經典全等圖形的變式問題解讀

☉江蘇省蘇州市相城區春申中學 丁 巖

經典全等圖形的變式問題解讀

☉江蘇省蘇州市相城區春申中學 丁 巖

變式教學是我國中學數學教學中的重要方式，特別是關于習題的變式，具體到每一節數學課堂、每一次課后作業、每一份數學試卷，無不體現著習題變式的追求，然而變式的方向、意圖、立意卻各不相同，層次也高低不等．本文選擇平面幾何初學全等時的經典圖形，變式追問，意圖指向后續學習，與同行研討交流．

一、全等圖形的變式題例

例1 如圖1，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）求證：AC＝AD．

（2）過點B作BG⊥AD，BH⊥AC，垂足分別為G、H．求證：BG＝BH．

變式解讀：第（1）問是很多教材上的經典全等習題，主要是促進學生轉化間接條件“∠3＝∠4”，而不能直接使用．根據教學經驗，不少幾何學習適應性不好的學生，往往將間接條件“∠3＝∠4”直接使用，需要多次提醒、訓練才能達到規范要求；而第（2）問則是要求學生作圖，然后證明三角形全等得出“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”，實質上是后續要學習的角平分線性質定理．

（4）在（3）的條件下，若DF⊥AB，點F是否為AB的中點？為什么？

（5） 如果DF垂直平分AB，且AE＝BC，∠EAB＝∠CBA，求證：DE＝DC．

成果擴大：小舟練習之后，發現在（5）的條件下，還可以證明四邊形AEDF≌四邊形BCDF！

你會證明小舟的發現嗎？

變式解讀：這是七年級初學多邊形內角和性質時就有的一道經典正五邊形問題，經過變式設問，將該題引向全等三角形的判定；重要的是，該題將會與后續學習等腰三角形的判定與性質建立關聯．

例3 如圖3，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，連接對角線AC，∠1＝∠2．

（1）問：邊BC與AD有怎樣的關系？并說明理由.

（2）連接BD，與AC交于O點，小誠發現：這個四邊形的對角線竟能互相平分！你能證明小誠的發現嗎？

變式解讀：該題第（1）問主要是訓練全等三角形的判定，而且是一種旋轉180°后的對應關系，根據教學經驗，不少全等適應性不佳的學生初學時往往難以找準對應關系；而第（2）問則將問題引向后續要學習的平行四邊形的性質（平行四邊形對角線互相平分）．

小誠很快證得AD＝A′D′．（結論①）

他想起老師說過“求出解答并繼續前進”，是不是還能“成果擴大”呢？不一會兒，小誠就發現了BC、B′C′邊上的高AH、A′H′的數量關系，也有AH＝A′H′．（結論②）

小南進一步猜想△ABC和△A′B′C′的對應角平分線BE、B′E′的關系，有BE＝B′E′．（結論③）

小史在他們在基礎上，歸納出一個重要性質：如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形中的對應線段一定相等．

小舟還不滿足他們的發現，繼續進行了如下探索，分別在邊BC、B′C′上取一點M、M′，使BM＝B′M′，再連接AM、A′M′，則一定有AM＝A′M′．（結論④）

逆向思考，成果擴大：小婧想了想，是不是還能逆向思考呢？比如將題設與結論互換呢？她提出如下問題：

如圖1，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，AD、A′D′分別是邊BC、B′C′上的中線，且AD＝A′D′．求證：△ABC≌△A′B′C′．（命題⑤）

……

答題要求：請證明上述“結論①、②、③、④”“命題⑤”．

變式解讀：這道題主要向學生傳遞“求出答案并繼續前進”（舍費爾德語），即全等三角形不僅是對應邊、對應角相等，而且可以進一步成果擴大：全等三角形對應線段相等，而且通過模擬學生的探究對話，將問題深入；特別是最后一問，引導學生逆向思考，探究原命題與逆命題的關系，這又是一種成果擴大的探究取向；最后那個“……”將問題開放，讓學生繼續沿著小婧同學的思緒往前探究，比如還可提出“兩個三角形的兩邊及第三邊上的高對應相等，兩個三角形全等嗎”等問題．

二、變式立意的進一步闡釋

以上選擇近期改編的一題全等經典問題，并逐題給出命題解讀，下面再從整體上闡釋全等經典問題的變式立意．

1.深刻理解教學內容，精心選擇經典問題

根據馬立平博士的“深刻理解數學知識”的觀點，選擇哪些經典圖形展開變式之前，需要基于“深刻理解教學內容”，認真思考哪些問題或圖形是經典問題，具有較大的生長或拓展空間．上文提供的4個例題中，圖形都比較簡潔，較容易拓展生長，也是各類各級命題的重點圖形．此外，精心選擇經典問題也是后續預設追問的前提，因為一個問題如果不夠典型，其生長性、講評意義也不會很大，如“例1”那樣，正是因為考慮到不少學有困難的學生常常在初學全等時，對于間接條件的錯用、混用，才重新引導他們認真思考、訓練這類問題，這也是落實雙基的需要．

2.題干條件簡潔呈現，預設追問自然生長

章建躍教授在文1中指出：“真正的數學題應該滿足一些基本條件，例如：反映數學本質，與重要的數學概念和性質相關，不糾纏于細枝末節，體現基礎知識和聯系性，解題方法自然、多樣，具有發展性，表述形式簡潔、流暢且好懂等．”從上面提供的4個例題來看，題干條件都比較簡潔、好懂，后續追問也顯得自然、和諧，想要圓滿完成又具有一定的挑戰性．需要指出的是，習題變式時切忌在題目呈現初始階段就是安排一個繁雜的圖形，因為上來就是一個繁雜圖形呈現時，往往有不少幾何適應性不好的學生就會被拒之門外，習題的內容效度就大打折扣．

3.問題凸顯幾何特征，變式設問指向后續

根據中科院李文林研究員的觀點，數學主要是“算”“證”．初中幾何主要訓練“證”的能力，發展邏輯思維能力，所以在選擇幾何圖形問題及變式訓練時，需要注意凸顯幾何學段特征，重視發展學生的幾何推理論證能力．這也是我們在上述4個題例中重點構思的，此外，例1中的第（2）問指向后續即將學習的角平分線性質；例2中的第（4）、（5）問指向后續垂直平分線性質定理；例3中第（2）問指向后續要研究平行四邊形的性質；例4中系列設問既訓練鞏固了全等三角形的判定方法，又示范了幾何問題的研究套路和探究方向，既照應了學生的眼前利益，又關注了學生的長遠利益．

三、寫在最后

數學習題的變式設問是一個大的方向，是值得很多一線教師深入實踐和思考的，我們在上面選擇了日常教學中一些變式題例，闡釋變式立意，這些努力是初步的，期待同行批評指正、實踐跟進．

1.章建躍．發揮數學的內在力量，為學生謀取長期利益［J］．數學通報，2013（2）.H