問題引領讓概念生成更靈動
——“用二分法求方程的近似解”課堂實錄及反思

☉江蘇省錫東高級中學 葉琳

問題引領讓概念生成更靈動
——“用二分法求方程的近似解”課堂實錄及反思

☉江蘇省錫東高級中學 葉琳

概念是對事物的本質認識，是邏輯思維最基本的形式.數學概念是數學教學的核心，學生對概念的理解水平關乎著數學學習的理解，很多學生畏懼數學緣于對數學概念的不理解.實際教學過程中，教師往往側重于概念的應用性，而忽視概念的整體性和本質教學.建構主義認為，概念教學不在于概念的本身，而是在于概念的建構過程和學生的思維創造.本文以“用二分法求方程的近似解”一節課對概念的生成教學談談自己膚淺的認識，以求教于同行.

一、游戲導入，創境激趣

師：大家都看過《幸運52》中猜商品價格的游戲，下面我們一起來玩玩猜數字這個游戲，如果讓你來猜這個兩位數，你如何猜？

生1：先隨便填入一個兩位數，如果大了再每次減少10.

生2：這樣太慢了，隨便填入一個兩位數，如果大了，再報一個數；如果低了，就報兩個數的和的一半；每次猜的數字應該是前面最近的大的數字和小的數字的和的一半.

師：兩個同學的方法哪個更好？

生眾：生2的好.

師：對！這個方法在我們數學上有沒有理論依據？我們有沒有學過和這個方法類似的知識？

生3：好像和我們學過的函數的零點存在性定理有點兒聯系，但是不確定.

師：我們知道，游戲中的正確數字就在一次“大了”和一次“小了”的數字之間，就像我們剛剛學過的函數和方程的內容：如果函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且f（a）f（b）<0，那么一定存在c∈（a，b），使得f（c）=0，也就是說方程f（x）=0的根一定在區間［a，b］上.這個猜數字的思想就是二分法的思想，這個方法可以給我們提供一個解方程的思路：每次把方程的根（游戲中的正確數字）所在的區間縮小一半，最后確定方程的近似解.

今天我們就用這種方法來求方程的近似解.

二、合作學習，探索新知

師：請同學們思考一下你會求哪些類型的方程的解.生（齊聲）：一次方程、二次方程.

生4：隨便舉個方程x2+3x-1=0，它的根是

師：結合前面學習的知識，一元二次方程的根可以和一元二次函數的圖像結合在一起，方程的根就是函數的圖像與x軸的交點.（用幾何畫板作出y=x2+3x-1的圖像，標注交點，用幾何圖形的形象、直觀加深學生的印象）

師：對于三次方程，我們會求它的根嗎？把剛才的方程改改，解方程x3+3x-1=0.請同學們思考能不能求出其精確值，可以同桌討論.

（學生活動幾分鐘后，表示不能解決問題）

師：我們的前輩們在求解方程的解的問題上，很早就進行了研究和探索，一元二次方程的根是由方程系數直接把根表示出來，這個公式早在公元9世紀由中亞細亞的阿爾·花拉子模給出，一元三次方程的求根公式是1545年由意大利的卡當發表在《關于代數的大法》一書中，人們就把它叫做“卡當公式”，但是公式很復雜，老師也記不住，不是我們常用的公式.要求三次方程的解是比較困難的，那么我們能否求出它的近似解呢？請同學們利用計算器來求方程x3+3x-1的一個近似解（精確到0.1），同桌之間可以兩人一組，討論研究.

（學生活動5分鐘，老師巡視）

師：請一個學生說說思路.

生5：我的想法是令f（x）=x3+3x-1，算出f（1）=3，說明方程的根比1小，再算f（0.9）=2.429，說明根比0.9小，再算f（0.8）=1.912，說明根比0.8還小，繼續做下去，我還沒有算出來.

