抓本質巧變換
——由函數對稱性簡解一道高考題

☉山東省棗莊市第三中學 雷春景

抓本質巧變換
——由函數對稱性簡解一道高考題

☉山東省棗莊市第三中學 雷春景

高考對函數零點問題的考查主要有三個視角.

（1）求函數的零點.也即求方程f（x）=0的實數根，可以利用公式法、因式分解法、配方法等解決，如果方程中含有參數，需要對參數進行分類討論.

（2）零點所在范圍的判定.此類問題常借助“零點存在定理”——如果函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，且滿足f（a）·f（b）<0，那么，函數y= f（x）在區間（a，b）內有零點.即存在x0∈（a，b），使得f（x0）= 0，則x=x0就是方程f（x）=0的根.

用零點存在定理可判斷函數零點是否存在，如果需要進一步判斷圖像連續不斷的函數的零點是否惟一，可以借助函數的單調性，需將判定的區間劃分為函數的單調區間逐一判定.一般地，圖像連續不斷的函數f（x）在區間（a，b）上單調，且f（a）·f（b）<0，則函數f（x）在區間（a，b）上有惟一零點.

（3）零點的個數問題.函數F（x）=f（x）-g（x）的零點，即方程f（x）=g（x）的根，也就是函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像交點的橫坐標.當函數y=F（x）的圖像不易畫時，可將F（x）分解成兩個相對簡單的函數，即F（x）= f（x）-g（x），利用f（x）與g（x）的圖像交點的個數來判斷F（x）的零點個數.

當復合函數y=f（g（x））不易具體化或簡化來分析它的零點個數時，常常通過整體換元轉化為方程f（t）=0與t=g（x）的根的個數，再進一步轉化為函數y=f（t）的零點個數以及直線y=t與y=g（x）的圖像交點的個數.

本題給出零點個數，求參數范圍，可將問題轉化為兩函數的交點個數問題求解.

y=f（x）-g（x）=f（x）+f（2-x）-b，所以y=f（x）-g（x）恰有4個零點等價于方程f（x）+f（2-x）-b=0有4個不同的解，即函數y=b與函數y=f（x）+f（2-x）的圖像有4個公共點，由圖像可知

對兩個函數對稱性的考查是高考常考題型之一，其中主要包括：

（1）函數y=f（x）與函數y=-f（x）關于x軸對稱；

（2）函數y=f（x）與函數y=f（-x）關于y軸對稱；

（3）函數y=f（x）與函數y=f（2a-x）關于直線x=a對稱；

（4）函數y=f（x）與函數2b-y=f（2a-x）關于點（a，b）對稱；

（5）函數y=f（x）與函數y=f-1（x）關于直線y=x對稱.

本題通過觀察所給函數特征，知函數g（x）與f（x）關于點對稱，故找到新的求解思路.

運用函數關于點對稱解此題時需要弄清如下兩個問題.

問題1：設函數f1（x）與函數f（x）關于點（0，0）對稱，函數f2（x）與函數f（x）關于點（a，0）對稱，則函數f1（x）與函數f2（x）圖像的關系如下所示.

結論：當a>0時，將函數f1（x）向右平移2a個單位與f2（x）重合；當a<0時，將函數f1（x）向右平移2|a|個單位與f2（x）重合.

問題2：函數f1（x）與函數f（x）關于點（0，0）對稱，函數f2（x）與函數f（x）關于點（0，b）對稱，則函數f1（x）與函數f2（x）圖像的關系如下所示.

結論：當b>0時，將函數f1（x）向上平移2b個單位與f2（x）重合；當b<0時，將函數f1（x）向下平移2|b|個單位與f2（x）重合.

另外，在應用函數的對稱性解題時還要弄清兩個函數的對稱性與一個函數自身的對稱性的區別.

變式1：兩函數關于y軸對稱的應用例1（2014年高考湖南）已知函數（fx）（x<0）與g（x）＝x2＋ln（x＋a）的圖像上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是（）.

解析：依題意，設存在P（-m，n）在f（x）的圖像上，則Q（m，n）在g（x）的圖像上，則有m2＋e-m-1＝m2＋ln（m＋a），2解得即，可得

評析：已知兩函數存在關于y軸對稱的點，故將其中的一個函數沿y軸對稱后與另外一個函數的圖像有交點，從而將問題簡化.

變式2：兩函數關于直線的對稱性的應用

例2下列區間中，函數f（x）＝|ln（2-x）|在其上為增函數的是（）.

解析：由兩函數的對稱性易知函數f（x）＝ln（2-x）與函數y=lnx的圖像關于直線x=1對稱，再將y=ln（2-x）在x軸下方的圖像翻折到x軸上方，即得函數f（x）＝|ln（2-x）|的圖像（如圖3所示）.

由圖像易知當1≤x＜2時，f（x）＝|ln（2-x）|是增函數；當x≤1時，f（x）＝|ln（2-x）|是減函數.故答案為D.

評析：充分把握所求函數與我們所熟悉的函數y= lnx的關系，即兩函數關于直線x=1對稱，從而利用圖像直觀得出函數的單調區間.

變式3：互為反函數的兩函數的對稱性的應用

例3如圖4，函數y=lnx與邊長為e（e為自然對數的底數）的正方形所圍成的陰影的面積為________.

解析：因為函數y＝lnx的圖像與函數y＝ex的圖像關于正方形的對角線所在直線y＝x對稱，則所求面積為：

評析：互為反函數的兩函數圖像關于直線y=x對稱，求一個函數的反函數時，將x與y互換即可，如對于y=ex，將x與y互換，即x=ey，得y=lnx，即為y=ex的反函數.本題中欲直接求y=lnx的原函數y=xlnx-x較為抽象，利用函數的對稱性將問題轉化為其反函數y=ex與正方形圍成的面積問題，進而簡潔求解.

例4（2015年高考全國卷）設函數y＝f（x）的圖像與y＝2x＋a的圖像關于直線y＝-x對稱，且f（-2）＋f（-4）＝1，則a＝（）.

A.-1B.1C.2D.4

解析：設A（x，y）是曲線y＝f（x）上的動點，它關于直線y＝-x的對稱點是B（-y，-x），可得點B在曲線y＝2x＋a上，所以-x=2-y+a，即y=a-log2（-x），所以f（x）=a-log2（-x）.

再由f（-2）＋f（-4）＝1，可得a＝2.故答案為C.

總之，利用函數的對稱性解題時，要準確識別變換的類型，充分把握在對稱變換過程中的變與不變，進而快速、準確解題.A