傳導冷卻高溫超導磁體熱輸運參數反演識別*

李　想，湯智胤，吳　鋼，周　剛，畢　柯，張青枝

(1.海軍工程大學 動力工程學院， 湖北 武漢　430033； 2.中國科學院 低溫工程學重點實驗室， 北京　100190)

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傳導冷卻高溫超導磁體熱輸運參數反演識別*

李想1，湯智胤1，吳鋼1，周剛2，畢柯1，張青枝1

(1.海軍工程大學 動力工程學院， 湖北 武漢430033； 2.中國科學院 低溫工程學重點實驗室， 北京100190)

摘要：在傳導冷卻高溫超導磁體系統中，超導磁餅熱導率以及磁餅與導冷體之間的界面熱阻是影響熱輸運的主要因素，也是傳導冷卻超導磁體系統熱設計的難點。為了獲得準確的熱導率和界面熱阻參數，根據 Levenberg-Marquardt算法提出通過表面測溫確定傳導冷卻超導磁體熱輸運參數的反演識別方法。搭建低溫實驗數據測試平臺，建立高溫超導磁餅三維各向異性熱傳導模型。利用反演算法對傳導冷卻Bi2223高溫超導磁體在40～76K溫區的各向異性熱導率與界面熱阻進行反演識別，并分析測溫誤差對識別結果的影響。研究成果將為超導磁體熱輸運參數的獲取提供一種新思路。

關鍵詞：高溫超導；熱導率；界面熱阻；各向異性；參數識別

近些年來，低溫制冷技術和新型高溫超導材料的發展，極大地推動了超導磁體的應用[1]。相比于液體浸泡冷卻超導磁體，傳導冷卻超導磁體可以獲得更寬的運行溫度，而且結構緊湊、運行維護方便、安全性好，是超導磁體應用研究的重要方向[2]。傳導冷卻高溫超導磁體熱輸運參數(主要包括超導磁餅各向熱導率以及超導磁餅與導冷結構之間的界面熱阻)對傳導冷卻高溫超導磁體的熱設計和熱分析至關重要。

目前，超導磁餅熱導率主要采用以下幾種方法獲取：一是采用超導帶材的熱導率作為磁餅的熱導率[3]；二是按照超導磁餅中各種材料組分比進行熱導率參數的換算[4]；三是采用傳統的熱導率測試方法，從磁餅上切割標準樣品進行測試[5-6]。然而磁餅是由高溫超導(High Temperature Superconducting,HTS)帶材纏繞而成，并經過絕緣處理、環氧樹脂浸漬固化，其熱物性參數與帶材有較大不同，具有強烈的各向異性；第二種方法忽略不同組分材料之間的界面熱阻與組織結構；第三種方法準確性最高，但從磁餅上切割樣品進行測試將會導致整個磁餅的報廢，代價太大。目前對于HTS磁體系統中的界面熱阻也有一定的研究[7-9]，但這些大都是基于單一材質之間或者單一材質與超導帶材之間的界面熱阻研究，而實際傳導冷卻超導磁體系統熱分析中所涉及的界面熱阻主要體現在具有一定結構特征的超導磁餅與導冷結構之間。

當前，國內外不僅缺乏完整的傳導冷卻超導磁體熱輸運參數數據，而且也缺乏有效的獲取方法。為此，提出了基于導熱反問題的方法對傳導冷卻超導磁體熱輸運參數進行反演識別。

1低溫實驗設計

通過反演的方法獲取HTS磁餅各向異性熱導率，首先需要根據被研究對象結構特征設置合適的邊界條件，使其內部的熱物性特征通過外在的溫度場分布體現出來。要實現HTS磁餅徑向、軸向、周向熱導率的準確識別，必須在這3個方向上形成明顯的溫度梯度。為此，對HTS磁餅的傳熱邊界條件設定如圖1所示，通過加熱器對超導磁餅上的區域Ω1施加均勻熱流；區域Ω2與導冷體的控溫面接觸。導冷體與磁餅之間的界面熱阻通過導冷體控溫面與磁餅接觸面之間的溫差體現出來。

