從二維圖像獲得物體表面的高斯曲率

丁一

摘要：在圖像處理中，物體表面的高斯曲率的重要性在于它可以表述三維物體表面信息。高斯曲率是一個重要的幾何概念，它應用于模式識別、物體識別、以及物體的形狀復原等方面。特別是三維打印機將要普及的時候，三維物體信息掃描技術的精確性就顯得十分重要。

關鍵詞：高斯曲率 ?形狀復原 ?三維

1 立體光學法

在形狀復原過程中單張照片提供信息，立體光學法用一個相機取得多張不同光源的照片，這時候照相機是固定的，而光源是從不同的角度攝入的。一般來說立體光學法超過三個光源，從三個以上不同的方向光照目標物體，每次是用一個光源。把三枚照片利用完美漫射模型解出物體表面的方向向量，向量的積分也就是物體的高度，即三維模型。這種方法并不適用于物體表面有鏡面反射的目標。

2 利用神經網絡復原

立體光學法利用三個以上的光源，而且利用完美漫射模型這一限定條件決定目標物體不能鏡面反射的成分。如果對于有鏡面反射的物體，利用一個和目標物體相同反射率，相同反射條件和物理性質的球體來作為參照物的話，更有利于獲得更精確的數值。

利用球作為參照物體復原的話，可以尋找目標物體的某一點。假設這一點的數字圖像灰度值為E，那么對于在參照物體球的相同灰度值E的對應點，可以建立一個參照表。

神經網絡（Neural Networks，簡寫為NN），它是一種模仿動物神經網絡行為特征，進行分布式并行信息處理的算法數學模型。這種網絡依靠系統的復雜程度，通過調整內部大量節點之間相互連接的關系，從而達到處理信息的目的。

3 高斯曲率

高斯曲率是曲面論中最重要的內蘊幾何量。設曲面在P點處的兩個主曲率為k1，k2，它們的乘積k=k1·k2稱為曲面于該點的總曲率或高斯曲率。

其中，點（x，y）的高斯曲率G可以定義為：

這里fx是z相對于x的偏導數，而fy是z相對于y的偏導數。而且我們根據高數的數學知識我們知道對于平滑的曲面來說fxy=fyx的。點（x，y）的平均曲率M可以被

定義為：

根據曲率k1和k2符號的不同，曲面可以分為六種可能性。分別如圖1-6所示。圖中，RBF神經網絡把數字圖像的灰度值E映射到每個參照的球上的點（x，y）上。神經網絡實現的結果就是把給定的物體的每個點的灰度值E，分別映射到球上的對應相同灰度值的點（x，y）。因為球的特性決定了它擁有一個空間坐標系所有可能性的向量特征，所以根據從目標物體的灰度值E映射到球上的對應點的相同灰度值E的地方，也就相當于物體該點的向量和球上的該點的向量值相同。而且，物體目標點附近4點分別映射到球上附近4點的時候，我們可以根據映射到的4個點的位置關系得到如圖1-6的6種曲面關系對應。

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圖1 ?k1>0， k2>0 ? 凸面

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圖2 ?k1<0， k2<0 ? 凹面

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圖3 ?k1=0， k2=0 ?平面

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圖4 ?k1>0， k2<0 ?凸面

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圖5 ?k1>0， k2=0 ?凸鞍馬面

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圖6 ?k1=0， k2<0 ? 凹鞍馬面

假定目標物體的曲面函數為z=f（x，y），那么對于任意一個點（x0，y0，z0）來說，根據泰勒公式把z=f（x，y）可以表示為

如果z=f（x，y）由該點（x0，y0，f（x0，y0））的法線向量n表示的話，可以用下面的公式表示n=■-fx-fy 1（4）

這里同樣fx是z相對于x的偏導數，而fy是z相對于y的偏導數。

對于半徑為r的球面某一點（xc，yc，（r2-xc2-yc2）1/2），然而，這時候改點的法線向量可以表示為

這里，目標物體的點（x0，y0，f（x0，y0））和相對應球上的點（xc，yc，（r2-xc2-yc2）1/2）可以通過神經網絡映射出來，前提是他們的法線向量n是一樣的話。

也就是說，球上對應點的坐標可以表示為

根據上面目標物體的某點用泰勒公式表示的方程公

式（3），對應目標物體某店周圍4點分別是（P，Q，R，S）=（x0，

y0-Δy），（x0+Δx，y0），（x0，y0+Δy）和（x0-Δx，y0），周圍4點（P，Q，R，S）的偏導數分別是

這4個點（P，Q，R，S）包圍所的得到的曲面的面積S可以由以下向量a和b來表示，向量a和b分別是四邊形的兩條邊。

所以，面積S就可以表示成

在這里，可以看出根據上面的公式，某一點的高斯曲率可以由該點附近4點所包圍曲面的面積S來確定。也就是說該點的高斯曲率相對大小就是由附近4點包圍面積的值來表示。另外，如圖1-6所示的附近4點的六種可能性，可以確定曲面的類型以及曲率的符號。所以我們最終就確定了曲率的相對大小和符號，以及曲面類型等相關信息。

參考文獻：

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[2]鄭戟明，呂東輝，張棟，孫九愛.利用控制點提高光度立體技術重建精度研究[J].計算機工程與設計，2010（22）.

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