關于數(shù)學問題2080題的探究

☉浙江省海鹽縣元濟高級中學 張艷宗

☉浙江省海鹽縣元濟高級中學 馬喜君

☉浙江省海鹽縣元濟高級中學 曲峰

關于數(shù)學問題2080題的探究

☉浙江省海鹽縣元濟高級中學 張艷宗

☉浙江省海鹽縣元濟高級中學 馬喜君

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《數(shù)學通報》2012年第9期數(shù)學問題第2080題：

正數(shù)a、b、c滿足a+2b+3c≤abc，求5a+22b+c的最小值.

文1提供解答如下.

設S=5a+22b+c，則有：

將已知條件變形為：

（1）+（2），經整理后再由三元均值不等式放縮可得：

筆者研究此題差不多半年時間，想了很多方法，都沒有成功.即使看到此題的供題人黃老師提供的答案，仍不得要領，一直揣摩（1）式、（3）式究竟是如何得到的.最近研讀文2、文3，看到福建王淼生老師對（3）式的來歷進行了深入的剖析，湖北楊先義老師對（1）式的來歷進行了解釋，并且給出另證.兩位老師深厚的數(shù)學功底和執(zhí)著的研究精神，令人佩服.引起筆者興趣的是，雖然原解答在（1）式、（3）式的交代上讓人看不清、摸不透，但是這種解法的確是簡潔而又初等的，黃老師是如何想到的呢？條件中不等式左邊a、b、c的系數(shù)呈現(xiàn)出一種數(shù)學美，待求式中a、b、c的系數(shù)有點兒“亂”，二者之間是否隱藏著什么規(guī)律？若規(guī)律存在，此問題又是否可作一般化推廣？

王老師希望原作者將此題的構思、湊配、變形過程展現(xiàn)出來，一些關鍵性步驟給出詳細的推理過程.筆者雖不是此題的作者，但對此問題進行了一番獨立的研究后有些許發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)將其整理成文，和各位同仁一起探討.

此題是有一個約束條件的三元函數(shù)極值問題，考慮使用拉格朗日乘數(shù)法求解.

（Ⅱ）再求函數(shù)在邊界a+2b+3c=abc上的可疑點，令拉格朗日函數(shù)為L（a，b，c，λ）=5a+22b+c+λ（a+2b+3cabc），其中λ是拉格朗日乘數(shù).

令La′=Lb′=Lc′=Lλ′=0，即：

當λ=1時，a=4，b=1，c=6，從而S=5a+22b+c有最小值48.

三元函數(shù)問題可轉化為空間中的曲線、曲面問題，可挖掘此問題的幾何意義.條件式表示的是空間直角坐標系下曲面Q1：a+2b+3c=abc和三個平面xOy、yOz、zOx在第一象限所圍成的區(qū)域，目標函數(shù)S= 5a+22b+c表示平面Q2，當曲面Q1與平面Q2恰好相切時，目標函數(shù)S=5a+22b+c有最小值.又所圍成的區(qū)域不封閉，故S=5a+22b+c無最大值.

原解答（1）式中S除以24的目的是為了后面使用均值不等式，而（3）之所以對進行如此分解，是根據(jù)均值不等式的取等條件配湊的，這下終于揭開了原解答（1）式、（3）式的神秘面紗.其之所以神秘，就在于命題人較解題者提前知道了不等式取等時a、b、c的取值，根據(jù)均值不等式取等條件合理配湊.為了保持答案的簡潔與初等，黃老師在解答上略去了不等式取等時a、b、c的取值來歷這一重要步驟，故讀者看到解答后仍云里霧里.

在以上利用均值不等式求解待求因式的最小值過程中，發(fā)現(xiàn)待求式a、b、c的系數(shù)受條件a、b、c取值的影響.不定方程a+2b+3c=abc有無數(shù)組正實數(shù)解，當a、b、c的取值發(fā)生變化時，待求式a、b、c的系數(shù)有何變化呢？

文3深入研究了不定方程a+2b+3c=abc，此處不妨取其中一組解a=8，b=1，c=2探究.根據(jù)以上思路，當a=8，b= 1時，即對配湊，有；當b=1，c=2時，當c=2，a=8時

由以上分析過程，立即可以“造出”類似不等式問題：若正數(shù)a、b、c滿足a+2b+3c≤abc，求a+14b+5c的最小值.

為進一步分析不定方程a+2b+3c=abc的正實數(shù)解與待求式a、b、c的系數(shù)的關系，研究更一般的情況.

正數(shù)a、b、c滿足pa+qb+rc=abc，其中p、q、r是正常數(shù).若此方程有一組解a=x，b=y，c=z，則三式相加，則

將其整理，即得到以下結論.

結論1：若正數(shù)a、b、c分別為x、y、z時，pa+qb+rc≤abc的等號成立，其中p、q、r是正常數(shù)，則

當p=1，q=2，r=3，方程a+2b+3c=abc取解a=4，b=1，c= 6時，即為以上2080號數(shù)學問題.

已知正數(shù)a、b、c滿足2a+4b+7c≤2abc，求a+b+c的最小值.

進一步推廣，還可以得到下面的結論.

結論2：若正數(shù)a、b、c分別為x、y、z時，pa+qb+rc≤abc的等號成立，其中p、q、r是正常數(shù)，n∈N*，則≥（n+2）（px+qy+rz）-nxyz.

此結論的證明，留給感興趣的讀者.

從上面的分析可知，在已知等號成立的前提下利用均值不等式配湊求解此類不等式，過程簡潔，形式優(yōu)美.根據(jù)文1中的解答，筆者猜測黃老師的命題思路即源自于此.此題的難點在于不等式取等時a、b、c的取值.故在a、b、c取值未知的情況下，即使黃老師給出了解答，但（1）、（3）式的出現(xiàn)讓讀者感到突然，猶如魔術師的帽子中跑出一只兔子來.在以上求解過程中，我們借助高等數(shù)學中的拉格朗日乘數(shù)法確定不等式取等時a、b、c的取值后，再回過頭看文1的解答，也就不足為奇了.

1.黃兆麟.數(shù)學問題解答2080［J］.數(shù)學通報，2012（9）.

2.王淼生.追尋數(shù)學問題2080解答的本來面目［J］.數(shù)學通報，2013（11）.

3.楊先義.也談數(shù)學問題2080題的解答［J］.數(shù)學通訊（教師版），2014（11）.

4.李歆.均值不等式的變式探究及其應用［J］.中學數(shù)學（上），2013（9）.A