非線性薛定諤格點方程的指數吸引子*

周盛凡, 譚慧榮

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

?

非線性薛定諤格點方程的指數吸引子*

周盛凡, 譚慧榮

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

主要考慮了非線性薛定諤格點方程的解半群在無窮序列空間l2中指數吸引子存在性的問題.在該格點動力系統的相關結果下,進一步證明了該格點動力系統的解半群是Lipschitz連續的;最后,對該系統的解進行了尾估計,從而滿足了指數吸引子存在的充分條件,由此證明了該格點動力系統存在指數吸引子,并且由此得到該系統指數吸引子分形維數的上界.

格點系統;薛定諤方程;解半群;指數吸引子

0 引 言

本文考慮如下非線性薛定諤格點方程的初值問題:

式(1)中:un,gn∈C;λn∈R;u=(un)n∈Z;i表示虛數單位;A為耦合算子.實參數λn>0表示弱阻尼,gn表示外力.

系統(1)有時可看作是下面帶初值的連續非線性薛定諤方程

關于空間變量x的有限差分形式的模擬.關于非線性薛定諤方程(2)已有很多結果[1-2].

對于非線性薛定諤格點方程(1),Karachalios等[3]已證明它的全局吸引子的存在性;文獻[4]證明了系統(1)帶時滯項時全局吸引子的存在性.然而,全局吸引子吸引軌道的速度可能很慢且其維數可能也是無限的,這對實際應用和數值模擬帶來很多困難.為此,Eden等[5]提出了指數吸引子的概念.指數吸引子是一個正不變的具有有限分形維數且指數吸引軌道的緊集,是研究動力系統漸近行為的有效工具.近年來,文獻[6-9]分別研究了一階到二階、加權空間、Boussinesq格點系統的指數吸引子的存在性.到目前為止,關于非線性薛定諤格點方程(1)的指數吸引子存在性的研究尚未見報道,本文將結合文獻[9]給出的指數吸引子存在的判據來證明系統(1)存在指數吸引子.

1 預備知識

則(l2,(·,·))是一個可分的Hilbert空間.

系統(1)可以寫成如下等價的向量形式：

式(3)中:Au=((Au)n)n∈Z;|u|2u=(|un|2un)n∈Z;g=(gn)n∈Z.

對A,λn,gn,n∈Z作如下假設：

(H1)A:l2→l2是一個自伴有界線性算子且存在有界線性算子B:l2→l2：

使得A=BB*=B*B,其中τ是正整數,b0為大于零的常數,B*是B的伴隨算子.

(H3)g=(gn)n∈Z∈l2.

根據文獻[3]的引理2.1、引理5.1、引理5.2和定理2.1、定理3.1、定理5.1,得到

引理1假設(H1)～(H3)成立,則

1)對任意的初值u(0)∈l2,系統(3)存在唯一的解u(t)∈C([0,∞),l2)∩C1((0,∞),l2),映射簇

S(t):u(0)=u0∈l2→u(t)=S(t)u(0)∈l2,t≥0

生成l2上的一個連續算子半群{S(t)}t≥0.

式(4)中,M(η)是使得

成立的最小正整數,而C1是與M(η)無關的常數.

4)半群{S(t)}t≥0在l2中存在全局吸引子A?B0?l2.

S(t)B?B?B0, ?

定義l2上的2N+1維正交投映算子PN:?θ=(θn)n∈Z∈l2,有

根據文獻[9]的定理2,可得如下的指數吸引子存在的判據:

引理2若存在t*>0,常數L=L(t*)>0和l2上的一個2N+1維投映算子PN,使得對?u,v∈B,有

則

2 指數吸引子

本節將用引理2證明系統(3)的解確定的算子半群{S(t)}t≥0在B中存在指數吸引子.

