一道二元最值題解法的探究

☉甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍

一道二元最值題解法的探究

☉甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍

近年來(lái)，二元最值問題備受命題者的親睞，也是高中生學(xué)習(xí)中的一個(gè)“老大難”，本文對(duì)杭州學(xué)軍中學(xué)高三2014學(xué)年第七次月考理科數(shù)學(xué)第8題進(jìn)行了探究，得出了8種精彩解法，現(xiàn)介紹如下，以期達(dá)到對(duì)中學(xué)生計(jì)算二元最值問題起引導(dǎo)作用.

一、題目

實(shí)數(shù)x、y滿足（x-y）2+y2=2，則x2+y2的最小值為__________.

二、解法探究

解法1：三角換元法.

x2+y2=（cosθ+sinθ）2+（sinθ）2= 4sinθcosθ+2sin2θ+2=2sin2θ-cos2θ+3=sin（2θ+φ）+3，其中

所以當(dāng)sin（2θ+φ）=-1時(shí)，x2+y2取得最小值

評(píng)析：通過觀察發(fā)現(xiàn)已知條件的左邊為兩個(gè)式子的平方和，由（x-y）2+y2=2聯(lián)想到三角函數(shù)的平方關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1，進(jìn)而采用三角換元法，再利用輔助角公式求解.

解法2：齊次化法.

當(dāng)x=0時(shí)，y2=1，x2+y2=1.

當(dāng)y=0時(shí)，x2=2，x2+y2=2.

整理為關(guān)于m的方程（t-2）m2-2tm+（2t-2）=0.

當(dāng)t≠2時(shí)，因?yàn)棣?（-2t）2-4（2t-2）（t-2）≥0，所以t2-6t+4≤0，解得≤

所以x2+y2的最小值為

評(píng)析：已知條件是一個(gè)二元二次方程，x2+y2中每項(xiàng)的次數(shù)也都是2，利用齊次化首先要考慮到xy≠0，避免分母出現(xiàn)0的情形.

解法3：齊次化法.

設(shè)x=ky，則（ky-y）2+y2=2.

所以［（k-1）2+1］y2=2，則

所以x2+y2=（k2+1）·

整理為關(guān)于k的方程，得（m-2）k2-2mk+2m-2=0.

當(dāng)m≠2時(shí)，因?yàn)棣?4m2-4（m-2）（2m-2）≥0，所以m2-6m+4≤0，解得

所以x2+y2的最小值為

評(píng)析：由于已知條件是齊次式，設(shè)y=kx后很容易用k表示x與y，實(shí)現(xiàn)雙變量的分離，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù)，再求解.

解法4：換元法.

設(shè)x2+y2=t2（t>0）.

令x=tcosθ，y=tsinθ，代入（x-y）2+y2=2，得：

t2cos2θ-2t2sinθcosθ+2t2sin2θ=2.

所以t2（cos2θ-2sinθcosθ+2sin2θ）=2.

所以x2+y2的最小值為

評(píng)析：抓住待求式為平方和這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用三角換元法，再利用輔助角公式求解.

解法5：換元法.

設(shè)x2+y2=u，則y2=u-x2，代入（x-y）2+y2=2中，可得：

2xy=-x2+2u-2.

將（1）代入x2+y2=u，整理可得：

5x4+（4-8u）x2+（2u-2）2=0.

于是以x2為未知數(shù)的一元二次方程必有正根，故方程的兩個(gè)根若存在都必為正根，當(dāng)且僅當(dāng)Δ=（4-8u）2-4× 5（2u-2）2≥0.整理得u2-6u+4≤0.所以≤u≤3+所以x2+y2的最小值為

評(píng)析：換元后，構(gòu)造出以x2為未知數(shù)的一元二次方程，再利用判別式法求解.

解法6：坐標(biāo)變換.

則x2+y2=（x′cosθ-y′sinθ）2+（x′sinθ+y′cosθ）2=x′2+y′2.

由（x-y）2+y2=2，得x2-2xy+2y2=2.所以（x′cosθ-y′sinθ）2-2（x′cosθ-y′sinθ）（x′sinθ+y′cosθ）+2（x′sinθ+y′cosθ）2=2.整理得（cos2θ-2sinθcosθ+2sin2θ）x′2+（sin2θ+2sinθcosθ+2cos2θ）y′2+ x′y′（sin2θ-2cos2θ）=2.

由此可見在新坐標(biāo)系下，該曲線為焦點(diǎn)在x′軸上的橢圓，x′2+ y′2表示曲線上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由圖形可知x′2+y′2的最小值為短半軸長(zhǎng)的平方，故x2+ y2的最小值為

評(píng)析：本題中的待求式x2+y2讓人聯(lián)想到曲線上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，利用高中選修4-2中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，數(shù)形結(jié)合，可解決問題.

解法7：極坐標(biāo)法.

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則（x-y）2+y2=2化為極坐標(biāo)方程為（ρcosθ-ρsinθ）2+ρ2sin2θ=2.

所以x2+y2的最小值為

評(píng)析：利用極坐標(biāo)法，令人耳目一新.

解法8：主元法.

（2）×k-（1）×2，得（k-2）x2-2kxy+（2k-2）y2=0.

當(dāng)k≠2時(shí)，將x視為主元，所以Δ=4k2-4（k-2）（2k-2）≥0.即k2-6k+4≤0，所以≤k≤3+.所以x2+y2的最小值為

評(píng)析：把x看成主元后，問題化歸為一元二次方程有實(shí)根的問題，利用判別式求解.

三、教學(xué)啟示

在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中，我們?nèi)绻朴谶\(yùn)用一題多解，既發(fā)揮了習(xí)題的最大功效，拓寬了學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，培養(yǎng)了學(xué)生的綜合思維能力，也提高了學(xué)生的應(yīng)試能力.A