圖1　邊界條件設置Fig.1　Settings of boundary

圖2　低溫實驗系統Fig.2　Low temperature experiment system

為了實現上述邊界條件，建立了如圖2所示的低溫實驗系統。該實驗系統主要包括低溫測量單元、低溫溫控單元、真空單元[10]。低溫溫控單元由低溫制冷機、溫控儀、加熱器、溫度傳感器組成。冷量主要由制冷機二級冷頭提供，并在一級冷頭和二級冷頭上安裝防輻射屏，減少輻射熱對樣品的影響，控溫過程中由溫度傳感器感受導冷體控溫面溫度變化并反饋給溫控儀，溫控儀通過調節加熱器電流大小來控制加熱量，從而使控溫面溫度達到設定值。真空單元由真空泵、復合真空計等組成，用來提供和監測真空測試環境。

2導熱正問題模型與數值求解

2.1　三維各向異性熱傳導模型

HTS磁餅截面如圖3所示，r0，r1分別為HTS磁體的內、外徑；L0為HTS磁體的厚度；Ω為磁餅所有的邊界集合。HTS磁餅熱導率在軸向、徑向和周向是正交異性的，柱坐標系下三維正交異性穩態熱傳導微分方程為：

(1)

(2)

T(r,φ,z)=Tb-RCq(r,φ,z)∈Ω2

(3)

其他邊界面為絕熱，滿足

(4)

其中：T為HTS磁餅的溫度分布；r,z,φ分別為徑向、軸向和周向坐標；kr，kz，kφ分別為HTS磁餅徑向、軸向和周向的熱導率；Tb為導冷體控溫面溫度；q′為磁餅邊界熱流密度。穩態時由區域Ω1進入磁餅的熱流等于由區域Ω2流出磁餅的熱流。如圖4所示，由于界面熱阻的存在，磁餅溫度邊界區域Ω2處的實際溫度邊界應為Tb-RCq，RC為磁餅與導冷體之間的界面熱阻，q為流經接觸界面處的熱流密度。

圖3　HTS磁餅截面圖Fig. 3　Sectional view of HTS magnetic pancake

圖4　界面熱阻Fig.4　Thermal boundary resistance

2.2　正問題求解

三維正交異性熱傳導正問題求解通常很難獲得解析解，可以通過數值方法進行求解。有限體積法是在有限差分法的基礎上發展起來的，同時吸收了有限元法的一些優點，具有物理意義明確、計算精度高等特點。采用有限體積法三維均勻網格系統來離散求解域，柱狀體三維控制容積如圖5所示。節點P位于控制容積的中部，它有6個相鄰節點，分別位于東(點E)、西(點W)、南(點S)、北(點N)、上(點A)、下(點B)方向。e，w，s，n，t，b分別代表控制體的東側、西側、南側、北側、上側、下側邊界。

圖5　單元體極坐標Fig.5　Unit under polar coordinates

有限體積法通過對控制體積的積分來實現方程的離散，在控制容積內對式(1)進行積分，則得到節點P對應的離散方程：

aPTP=aETE+aWTW+aNTN+aSTS+aATA+aBTB+Su

(5)

3導熱反問題熱輸運參數識別

3.1　導熱反問題參數識別描述

導熱反問題熱輸運參數反演識別的本質是通過對待識別熱輸運參數初始假設按照一定算法不斷修正，并代入正問題求解模型獲得相應溫度分布，以期找到一組熱輸運參數使檢測點的求解溫度分布與其真實溫度分布相吻合。檢測點的求解溫度與實際測試溫度的吻合程度可以采用目標函數S(P)來衡量。

(6)

3.2　Levenberg-Marquardt反問題算法

Levenberg-Marquardt算法是一種簡單、收斂速度快的優化算法[12]。它通過使目標函數最小化來確定反問題的解。通過對式(6)求偏導可得到S(P)最小化條件：

