在探索規律過程中感悟數學思想

高燕

[摘 要]“找規律”是一個讓學生探究事物之間的內在聯系或變化趨勢的過程。數學思想是數學學習目標之一，因此應特別關注學生在探索規律過程中對數學思想的感悟，在教學中增加數學思維的滲透。

[關鍵詞]探索 規律 感悟 思想

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）02-056

數學課程標準修訂稿把“四基”：基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗作為目標體系。數學基本思想是數學學習目標之一，其重要性不言而喻。“找規律”是一個讓學生探究事物之間的內在聯系或變化趨勢的過程。隨著新課程研究的深入，人們越來越深刻地認識到這一內容所蘊含的豐富內涵和教育價值。但在實際教學中，普遍存在著“重規律的獲得，輕過程的尋找；重規律的運用，輕思想的探尋”。“找規律”不僅要關注學生是否能理解并嘗試運用規律，還應特別關注學生在探索規律過程中對數學思想的感悟。筆者結合蘇教版五年級下冊“簡單圖形覆蓋現象的規律”的教學實踐，談談對小學生數學思想的滲透。

一、有效親歷發現的過程，感悟數學思想

數學思想方法是一種基于數學知識又高于數學知識的隱性知識，它比數學知識更抽象。因此，需要為學生設計一些生動、有趣的數學活動，在活動中展開觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流，充分感悟數學思想方法的奇妙與作用。那么，我們在設計活動時該如何關注數學思想呢？

找規律，重在“找”，找就得讓學生親歷“找”的過程。教師應幫助學生在找規律的過程中學會探究規律的方法，積累數學活動經驗，感悟數學思想方法，才能充分彰顯找規律的教育價值。為此，在教學“找規律”的新授環節，我著重引導學生進行三次探索：

第一次探索：了解平移，感知規律

找出圖形覆蓋現象中的規律，難點是根據平移的次數，推算出被圖形覆蓋的總次數。在引導學生尋找“張數”與“拿法”關系時，我將電影票用數進行編號，通過“符號化”，抽象成框數字問題，將一個現實問題轉化成數學問題，為滲透數學建模思想做準備。“頭腦不是一個等待填滿的容器，而是一支等待燃燒的火把。”在探究規律過程中，教師要注意充分調動學生的生活經驗，引導學生用多種方法尋找規律，鼓勵學習方式多樣化，使學生的主體地位得到真正的回歸與確立。比如，在尋找“從10張電影票中拿兩張連號票，共有多少種不同的拿法”時，有的學生用連線，有的用圈數，有的用一一列舉，有的用框數字的方法。魅力源自生活提煉，教師鼓勵學生用自己的生活經驗表達對規律的理解，讓學生充分親歷規律的發現過程，體會有序思考的價值。學生在操作的基礎上清楚地了解了“平移”的方法，為后面的探究過程掃除了認知障礙，并初步感知“平移的次數”和“一共有幾種拿法”之間的關系。

第二次探索：猜想驗證，發現規律

首先，注重體驗感悟，逐步抽象。“每次拿3張連號的票，會有多少種不同的拿法”是學生在本節課中的第二次操作，至此學生已隱隱感覺到有一種內在規律，但還處于“口欲言而不能達”的不確定狀態。教師結合課件形象化的動態演示，引導學生觀察前面兩次操作得到的拿法和平移的次數、每次拿票張數之間的變化關系。接著順勢提出“如果每次拿4張或5張連號的票，能分別得到多少種不同的拿法”后，并沒有讓學生進行操作，而是讓學生先猜想，順應學生的學習狀態，符合學生的認知規律，再通過演示平移驗證發現的規律。接著教師引導學生在有序思考的基礎上觀察表格，用數學語言表達發現的規律，再逐級抽象成數學符號，即用“算式計算”，能用數學語言表達算式內涵，初步感知數學模型思想。其次，利用數形結合，發展思維。著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少自覺，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔斷分家萬事難。”數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。“算法”的抽象，應建立在形象的模型的基礎之上。如：在用課件驗證學生的猜想后，教師引導學生回顧用框平移的過程，再觀察表格中的數據，此時學生的形象思維與抽象思維齊頭并進，有助于學生用更準確的數學語言表達發現的規律。相信如果沒有形象的支撐，學生的理解也許最終會演變為套模式解題。