師：大家覺得她的方法可行嗎？

（學生思考了片刻，有的回答可以，就是過程繁了點兒）

師：該同學的想法很好，一直做下去一定能解出正確答案，這個思想就是我們數學中的逐步逼近的思想，同學們在思考問題的過程中要大膽創新，勇于發表自己的看法，我們為該同學的解法鼓掌.

（學生鼓掌）

師：下面給大家一點兒時間，我們按照這個思路來解出答案，請同桌之間合作，一個負責記錄，另一個用計算器計算.

（5分鐘后）

師：同學們有答案了嗎？

生眾：0.3.

師：很好！！同學們真厲害，自己也能解出三次方程的根了，下面我們就來小結一下，剛才這位同學這種解法的原理是什么？思想方法是什么？我們還請她起來說好嗎？

生5：我是利用等價轉化的思想，想把方程的根問題轉化為函數的零點問題，通過計算器逐步縮小根，再利用零點存在性定理確定根.

師：回答的很好，思維很縝密，以后好好努力，肯定能有大的收獲！下面我們一起來小結這種方法的原理和知識點.

師：如何求方程的近似解？

①方程f（x）=0有實根?函數y=f（x）的圖像與x軸有交點?函數y=f（x）有零點.

②零點存在定理：如果函數y＝f（x）在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么函數y＝f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）＝0的根.

師：同學們在剛才處理這個問題的過程中，有沒有發現什么問題？或者說有沒有什么疑惑？

（學生沉默片刻）

師：剛才她為什么要先算f（1）？為什么開始不是取f（2）或者f（3）？

生6：開始時取f（2）、f（3）或者隨便取哪一個值都是一樣的，在后面的計算過程中還是要縮小范圍的.

師：對！以后我們碰到類似的問題時，初始值怎么取呢？有一般的方法嗎？請同學們思考：零點的初始區間如何確定？

生5：畫出函數的圖像來確定.（該學生在受到師生的表揚和鼓勵后，思維很活躍）

師：很好，真的太棒了.老師用幾何畫板畫出圖像，大家一起看一下.（幾何畫板演示函數的圖像）從圖像上看一目了然，函數的零點在哪個區間？

學生異口同聲：在（0，1）內.

師：老師打個很形象的比喻，這個初始區間就像是公安人員破案時要先確定嫌疑人范圍，不能漫無目的地去找，圖像就能幫助我們很直觀地解決問題，但是圖像不是萬能的，不是所有的函數都能畫出圖像的，我們能否不畫圖確定根所在的區間呢？

生5：像我剛才那樣去取值代入，用零點存在性定理確定區間.

師：很好，零點存在性定理能夠很好地幫我們確定初始區間，這樣我們可以通過圖像或者試值來確定初始區間.

師：同學們都能積極地思考，下面我們來討論剛才的方程x3+3x-1=0的近似解的問題，題目要求精確到0.1，生5是從1開始試值再每次減少0.1，可以通過數次運算得到答案，這很好，但是如果我把問題變成：精確到0.01呢？同學們看看剛才生5的逐步減少的方法還能奏效嗎？

生7（苦笑）：可以的，就是太煩了，不知道要減少到什么時候才是盡頭.

師：我們來想想辦法，如何進一步有效縮小根所在的區間？

生8：可以的，就像開始猜數字一樣，用“對半猜”的思想，每次縮小一半，可以省力.

師（笑）：不是“對半猜”的思想，是二分法的思想，他說的很好，我們可以利用二分法的思想，以及零點存在性定理，每次將區間縮小一半，這樣過程就簡化了，老師來演示給大家看.（運用幾何畫板演示）

第一次，f（0）<0，f（1）>0，f（0.5）>0?x∈（0，0.5）；

第二次，f（0）<0，f（0.5）>0，f（0.25）<0?x∈（0.25，0.5）；

第三次，f（0.5）>0，f（0.25）<0，f（0.375）>0?x∈（0.25，0.375）；

第四次，f（0.25）<0，f（0.375）>0，f（0.3125）<0?x∈（0.3125，0.375）；

第五次，f（0.375）>0，f（0.3125）<0，f（0.34375）>0?x∈（0.3125，0.34375）；

第六次，f（0.3125）<0，f（0.34375）>0，f（0.328125）>0?x∈（0.3125，0.328125）；

第七次，f（0.3125）<0，f（0.328125）>0，f（0.3203125）< 0?x∈（0.3203125，0.328125）；

第八次，f（0.328125）>0，f（0.3203125）<0，f（0.32421875）>0?x∈（0.3203125，0.32421875）.