(7)

其中，J(P)=?T(P)/?PT。將T(P)在Pk處按泰勒級數展開并去掉高階項，同時在結果中加入衰減參數μ調節收斂速度，得到P的迭代公式：

(8)

其中：上標k表示迭代次數，Pk是第k次迭代得到的識別參數向量，T(Pk)、Jk分別是在參數向量Pk下計算得到的檢測面溫度和敏感系數矩陣；μ為一個取正值的調節系數，W為一對角矩陣。

4實例與結果分析

采用Bi2223高溫超導磁餅為研究對象，圖6為其實物結構，其外徑r1=135mm，內徑r0=75mm，厚度h=10mm。根據磁餅的結構設置磁餅的熱邊界條件如圖7所示，扇形區域Ω1為熱流邊界，扇形區域Ω2為恒定的溫度邊界。

圖6　Bi2223高溫超導磁餅Fig.6　HTS Bi2223 pancake coils

在HTS磁體上依次設置4個熱電偶監測溫度，設置位置如圖7所示。采用紫銅作為導冷體與超導磁餅上區域Ω2接觸，并在兩界面之間填充低溫導熱脂。導冷體的溫度控制在Tb=40K，磁餅上區域Ω1的熱流密度為q=5000W/m2。

圖7　測溫點設置Fig.7　Setting of temperature measuring points

圖8中反演識別結果顯示Bi2223超導磁餅軸向、周向和徑向的熱導率分別為kz=4.07W·m-1K-1，kφ=225.46W·m-1K-1，kr=0.538W·m-1K-1；導冷體與磁餅之間的界面熱阻為Rc=1.74×10-3m2K·W-1。由圖9可知，Levenberg-Marquardt算法在熱傳導反問題熱輸運參數識別中具有較高的精度和較快的收斂速度。為了考慮測溫誤差對反演識別結果的影響，假設溫度測量誤差服從正態分布，TP=(1+σ·ξ)Te為含有測量誤差的測點溫度信息，Te為測點溫度信息的真實值，σ為系統測溫誤差水平，ξ為服從正態分布的隨機變量。表1為不同測溫誤差水平下熱輸運參數的定量識別結果，當測溫誤差小于0.3K時，熱導率的識別誤差小于16.1%。

圖8　熱輸運參數辨識過程Fig.8　Process of heat transfer parameter identification

圖9　收斂精度Fig.9　Convergence precision

表1　測溫誤差對識別結果的影響

5結論

1)根據HTS磁體的結構特征，提出了通過反問題算法與低溫實驗相結合手段，同時確定傳導冷卻超導磁體中磁餅各向異性熱導率以及超導磁餅與導冷體之間界面熱阻的方法。

2)通過該方法獲得了高溫超導Bi2223磁餅在工作溫區軸向、徑向和周向熱導率以及磁餅與Cu導冷體之間界面熱阻數據，能夠為傳導冷卻高溫超導磁餅的熱分析和熱設計提供參考。

3)反演識別結果表明經過環氧樹脂固化的Bi2223高溫超導磁餅具有嚴重的各向異性：磁餅周向熱導率比軸向熱導率高2個數量級，比徑向熱導率高3個數量級。因此，采用文獻[3-6]中簡單方法確定的磁餅的熱導率是很難滿足磁體精確化熱設計需求的。

4)低溫下導冷體與磁餅之間存在較大的界面熱阻，在傳導冷卻超導磁體的熱設計過程中不容忽視。

5)采用Levenberg-Marquardt算法對傳導冷卻高溫超導磁體熱輸運參數進行反演識別，具有收斂速度快，收斂精度高等優點。

參考文獻(References)

[1]Ono M, Kuriyama T, Oguchi A, et al. Cryocooler-cooled highTcsuperconducting magnet excited by thermoelectromotive force[J]. IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2004, 14(2): 1194-1197.