第三次探索：歸納類推，完善認知

在學生用數學語言總結出發現的規律后，我設計了如下的教學環節：

（一）試一試

1.如果將電影券的總張數由10張增加到15張，你能用剛才發現的規律直接說說每次拿兩張連號券，一共有多少種拿法嗎？

2.如果每次拿3張或4張呢？

（二）練一練

1.下面是小紅設計的一條花邊，每次給相鄰兩個方格蓋上紅色透明紙，一共有多少種不同的蓋法？

2.這道題和剛才的題目有區別嗎？

3.書上也有一條紅色的花邊，試著獨立解答。

4.如果給緊連的3個方格蓋上紅色透明紙，一共有多少種不同的蓋法？每次蓋上5個方格呢？

（三）完善認知，深化思維

1.如果方格不是13個，而是n個，每次給相鄰的兩個方格蓋上紅色透明紙后，一共有多少種不同的蓋法？用字母列式表示。

2.如果一共有n個方格，每次給相鄰的a個方格蓋上紅色透明紙，一共有多少種不同的蓋法？你會用字母列式表示嗎？

3.揭示課題：簡單圖形覆蓋的規律。（板書：圖形覆蓋）

【思考】著名數學教育家弗蘭登塔爾曾說：“任何熔巖將凝固，任何思辨的新生事物都在其自身中包含著算法的萌芽，這是數學的特點……算法化意味著鞏固，意味著由一個平臺向更高點的跳躍。”經過前面兩次探索，學生對規律有了感性的了解，初步感知“算法化”。在進行第三次探索過程中，教師很快把學生的目光由10個數引向15、13個數，學生的思維也不斷被引向深入。從用“框數字”平移的方法找規律，到將規律“算法化”，再到用“字母式子“概括規律，學生初步體會建立數學模型的過程，即從具體到抽象，從特殊到一般，逐步揭示數量之間的內在聯系，并用數學化的形式表示規律，從而把思維和推理提高到一個更高的層次。

二、在實踐反思、靈活應用中提煉數學思想

數學思想方法的獲得，一是來自于教師有意識的滲透和訓練，二是靠學生自身反思過程中的領悟。在數學教學中，教師應該關注問題解決的一般過程，培養學生應用數學思想方法解決問題的策略，更應該在解決問題以后有意識地“引導學生表述解決問題的思路”“重視引導學生交流與反思”，逐步形成反思的習慣，“促進學生將解決問題的方法策略內化為個人的數學素養”。只有這樣，才能對數學思想方法有所認識，由此對數學的理解一定會由量的積累發展到質的飛躍。

比如在揭示出圖形覆蓋的規律后，我讓學生回過頭來用發現的規律解決課一開始提出的問題：“從100張連號票中，每次拿兩張連號票，有多少種不同的拿法？”在驗證學生的猜測之后，組織學生反思解決問題的思維過程，并以圖文結合的方法清晰地展現出來：明確問題——猜測——探究規律——建立模型——驗證——解決問題。緊接著我又拋出一個問題：“同學們，回顧我們解決問題的過程，我們還從中學到了什么？”沉默一會，有學生領會了，說：“我主要學會了研究問題的方法。”我點點頭說：“是呀，究竟一共有多少種拿法并不重要，重要的是我們共同經歷了研究問題的過程，對于復雜的圖形覆蓋的規律問題，我們可以通過猜測，采用化繁為簡的方法將其轉化成比較簡單的問題，再通過探究，發現規律，解決問題，驗證我們的猜測，這是解決科學問題的一個重要方法。”有了這樣的反思，將圖形覆蓋問題中蘊含的數學方法和策略直觀呈現，強化了學生的認知，拓展解決問題的策略和方法，形成策略意識。

在讓學生感受了圖形覆蓋問題的解決策略后，我設計了一系列座位的變式問題：

（1）同學們，我們學校的禮堂一排有13個座位。要讓唐明雨和茆雪她倆坐在一起，并且唐明雨在茆雪的右邊，在同一排有多少種不同的坐法？

（2）高老師坐在她倆的中間，有多少種不同的坐法？

（3）還是讓她倆坐在一塊，去掉一個條件“唐明雨在茆雪的右邊”，其他條件不變，有多少種不同的坐法？為什么？

（4）當唐明雨和茆雪來到禮堂時，這一排已經坐了另一名同學。（課件演示）如果1號座位已經有人坐了，唐明雨還是在茆雪的右邊，一共有多少種不同的坐法？

（5）如果這一排6號位置已經有人坐了，唐明雨還是在茆雪的右邊，一共有多少種不同的坐法？

教師引導學生不斷進行變式訓練，進一步運用“化歸思想”遷移解決類似圖形覆蓋問題，在解決問題的過程中進一步體會數學模型的價值，增強學生的建模意識和應用規律的能力。

“數學思想方法是自然而平和的，我們不能把活生生的數學思考變成一堆符號讓學生去死記，以至讓美麗的數學淹沒在形式化的海洋里。”（張奠宙）從數學思想方法的特點和形成過程來說，對學生數學思想方法的滲透不是立竿見影的，而是一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深的過程。要真正發揮數學教材滲透數學思想方法的作用，需要數學教師進一步更新觀念，加強學習，促進自身數學素養的不斷提升；深入研讀教材，提高思想方法滲透的自覺性，把握滲透的可行性，注重滲透的反復性，讓學生的數學思維能力得到切實、有效的發展，進而“通過數學學習幫助學生學會數學思維”。

（責編 羅 艷）