師：請同學們根據以上的數據回答，該方程的解精確到0.1，我們只要縮小區間幾次就能夠達到？

生9：5次，x∈（0.3125，0.4375），x=0.3.

師：該方程的解精確到0.01，我們只要縮小區間幾次就能夠達到？

生10：8次，x∈（0.3203125，0.32421875），x=0.32.

師：很好，那么函數零點的精確度如何達到？

生11：方程的解的近似解為兩端點的近似值——即左、右兩端點的近似值相等.

三、歸納小結，反饋回授

師：下面我們來小結，將我們已有的知識進一步科學化，什么是二分法，如何描述？

對于在區間［a，b］上連續不斷，且f（a）f（b）<0的函數y=f（x），通過不斷地把函數f（x）的零點所在的區間一分為二，使區間的兩端點逐步逼近零點，進而得到零點（或對應方程的根）近似解的方法叫做二分法.體現了程序化的思想即算法思想.

師：算法是必修3里的內容，像這樣“有步驟、程序化”是算法思想的重要特征，我們會在后面學習.

師：用二分法求零點近似值的步驟是什么？

（師生共同小結）

（1）利用圖像法或試值法，尋找確定近似解所在的區間.

（3）計算f（x1）.

①若f（x1）=0，則x0=x1；

②若f（a）f（x1）<0，則令b=x1（此時x0∈（a，x1）），若f（b）f（x1）<0，則令a=x1（此時x0∈（x1，b））.

（4）判斷是否達到給定的精確度，若達到，則得出近似解；若未達到，則重復步驟（2）～（4）.

師：二分法在實際生活中有著很廣泛的應用，你知道嗎？

（聯系實際，學生熱情高漲）

生12：幸運52猜商品價格.

生13：查字典.

師：很好，還有像電路檢測啊等，希望同學們能把我們學到的知識應用到實際生活中去，為社會做出自己的貢獻.

師：以上是我們本節課所學到的新的知識和方法，請同學們再總結一下，本節課還運用到了哪些數學思想方法？

師生共同小結：等價轉化的思想：方程解的問題→函數的零點問題→逼近問題→縮小區間問題→二分法.

師：最后用一段話與同學們共勉：M.克萊因說：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作.音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能扣人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可以改善物質生活，但數學卻能提供以上的一切.”這也就是數學獨特的魅力所在.

四、教學反思

《普通高中數學課程標準》要求能“根據具體函數的圖像，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法”，用二分法求方程的近似解這節課很好地利用了探究式教學方式，體現了以學生為主體的教學理念，本節課體現探究的情景性、主動性、建構性和合作性，本節課做了積極嘗試，表現出了以下特點.

1.以問題驅動為出發點，激發學生的探究欲望

“標準”中強調：學生在數學學習過程中，要為其提供豐富多彩的生活背景，讓學生充分感受，真正體現書本數學向生活數學的轉變.概念的生成應該基于感性，發展理性，遵循從具體到抽象的原則.在本節課中，老師讓學生玩猜數字游戲，一下子就把學生的注意力吸引住了，學生積極思考并進行探究試驗分析，只要利用“對半猜”的思想，每次都將所給的范圍一分為二，逐步逼近真實數字，這樣可以很快猜到.學生在猜的過程中體會二分法思想，同時教師引導學生一起提了二分法在現實生活中的各種應用.通過這樣來創設情境，從學生的感性經驗出發，通過典型的具體實例抽象概括出概念的本質屬性.這樣的設計打破了傳統課堂沉悶、枯燥的定義，豐富的情境對學生產生很強的吸引力，同時讓學生在游戲中得到了數學思想的啟示，必定能使學生對二分法的認識和理解留下深刻印象.