設u0,v0∈B,令

則

由式(6)得u(t),v(t)∈B?B0,‖u(t)‖≤r0,?t≥0,從而存在常數L0=L0(r0)≥0,使得

‖|u(t)|2u(t)-|v(t)|2v(t)‖≤L0‖u(t)-v(t)‖, ?t≥0.

引理3假設(H1)～(H3)成立,則對?u0,v0∈B,有

1)?t≥0,S(t):B→B是Lipschitz連續的,即

2)存在T*>0和自然數M*,使得

證明 1)用iy和式(10)作內積并取實部,得

易得

結合式(13)～式(15),得

在[0,t]上積分,得

2)令φ∈C1(R+,R)是一個光滑的遞增函數,滿足

式(19)中:

令

把式(29)代入式(28),得

引理3證畢.

根據引理2和引理3,得到本文的主要結果:

定理1假設(H1)～(H3)成立,則{S(t)}t≥0在B中存在指數吸引子A*?B,具有如下性質:

1)A*是緊的;

2)A?A*?B;

3)存在2個正常數k1和k2,使得對每個u∈B,t>0,有dist(S(t)u,A*)≤k1e-k2t;

3 結 語

本文主要證明了非線性薛定諤格點方程的解半群在無窮序列空間l2中存在指數吸引子及由此得到該格點系統的指數吸引子分形維數的上界,這些結果可以給非線性薛定諤方程的實際應用和數值模擬帶來新的途徑.

[1]Goubet O.Regularity of the attractor for a weakly damped nonlinear Schr?dinger equation[J].Appl Math Lett,1996,60(1/2):99-119.

[2]Goubet O,Molinet L.Global attractor for weakly damped nonlinear Schr?dinger equations inL2(R)[J].Nonlinear Anal:Theory,Methods & Applications,2009,71(1):317-320.

[3]Karachalios N I,Yannacopoulos A N.Global existence and compact attractors for the discrete nonlinear Schr?dinger equation[J].J Differential Equations,2005,217(1):88-123.

[4]Chen Tao,Zhou Shengfan.Attractors for discrete nonlinear Schr?dinger equation with delay[J].Acta Math Appl Sinica:English Ser,2010,26(4):633-642.

[5]Eden A,Foias C,Nicolaenko B.Exponential attractors for dissipative evolution equations[J].Internat J Numer Methods Engrg,1995,38(1):881.

[6]Abdallah A Y.Exponential attractors for first-order lattice dynamical systems[J].J Math Anal Appl,2008,339(1):217-224.

[7]Abdallah A Y.Exponential attractors for second order lattice dynamical systems[J].Commun Pure Appl Anal,2009,8(1):803-813.

[8]Han Xiaoying.Exponential attractors for lattice dynamical systems in weighted spaces[J].Discrete Contin Dyn Syst Ser A,2011,31(2):445-467.

[9]Zhao Min,Zhou Shengfan.Exponential attractor for lattice system of nonlinear Boussinesq equation[J].Discrete Dyn Nat Soc,2013,2013(1):1-6.

(責任編輯 陶立方)

ExponentialattractorfornonlinearSchr?dingerlatticeequation

ZHOU Shengfan, TAN Huirong

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was mainly focused on the problem of the existence of an exponential attractor of the solution semigroup for the nonlinear Schr?dinger lattice equation in the infinite sequence space l2. In the case of the existence and uniqueness of the solution for the lattice dynamical system under certain conditions and the existence of a global attractor of the solution semigroup, it was proved that the solution semigroup was Lipschitz continuous, the tail of the solution was also estimated, which satisfied the sufficient conditions of an exponential attractor, thus proved its existence, the upper bound of its fractal dimension was also given.

lattice system; Schr?dinger equation; solution semigroup; exponential attractor

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.001

2015-04-20；

：2015-05-27

國家自然科學基金資助項目(11471290)

周盛凡(1963-),男,壯族，廣西融安人,教授,博導.研究方向:動力系統與微分方程.

O175.25

：A

：1001-5051(2015)04-0361-05