[2]Choi Y S, Kim D L, Shin D W. Initial cooldown characteristic of conduction-cooled high field magnet system[J]. IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2011, 21(3): 1604-1607.

[3]唐斯密，吳鋼，王惠齡，等．直接冷卻的高溫超導磁體熱穩定性有限元仿真[J]．低溫與超導，2006，34(6)：446-450．

TANG Simi, WU Gang, WANG Huiling, et al. Simulation on the thermal stability of the superconducting magnet directly cooled by cryocooler based on FEM[J]．Cryogenics and Superconductivity, 2006，34(6)：446-450．(in Chinese)

[4]Lehtonen J, Mikkonen R, Paasi J. Effective thermal conductivity in HTS coils [J]. Cryogenics, 2000, 40(4): 245-249.

[5]Huang T T, Johnstone A, Yang Y F, et al. Finite element modeling of thermal stability and quench propagation in a pancake coil of PbBi2223 tapes [J].IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2005, 15 (2): 1647-1650.

[6]Naitoa T，Fujishiro H，Yamada Y．Anisotropic thermal transport in double-pancake coil wound with DI-BSCCO tape[J]．Physica C: Superconductivity，2010, 470(20):1397-1400．

[7]Bi D M, Chen H X, Tian Y. Influences of temperature and contact pressure on thermal contact resistance at interfaces at cryogenic temperatures[J]. Cryogenics, 2012, 52(7): 403-409.

[8]Rao R S, Wang J R, Zhuang H R, et al. An investigation on interface thermal resistance at superconductor cooling by cryocooler[J]. Physica C: Superconductivity, 2003, 386(8): 547-550.

[9]Fujishiro H，Okamoto T，Hirose K．Thermal contact resistance between high-Tcsuperconductor and copper[J]．Physica C: Superconductivity，2001，357(8): 785-788．

[10]王惠齡. 超導應用低溫技術[M].北京：國防工業出版社，2008.

WANG Huiling. Superconducting application low temperature technology [M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2008. (in Chinese)

[11]李人憲.有限體積法基礎[M]. 2版.北京：國防工業出版社，2008.

LI Renxian. The foundation of finite volume method[M]. 2rd ed. Beijing: National Defense Industry Press, 2008. (in Chinese)

[12]Marquardt D W. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters[J]. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1963, 11(2): 431-441.

http://journal.nudt.edu.cn

Inversion identification of heat transport parameters of conduction cooling high temperature superconducting magnet

LIXiang1,TANGZhiyin1,WUGang1,ZHOUGang2,BIKe1,ZHANGQingzhi1

(1. College of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;

2. Key Laboratory of Cryogenics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Abstract：In conduction cooling high temperature superconducting (HTS) magnet system, thermal conductivity of HTS magnetic pancakes and thermal boundary resistance between magnetic pancake and cooling body are the major factors affecting heat transport, and the difficult points for the thermal design of conduction cooling HTS magnet as well. A new method, based on the Levenberg-Marquardt algorithm, to simultaneously identify each heat transport parameter from the temperature distribution on the inspection surface was put forward. A low temperature experiment platform was setup, and a three-dimensional orthotropic heat transfer model of magnetic pancake was built. The orthotropic thermal conductivity and thermal boundary resistance of conduction cooling Bi2223 HTS magnet at 45～72 K were obtained with the method mentioned above. The influence of temperature measurement error on identification results was analyzed. The research result provides a new thought for obtaining heat transport parameters of conduction cooling superconducting magnet.

Key words：high temperature superconducting; thermal conductivity; thermal boundary resistance; orthotropic; parameter identification

中圖分類號：O511.2

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2486(2015)06-150-05

作者簡介：李想(1986—)，男，河南信陽人，博士研究生，E-mail：suplixiang@163.com； 吳鋼(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail：gangwu206@hotmail.com

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51076165)；中國科學院重點實驗室基金資助項目(CRYO201221)

收稿日期：*2014-12-23

doi:10.11887/j.cn.201506027