2.以學生學習為立足點，重視概念探究過程

在本節課中，在應用二分法探求三次方程近似解的過程中，學生經歷了作圖觀察、范圍估計、運算推斷等活動.怎樣縮小零點所在區間的范圍是本節課的一個重點內容，解決這個問題需要復雜的計算過程，復雜的計算影響了學生對這一重點內容的理解，教師采用了多媒體展示，在學生觀察的基礎上，讓學生思考精確度如何達到，二分法的次數如何確定，抽象歸納用二分法求方程近似解的一般步驟.經過這個探究活動，就會讓學生真正懂得二分法在求方程近似解中的應用，不過，教師在設計探究活動時，要注意：活動的趣味性；活動的難度；活動的目的性；活動的開放性和時效性，不能為了活動而活動.

3.以自然生成為生長點，促進概念深層探究

如在本節課中，老師介紹了方程的發展史，復習給出了一元二次方程的求根公式，展示了一元三次方程的求根公式，非常復雜，并說老師也記不住，讓一個學生任意給出一個一元三次方程加以思考.在讓學生通過自主探究、合作交流之后，有位女生的思路是：通過計算器計算出f（1）=3，說明方程的根比1小，再算f（0.9）=2.429，說明根比0.9小，再算f（0.8）=1.912，說明根比0.8還小，繼續做下去，能夠計算出近似解，這位學生一說完，筆者就對她的這種獨特的算法進行了夸獎，同時還讓其他學生為她鼓掌.經過這一評價，學生們的積極性可高了，大多數學生都從中受到啟發，立即動手用計數器演算起來，而這位女生在后來也多次舉手發表自己的見解，儼然成了本節課的主角.這樣看來，只要我們教師在課堂上把握住激勵性評價的時機，就會激起更多學生的探究欲望，激發出他們的潛能來.不過，教師在考慮評價的激勵作用時，也要注意“激勵”要有度，評價要有助于學生認識到數學有趣、有用和親切的一面，使他們在數學學習的過程中逐步對數學產生積極的情感與態度.

4.以思想方法為落腳點，深入理解概念本質

概念的形成是由具體到抽象的過程，而概念的應用是由抽象到具體，也是鞏固概念的有效途徑.學生利用所學的概念來解決實際問題，可以加深對概念的掌握.本節課中探索方程x3+3x-1=0的近似解的問題，筆者利用幾何畫板畫出函數的圖像，有利于學生直觀觀察函數零點的大致范圍，利用計算器進行了7次計算，逐步縮小實數解所在范圍，精確度的確定就顯得非常自然，突破了教學上的難點，提高了探究活動的有效性.借助幾何畫板動態顯示這個實數解的范圍逐步縮小的過程，非常直觀、逼真.整個案例都以幾何畫板為課件制作的平臺，界面活潑，操作簡單，充分體現了信息技術與數學課程的有機整合.

數學概念的學習不是一蹴而就的，是一個循環往復、螺旋上升的過程，數學概念的教學應該建立在學生認知的基礎之上，在學生的最近發展區設計問題，才能使學生的概念學習水到渠成.在課堂教學中，應給學生實實在在的探究空間，放手讓學生去自主探究，培養學生的創新精神和實踐能力，留給學生呈現自己想法和觀點的機會，讓他們擔當課堂的主角，這才是課堂的成功.

1.馮善狀，李偉.關注一節課的四個“度”——以“三角函數的圖像和性質（1）”為例［J］.中學數學教學參考（上），2015（3）.

2.葉文建.對概念生成教學的認識——“曲線與方程”教學引出的思考［J］.中小學數學，2009（1-2）.

3.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.A