一種改進(jìn)的基于低秩逼近的空時自適應(yīng)處理算法

解 虎馮大政虞泓波袁明冬聶衛(wèi)科

①（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室 西安 710071）

②（西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 西安 710127）

一種改進(jìn)的基于低秩逼近的空時自適應(yīng)處理算法

解 虎*①馮大政①虞泓波①袁明冬①聶衛(wèi)科②

①（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點實驗室 西安 710071）

②（西北大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 西安 710127）

針對非均勻雜波情況下的空時自適應(yīng)處理的小樣本問題，該文提出一種基于權(quán)矩陣低秩逼近的空時自適應(yīng)處理方法。與傳統(tǒng)的低秩逼近算法不同，利用空時導(dǎo)向矢量特殊的克羅累計性，該文重新構(gòu)造新的權(quán)矩陣，使得該權(quán)矩陣的行數(shù)與列數(shù)盡可能地相近或相同，以減少算法所需的樣本個數(shù)和計算量。采用低秩逼近方法對新構(gòu)造的權(quán)矩陣進(jìn)行表示，則原二次優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解一個雙二次代價函數(shù)問題。實驗表明，改進(jìn)的空時權(quán)矩陣低秩逼近方法能有效地提高空時自適應(yīng)處理的收斂速度和降低算法復(fù)雜度。

機(jī)載雷達(dá)；空時自適應(yīng)；低秩逼近；雜波抑制；雙迭代

1 引言

機(jī)載預(yù)警雷達(dá)不論對空或?qū)Φ剡M(jìn)行動目標(biāo)檢測，關(guān)鍵在于對于地雜波的抑制，對于機(jī)載雷達(dá)，雷達(dá)載體在運動，整個大地相對于雷達(dá)存在相對運動，會產(chǎn)生相應(yīng)的多普勒偏移，即地雜波會在整個多普勒域展寬，具有與信號相同的多普勒頻率特性，動目標(biāo)將會被嚴(yán)重地抑制進(jìn)而難以檢測。然而利用地雜波方位與多普勒的空時耦合性，對接收信號進(jìn)行空域與多普勒域的兩維聯(lián)合自適應(yīng)處理，可以將雜波濾除。陣元與脈沖的兩維自適應(yīng)處理通常稱作空時自適應(yīng)處理（Space-Tim e Adaptive Processing，STAP）［1］。

傳統(tǒng)的空時自適應(yīng)處理在實際應(yīng)用中，面臨兩方面的挑戰(zhàn)。一是計算量大，由于STAP是對空域和時域兩維聯(lián)合自適應(yīng)處理，其維數(shù)是空域維數(shù)（陣元個數(shù)N）和時域維數(shù)（脈沖個數(shù)M）的乘積MN，因此需要對MN MN×的協(xié)方差矩陣進(jìn)行求逆，實際中難以實時實現(xiàn)；二是所需樣本巨大，為獲得接近于（3 dB的性能損失）最優(yōu)STAP處理性能（協(xié)方差已知）所需要的與待檢測單元獨立同分布樣本個數(shù)是空時維數(shù)MN的兩倍，而實際中只有靠近待檢測單元少數(shù)樣本近似滿足獨立同分布條件。尤其在非均勻雜波背景下，可用樣本更少。導(dǎo)致雜波樣本非均勻的因素很多，一般主要分成兩部分：幅度不均勻（地形以及其覆蓋物變化，強(qiáng)散射點等），多普勒譜展寬（水面，森林受風(fēng)影響導(dǎo)致）［2，3］。針對樣本不足問題，人們提出了很多不同的降維空時自適應(yīng)處理方法，例如著名的輔助通道法（Auxiliary Channel Receiver ACR）， FA（Factored A lgorithm）， EFA［4］（Extended Factored A lgorithm）和JDL［5］（Joint Domain Localized）方法等。此類降維方法主要思想是將數(shù)據(jù)通過傅里葉變換將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到低維空間，再進(jìn)行自適應(yīng)處理。通過降維處理有效地降低了算法的計算量和所需樣本數(shù)目。

