莫教亂花迷人眼，須得淺草露馬蹄——關于甄選解題思路作為教學方案的思考

☉江蘇省連云港市東港中學 陳迎迎

莫教亂花迷人眼，須得淺草露馬蹄
——關于甄選解題思路作為教學方案的思考

☉江蘇省連云港市東港中學 陳迎迎

數學問題因為著眼點不同會有不同的解法，此即一題多解，在一些教研文章和課堂教學中，常常會見到全面展示、多多益善的教學思路.筆者認為每種解題思路作為教學方案予以展示前，必須要有一個甄選的過程.下面通過具體案例談談自己對于甄選解題思路作為教學方案的思考.

例1 如果一個二次函數的圖像經過點（-1，10）、（1，4）、（2，7），求這個二次函數的關系式.

分析：文中在用一般式求出二次函數的關系式之后，給出了一個新的定理：若一個二次函數的圖像經過兩個不同的點（x0，h）、（x1，h），可以設二次函數關系式為y=a（x-x1）（x-x0）+h.文2在肯定了文1的結論和解題思路的同時，對新定理給出了四種證明，探索了利用新定理的方法.兩個文獻對二次函數性質的理解非常到位，再三閱讀思考很有啟發，但是筆者卻認為這一方法不應該在面對普通受眾的學生課堂上呈現，原因有以下兩點：（1）文1、2所敘述新定理，適用范圍有限，且增加學生的記憶負擔和理解負擔，同時更是增加了課堂理解的難度.（2）文2指出新定理在例1的解答中應用并不方便，效果不大，所言甚是中肯.

回到原問題，我們知道求函數關系式是函數教學中的基本問題，也是數學建模的關鍵步驟，通常的方法是利用待定系數法求解.二次函數的關系式主要有頂點式、交點式、一般式，因而此類問題解答的關鍵是如何根據已知條件選擇適當的二次函數的關系式、解方程組確定待定系數.

事實上，脫離課本隨意將拓展的結論作為類似新定理，或將高中知識輕易移植到初中課堂的做法，既為課程標準所不允許，也因為脫離了學生的認知水平、徒然增加學習負擔而意義不大.當然新定理也并非一無是處，一則，開拓了教師的研究思維，展示了教師在教材研究方面的深入思考，具有很強的啟發.二則，個人認為新定理可以在數學競賽或者優秀學生培養方面使用，效果會更好.

教學觀摩中發現以下四種解答思路.

解法1：把參數k看做已知數，用含k的代數式表示x、y，代入方程x+y=-5得到關于k的一元一次方程，求解得k=13.

解法2：將三個方程聯立得到以x、y、k為未知數的三元一次方程組，只需要消元x、y，求解未知數k的值即可，無需求x、y的值

解法3：方程組中兩個方程相減得2（x+y）=-k+3，因為x+y=-5，所以k=13.

分析：有任課教師強調解題分析中的整體思維，即把x+y看做一個整體，并指出整體思維是初中數學中的重要思想之一，從而把解法3、4作為教學的重點.但分析四種解答方法，個人認為恰恰是教師強調的解法3、4最不需要.原因在于：

（1）解法3、4技巧性太強，學生想不到，初次接觸學生會覺得很驚奇，但在驚詫、佩服之余學生能夠掌握、應用的不多，因為解法3、4對學生的審題能力要求太高.再者，解法3、4特殊性強，適用面窄，僅僅適合于具有本題特點的問題，如果將方程x+y=-5變成x+6y=-6，上述四種解法中依然能夠適用的只有解法1、2，由此可見解法1、2是此類問題的通法.

（2）解法3、4偏離重點知識與核心概念的要求，偏離考查的目的.閱讀題目可以發現題目敘述中的一個關鍵詞是“方程組的解”，這就說明本題的考查意圖重在對方程組的解和方程的解的理解，所有解答思路的出發點應該緊扣題目，而不應偏離太遠.基于以上分析，解法1、2應該作為通法，作為重點、必講的教學內容，至于解法3、4要看教學對象，作為課外興趣小組和學有余力的學生的學習素材較好，教學中要突出“具體問題具體分析”和“整體思維”的解題分析思路，避免盲目套用.

