在“圓錐的體積”教學中滲透數學模型思想

王紅珍

[摘 要]數學模型思想是數學教學必須滲透的思想方法之一。以“圓錐的體積”教學為例，讓學生經歷“猜想—驗證—應用”的知識過程，培養學生自主獲取知識的能力。

[關鍵詞]模型思想 圓錐的體積 數學模型

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）02-92

數學課程標準指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型可以提高學習數學的興趣和應用意識。”由此可見，模型思想是數學教學必須滲透的思想方法之一。因此，在教學時，我們要善于引導學生自主探究、合作交流，力求構建數學模型。下面就以“圓錐的體積”為例，談談如何滲透數學模型思想，建構數學模型。

[片段一]創設情境，初步感知數學模型

師（課件出示）：小麥豐收了！看，小麥堆得像小山一樣（麥堆近似于圓錐），小虎和爺爺笑得合不攏嘴。這時，爺爺用竹子量了量麥堆的高和底面直徑，給小虎出了一個難題——你能算出這堆小麥大約有多少立方米嗎？這下難住了小虎。今天，我們來研究圓錐的體積。（板書課題：圓錐的體積）圓錐的體積可能與哪種立體圖形的體積有關？

生1：可能與圓柱的體積有關。

生2：因為它們都是旋轉體。

師：請同學們回憶一下，在學習圓柱的體積推導過程中，應用了哪些數學思想方法？

生3：轉化的數學思想方法。

師：你說的很準確！仔細觀察，看看又能發現什么？

生4：圓錐的底面和圓柱的底面完全重合。

生5：它們的高相等。

師：也就是說，它們是一組等底等高的圓柱和圓錐。猜想一下，它們的體積會有什么關系？

生6：圓柱的體積可能是圓錐的2倍。

生7：圓柱的體積可能是圓錐的3倍或4倍。

集生活味、數學味、趣味性與挑戰性為一體而創設的情境，以學生已有認知為起點，通過猜想圓柱與圓錐的體積關系，激發學生學習動機的同時直奔主題。

[片段二]參與探究，自動建構數學模型

師：各小組根據老師提供的實驗器材，開展實驗，填寫實驗報告單，驗證猜想。

生1：圓柱和圓錐等底不等高，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才裝滿。

生2：圓柱和圓錐等高不等底，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了兩次，又倒了一些，才裝滿。

生3：圓柱和圓錐等底等高，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了三次，正好裝滿。

生4：圓柱和圓錐不等底不等高，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了四次多一些……

師：想一想，在什么情況下，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了三次，正好裝滿？

生5：只有在等底等高的情況下，圓錐容器裝滿水往圓柱容器里倒，倒了三次，正好裝滿。

本環節充分發揮了學生的主體作用，讓學生自己做、自己想。為了克服實驗誤差對圓錐體積計算公式的推導造成的影響，教師及時進行課件演示，通過比較、分析、推導出圓錐體積的計算公式，讓學生初步學會運用實驗的方法探索新知識。

[片段三]解決問題，拓展應用數學模型

1.基礎練習：一個圓錐的底面積是19平方厘米，高是12厘米。它的體積是多少？

2.綜合練習：麥堆的高為1.2米和底面直徑為4米，求麥堆的體積。如果每立方米小麥大約重735千克，這堆小麥大約有多少千克？（得數保留整千克數）

3.拓展練習：有一根底面直徑是6厘米，長是15厘米的圓柱形鋼材，要把削成與它等底等高的圓錐形零件，要削去鋼材多少立方厘米？

基礎練習是圓錐體積公式的直接應用；綜合練習和拓展練習不僅是公式的靈活應用，還讓學生經歷生活問題數學化的過程，體驗學習數學的價值。練習設計突出了實效性、層次性和生活性，力求落實“下要包底，上不封頂”的教學理念。

[教后反思]

本節課學生經歷了“猜想——驗證——應用”的知識建構過程，滲透了數學模型思想，建構了數學模型。

1.猜想驗證——培養自主獲取知識的能力

課程標準指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”因此，在教學時，要利用學生已有的知識基礎和學習經驗，讓學生自己猜想、自己驗證、自己總結，自主解決問題，培養學生自主獲取知識的能力。

2.親身經歷——關注知識的形成過程

課程標準指出：“學習數學知識應從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程。”本節課，引導學生通過實驗，自主發現圓錐體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一，導出公式：V= ■Sh。這樣，既發展了學生的空間觀念，又培養了學生獨立思考和合作交流的能力，讓學生享受成功的喜悅。

總之，通過不斷地猜測、驗證、修訂實驗方案，再猜測、再驗證這樣的過程，逐步過渡到復雜的、更一般的情景，學生在主動探索的過程中，進行了再創造學習，以抽象概括方式自主總結出圓錐體積計算公式。

（責編 金 鈴）