巧用圓的參數(shù)方程解題

☉湖南省隆回縣第二中學(xué) 彭利波

巧用圓的參數(shù)方程解題

☉湖南省隆回縣第二中學(xué) 彭利波

高中數(shù)學(xué)重視數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程.圓的參數(shù)方程這一內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)作為選修部分出現(xiàn)，在高考中的直接分量不多，故在平時(shí)教學(xué)中要求較低.但在高三復(fù)習(xí)“解決與圓相關(guān)的某些問(wèn)題”時(shí)，若巧用圓的參數(shù)方程，常能化繁為簡(jiǎn)，化難為易，收到事半功倍的效果.下面舉例說(shuō)明.

一、求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

例1若實(shí)數(shù)x，y滿足（x-2）2+y2=3.求：

（2）y-x的最小值；

（3）（x-4）2+（y-3）2的最大值和最小值.

（3）（x-4）2+（y-3）2=由|sin（α+φ）|≤1，得（x-4）2+（y-3）2的最大值為，最小值為

二、判斷直線與圓的位置關(guān)系

例2已知圓的方程為x2+y2=2，直線y=x+b，當(dāng)b為何值時(shí).

（1）直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn).

三、計(jì)算圓上的點(diǎn)到直線的距離取最值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)

例3已知圓C：（x+1）2+（y+2）2=4，直線l：4x+3y-12= 0.求圓上點(diǎn)P到直線l距離最大時(shí)的坐標(biāo).

解析：令P的坐標(biāo)為（-1+2cosα，-2+2sinα），α∈［0，2π）.

當(dāng)直線PC與直線l垂直時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離取得最值，由題意有kPC·kl=-1，即得解得

四、用于確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)

例4求圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解析：圓x2+y2+2x+4y-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y+2）2=8，令圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為則點(diǎn)P到直線x+y+1=0的距離即時(shí)，在唯一解；當(dāng)［0，2π）上有兩個(gè)解.

綜上可知，滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè).

五、求參數(shù)的取值范圍

例5已知圓x2+（y-1）2=1上任一點(diǎn)P（x，y），不等式x+y+m≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：令x=cosα，y=1+sinα，α∈［0，2π）.由不等式x+ y+m≥0恒成立，所以cosα+1+sinα+m≥0恒成立，即m≥ -（cosα+1+sinα）恒成立.令μ=-（cosα+1+sinα）恒成立，且μ存在最大值，則有m≥μmax，即

六、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程

例6在圓x2+y2=4上任取一個(gè)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？

解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosα，2sinα），α∈［0，2π），則x=2cosα，y=sinα，α∈［0，2π）.由 cos2α+sin2α=1，得所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.