此題啟發我們，對于那些過于依賴問題中的特殊條件，適用范圍較窄，或者說就題論題、一法一題的解題方法，應該謹慎選擇，鑒于學生學情有時可以予以拒絕.

例3 如圖1所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，點P從點B出發，沿BC以2m/s的速度向點C移動，點Q從點C出發，以1m/s的速度向點A移動，若點P、Q分別從B、

C同時出發，設運動的時間為t秒，當t為何值時，△CPQ與△ABC相似？

兩種解答有幾點不同之處：解法1緊扣問題，利用“兩邊對應成比例且夾角相等”的相似三角形的判定方法入手.解法2則另辟蹊徑，利用“兩組角對應相等”的相似三角形的判定方法，緊扣∠B與∠QPC的關系，繼而抓住直角三角形的特點利用三角函數求解.兩種思路解答方法的著眼點不同，考查的知識點和能力要求也有所不同，很好地體現了一題多解的價值.從這個意義上來看，兩種方法的選擇都可以，只是需要處理好呈現的時間點，尤其在中考復習或者三角函數學習之后，引導學生換一個角度思考之前已經熟練掌握的問題，有助于幫助學生認識學習新知識（三角函數）的價值，同時，激發學生的求異思維.

如果把問題略作調整，如取消題目中“∠C=90°”這一限制條件，問題結論是否依然成立，兩種解題思路哪種會更好一點？解法1僅僅用到∠PCQ=∠ACB，但解法2用到了∠PCQ=∠ACB=90°，因而條件調整之后解法1依然適用，但解法2卻無能為力了，因為失去了直角三角形也就失去了直接應用三角函數的條件.所以，解法1屬于此類問題的通法.

此題啟發我們在一題多解中要防止將解題思路窄化，失去解題方法的一般性.對于一題多解，有必要分析各自的優缺點，尤其對于一些特殊解法需要讓學生認識到它的適用范圍.

通過以上三例我們可以發現，解題方法的甄選十分必要.太多的、脫離學生學習實際和學習需求的解題方法，就如亂花，常常迷人眼亂人心，須得“淺草”，即符合學生的解法，既接近馬蹄可令馬蹄親近自然感受花草芳香，又不淹沒馬蹄，既恰到好處地讓學生感受到數學分析的方法、解答的魅力，又掌握了基本問題的解答方法，正可謂“莫教亂花迷人眼，須得淺草露馬蹄”.因此，解題教學中，解題方法不是越多越好，當我們有了解題思路的時候要有一個判斷、比較、選擇取舍的過程，否則一節課下來大量方法的堆積對學生沒有太多的意義.教學更不應該為一題多解而盲目多解，忽略了題目的訓練目的，即便在教學中選擇呈現的教學方法的教學中，在不同思路各展風采之后應當有適當的“追問”，啟發學生思考、比較各種方法的優缺點、適用范圍、考查的知識點和方法，以及解答者是受問題中哪些元素的啟發而得到的解題思路，引導學生對各種方法有一個自主選擇的機會等.筆者認為這樣的追問，對培養學生的解題分析思維能力大有裨益，也有助于幫助學生在以后的學習、生活中遇到不同的解答思路的時候能夠養成一個先“判斷、比較、選擇”，后動筆驗算書寫的習慣.

1.魏俊，羅雄飛.課本例題的解法新探及推廣［J］.中學數學教學參考（中），2011（11）.

2.錢衛江.二次函數對稱式的證明及應用［J］.中學數學教學參考（中），2014（11）.

3.姜曉翔.體現“以生為本”，彰顯“思維品質”［J］.中學數學（下），2015（3）.H