思題所解敘己所思
——2015年高考數學全國新課標Ⅱ理科第20題的拓展研究

☉黑龍江省牡丹江市第八中學 孔德泉

思題所解敘己所思
——2015年高考數學全國新課標Ⅱ理科第20題的拓展研究

☉黑龍江省牡丹江市第八中學 孔德泉

2015年全國高考剛剛落下帷幕，各省市高考試題凝聚了命題專家的集體智慧，具有權威性、示范性、借鑒性，研究高考試題對于數學教學大有裨益.筆者對一道解析幾何題進行深入挖掘，在此與讀者分享.

一、高考真題，情境再現

題目（2015年高考數學全國新課標Ⅱ理科第20題）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m＞0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，直線l與C有兩個交點A、B，線段AB的中點為M.

（Ⅰ）證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值；

二、解法研究思路優化

（Ⅰ）解法一：參考標準答案（略）.

解法二：（點差法）設A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓C方程得兩式相減，得9（x1-x2）（x1+x2） +（y1-y2）（y1+y2）=0，因為直線l與坐標軸不平行，所以9+，得kl·kOM=-9.

（Ⅱ）解法一：參考標準答案（略）.

從標準答案給出的做法來看，經歷兩次直線與橢圓聯立，如何避免大量計算，不妨采取②③①或者①③②步驟順序求解，即先表示出點P坐標，代入橢圓C方程減少一次直線與曲線聯立，進而驗證點P是否存在來判斷四邊形OAPB能否為平行四邊形，調整后得解法二.

解法二：設直線l代入9x2+y2= m2（m＞0），得

評注：解法二用到的條件有：點P在橢圓C上；點M在直線l上，且滿足xP=2xM，kl·kOM=-9；若從點M入手，且運用kl·kOM=-9，大大減少了計算量，由此可得解法三.

解法三：設M（x0，y0），由（Ⅰ）知①，若四邊形OAPB為平行四邊形，由點P（2x0，2y0）在橢圓上得②，由①②得m=4y0+12x0，再代入②化簡得所以

評注：對于解法三，根據點P在橢圓上并代入方程的啟發，直接從點P入手，運用橢圓的參數方程，設點P坐標，由此得解法四.

解法四：設橢圓上點P的坐標為的中點M的坐標為四邊形OAPB為平行四邊形，結合第（Ⅰ）問知化簡得平方得sin2θ+cos2θ+即整理得即所以

三、演繹推理，結論生成

結論1：已知橢圓過點（b，a）或（-b，-a）的直線l，不過原點O且不平行于坐標軸，若直線l與橢圓C有兩個交點A、B，線段AB的中點為M，延長線段OM與橢圓C交于點P，四邊形OAPB為平行四邊形，則直線l的斜率

解析：設橢圓上點P的坐標為（bcosθ，asinθ），OP的中點M的坐標為四邊形OAPB為平行四邊形，結合第（Ⅰ）問知a，b約分后，同樣得（這樣的做法易于發現本質），而

結論2：已知橢圓或（b，-a）的直線l，不過原點O且不平行于坐標軸，若直線l與橢圓C有兩個交點A、B，線段AB的中點為M，延長線段OM與橢圓C交于點P，四邊形OAPB為平行四邊形，則直線l的斜率

直線l過點（b，a）；（-b，-a）；（-b，a）；（b，-a），仍具有一定的特殊性，替換成平面內任意一點（m，n），四邊形OAPB還能為平行四邊形嗎？對點（m，n）有什么限定，則直線l的斜率kAB可否表示？再次引發我們的思考，筆者悉心研究發現：

解析：得2a2bmcosθ+ 2ab2sinθ=a2b2，即平方得（*）式有解，（4a2m2-a2b2）cos2θ+（4b2n2-a2b2）sin2θ+ 8abmncosθsinθ=0，除以sin2θ，得（4a2m2-a2b2）（與上面推理結論相同），代入求根公式得：所以

四、拓展變式，命題加強

結論4：已知橢圓過橢圓D：上任意一點M（x0，y0）的切線l與C有兩個交點A、B，線段AB的中點為M，延長線段OM與橢圓C交于點P，則四邊形OAPB為平行四邊形.

結論5：過橢圓外的任意一點（m，n）的直線l（不過原點）與橢圓交于A、B兩點，線段AB的中點為M，延長線段OM與橢圓C交于點P，有且只有兩條過（m，n）的直線l使四邊形OAPB為平行四邊形.

結論6：已知橢圓直線l（不過原點）與C有兩個交點A、B，線段AB的中點為M，延長線段OM與橢圓C交于點P，若四邊形OAPB為平行四邊形，則直線l為的切線.

結論7：已知橢圓，直線l（不過原點）與C有兩個交點A、B，線段AB的中點為M，延長線段OM與橢圓C交于點P，若四邊形OAPB為平行四邊形，當直線l變化時，點M的軌跡方程為

四邊形OAPB由平行四邊形變式為菱形、正方形，若題目中的條件不發生改變，又會有以下結論：

結論8：直線l（不過原點）與橢圓0）交于A、B兩點，線段AB的中點為M，延長OM與橢圓C交于點P，若四邊形OAPB為菱形，則直線l的方程為x=中點的頂點.

結論9：直線l（不過原點）與橢圓0）交于A、B兩點，線段AB的中點為M，延長OM與橢圓C交于點P，若四邊形OAPB為正方形，直線l的方程為y=的長軸端點，且橢圓C的離心率為

五、求知若渴，學無止境

文中研究的均是焦點在y軸上的橢圓，將以上研究結論中的a、b互換即可得到焦點在x軸上橢圓的相關結論.解析幾何作為高中數學不可或缺的一部分，是高考考查中的重頭戲，而雙曲線、拋物線也是圓錐曲線中的重要成員，雙曲線、拋物線中的相關結論期待大家的研究.波利亞有一句膾炙人口的名言：“掌握數學就是意味著善于解題.”只要我們不斷地進行研究創新，數學結論將演繹得更加絢麗多姿，數學習題之花將遍野開放.