看誰說得正確、流利。

……

二、在舉一反三中鞏固

根據相關的數量，說出數量關系式。

（1）全班人數、會游泳人數、不會游泳人數，（ ）+（ ）=（ ）。

（2）書的總頁數、已看頁數、剩下頁數，（ ）+（ ）=（ ）。

（3）原來本數、借出本數、現在本數，（ ）+（ ）=（ ）。

（4）原來人數、下車人數、現在人數，（ ）+（ ）=（ ）。

（5）原來人數、上車人數、現在人數，（ ）+（ ）=（ ）。

生1：第（5）題答案為“現在人數+上車人數=原來人數”。

師：有不同意見嗎？

生2：我認為應該是“原來人數+上車人數=現在人數”。

師：第（4）題是“下車人數+現在人數=原來人數”，這道題為什么不一樣呢？你能到講臺上指著黑板上的線段圖，向大家說說你的想法嗎？

生3（邊指邊說）：第（4）題中是“下車”，指有人下車了，那現在車上的人數就比原來少了；而第（5）題中是“上車”，有人上車后，車上的人變多了，所以“現在人數”才是較大數，求較大數用加法。

師：同學們同意他的觀點嗎？（同意）是的，生活中有些數量關系看起來相同，可實際上卻并不一樣。我們在解決問題時，如果遇到困難，可以借助線段圖來明晰這些數量間的關系。在我們的生活中，還有很多數量關系也能用這樣的線段圖來表示，你們能舉出這樣的例子嗎？

……

三、在運用過程中發展

1.再次完成教材中的第13題

師：你能從圖中了解到哪些數學信息？要解決什么問題呢？ （學生思考后，師指名匯報）

師（指著小玲家離學校的路程對應的線段）：要求這段路程，是求較大數還是較小數呢？應該怎樣算？先在自己的練習紙上指一指、說一說，然后在四人小組內交流。

生1：我們把它看成較大數，用學校到大生家的長度（路程）加上大生家到小玲家的長度（路程）。

師：那該怎樣計算呢？

生1：700-400=300（米），300+500=800（米）。

師：你剛才說把它看成較大數，用加法，為什么列式的時候先減呢？

生1：因為題中沒有告訴我們學校到大生家的路程。

師：你能上來指著圖，解釋給大家聽嗎？

生1（隨手拿過旁邊的黑板貼，把“500米”遮住，如下圖）：和小軍家到大生家的路程相比，學校到大生家的長度是較小數，先用700-400=300（米）。

師：然后呢？

生1（把黑板貼移到左邊，如下圖）：再求較大數，即300+500=800（米）。

師：他的想法對嗎？（學生點頭認同）有不同的想法嗎？

生2：我把小玲家離學校的長度看成較小數，用小軍家到小玲家的長度-小軍家到學校的長度，列式式為700+500-400。

師：他的說法對嗎？（生無異議）剛才兩位同學的解答方法雖然不同，但都是在理解題目意思的基礎上，結合線段圖提煉出了正確的數量關系，并且找準其中的對應數據。（板書：一找數量關系；二要找準數據）在求小玲家離學校的路程時，有同學列出了以下的算式，你能找出其中的錯誤嗎？

①700-400 ②700+500 ③500+400

④700+400+500 ⑤400+700+500-400

……

2.鞏固練習

（1）如下圖，張麗家到劉陽家有285米，到學校有485米。李乙家到學校有360米，到劉陽家有多少米？到張麗家呢？（課本P82第6題）

（2）一趟從上海開往南京的列車共有610個座位，其中一等座51個，其余的是二等座。列車出發時有498位乘客坐二等座，二等座還有多少個空座位？（課本P83第11題）

鴨蛋和雞蛋一共有多少個？（課本P67第18題）

（4）白云小學六年級訂《科學畫報》205份，五年級比六年級少訂67份，四年級比五年級少訂39份。四年級訂了多少份？（課本P79第5題）

……

反思：

幾何直觀對于學生數學學習的幫助是顯而易見的，然而“是否真正理解了幾何直觀的數學意義”“是否能從解決問題的需要出發找到合適的直觀模型”等一系列問題，是學生解決問題過程中經常遇到的障礙。在日常教學中，特別是低年級的數學教學，不少教師認為該學段學生遇到的問題大多是生活化、圖形化的直觀題，沒有必要進行畫圖的操作，因為這樣既費力費時，效率又不高。然而，以上復習課教學設計的緣由和經歷卻讓我深有感觸。

1.簡單中的不簡單

期末復習中讓學生練習前，我簡單地認為題目中已經畫出了線段圖，并填上了部分數學信息，數據也比較簡單，學生只要找到所求問題對應的線段，就能正確、快速地解決問題了。而且，這道題在之前新課學習中已經練習過，絕大部分學生應該熟悉這道題的思考過程。然而，學生將近一半的錯誤率還是讓我倒吸了一口冷氣。在調查錯誤原因和靜心分析后，我深深地認識到這道題不簡單。加減法相關的實際問題在一、二年級每個學期都有練習，只是數的大小不同而已。學生對于加、減法意義的認識或源于對題目中關鍵詞的理解，或借助對一個個圖像組成的模型的觀察，有時還通過手勢的分與合來表示減和加。而以線段圖形式出現的兩地之間的距離問題顯然不太容易激發學生對已有模型產生聯想，他們不清楚如何用已理解掌握的數學模型去解釋圖中所呈現的數量關系。因此，幫助學生建立基于線段圖的求和模型，理解圖中所呈現的數量關系，也就成了本節課教學的主要任務。在教學開始階段，我通過比較讓學生明白在數量比較多時畫線段圖表示比較簡單，既使他們感悟到線段圖直觀的獨特價值，又在潛移默化中引導學生將單個圖形組成的求和模型進一步抽象為線段圖形式的求和模型，使學生的數學思考能力得到了發展。

2.不簡單中的簡單

“模型思想作為一種思想，要真正使學生有所感悟，需要經歷一個長期的過程。”為了完成這個不簡單的任務，教師要堅持做好一件“簡單”的事，那就是以嚴謹、務實的態度關注每天的教學反饋，不斷反思、改進自己的教學行為，將模型思想的滲透進行到底。本課教學中，在調查分析學生產生錯誤的原因后，我以線段圖式求和模型的建立、理解、運用為主線，結合具體的數學問題解決引導學生展開思考。在運用模型解決問題的過程中，學生為了說清自己所提煉的數學模型，竟然想到了用黑板貼遮住無關的數學信息，形象且巧妙地將較復雜的數量關系轉化為已經認識與理解的求和模型。這里蘊含的轉化思想，不僅讓我感嘆于學生解決問題的靈活性，而且讓我驚訝于學生在思考過程中所呈現的創造力。

數學思想的建立和運用看似抽象，卻真實地存在于我們的課堂上，滲透于問題解決的過程之中。作為數學教師，要善于因人而異、因時制宜、因材施教，引導學生在問題解決過程中逐步積累經驗，掌握建模方法，形成運用模型進行思維的習慣，從而提高學生的數學素養。

（責編 杜 華）