為了進(jìn)一步提高雜波抑制性能，必須增加自適應(yīng)權(quán)的自由度，即增加降維后的維數(shù)，但訓(xùn)練樣本數(shù)和計算復(fù)雜度也會相應(yīng)增加。因此，研究權(quán)矢量自由度高、樣本要求和計算復(fù)雜度低的降維STAP處理方法是必要的。文獻(xiàn)［6］提出一種空時可分離自適應(yīng)雜波抑制方法，該方法以經(jīng)典的最小方差無畸變（M inimum Variance D istortion less Response，MVDR）準(zhǔn)則［7］為基礎(chǔ)，建立了關(guān)于空域權(quán)向量和時域權(quán)向量的雙二次代價函數(shù)，然后采用雙迭代算法（Bi-Iterative A lgorithm， BIA）求解自適應(yīng)權(quán)。文獻(xiàn)［8］提出一種基于低秩逼近的空時雙邊二次代價函數(shù)，該方法比文獻(xiàn)［6］具有更多的自由度，因此算法性能更好，且計算量小。文獻(xiàn)［6，8］算法收斂所需的樣本個數(shù)為2max｛M， N｝，而對于大部分空時自適應(yīng)系統(tǒng)，陣元個數(shù)和一個相關(guān)時間內(nèi)的脈沖數(shù)并不在一個數(shù)量級，即M? N，此時雙迭代算法所需要的樣本個數(shù)依然很多。不僅對于傳統(tǒng)STAP系統(tǒng)，對于M IMO-STAP［9，10］系統(tǒng)這一現(xiàn)象更加普遍，由于存在虛擬陣元，因此一般M? N。因此本文提出一種改進(jìn)的基于權(quán)矩陣低秩逼近的雙迭代算法，該算法通過重新構(gòu)造新的自適應(yīng)權(quán)矩陣，使得權(quán)矩陣的行數(shù)與列數(shù)盡可能相等，從而降低相應(yīng)的協(xié)方差矩陣的維度，提高收斂速度以及降低計算復(fù)雜度。

2 STAP信號模型和傳統(tǒng)空時可分離雜波抑制方法

假設(shè)天線陣列為均勻線陣結(jié)構(gòu)，陣元個數(shù)為N，一個相干處理時間內(nèi)接收到的脈沖個數(shù)為M，則某一距離環(huán)接收到的NM×1數(shù)據(jù)向量可以排列為矩陣形式，即

其中xn，m表示第n個陣元接收到的第m次回波。最優(yōu)空時自適應(yīng)處理器本質(zhì)上是求解式（2）的二次優(yōu)化問題：

其中w為2維空時權(quán)矢量，vec（·）表示矩陣的向量化，空時可分離自適應(yīng)處理器（Space Time Separable Filter， STSF）將空時權(quán)表示為式（3）的形式

其中v∈ CM×1，u∈ CN×1為對應(yīng)的時域權(quán)和空域權(quán)。將式（3）代入式（2）得到如下雙二次優(yōu)化方程：

采用拉格朗日乘子法，式（4）可以轉(zhuǎn)化為無約束的雙二次代價函數(shù)：

其中λ為拉格朗日乘子，代價函數(shù)J（u， v，λ）相對于u和v分別是二次的，此外對式（5）進(jìn)行分析可知，代價函數(shù)J（u， v，λ）的解存在尺度模糊問題，即

根據(jù)文獻(xiàn)［6］可知，利用雙迭代算法可以求解式（5）且能有效地處理尺度模糊問題，理論證明雙迭代算法能收斂到最優(yōu)解［11，12］，且算法收斂所需要的樣本數(shù)目為2m ax｛N， M｝。雙迭代方法是將一個雙二次代價函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個單邊二次代價函數(shù)，假定其中一個單邊二次代價函數(shù)的解已知，求解另一組解，然后采用交替迭代的方法進(jìn)行求解直至算法收斂。另外，由式（5）可知空時可分離方法的自由度為N+ M-1，然而對于某些非均勻雜波，雜波的自由度大于N+ M-1，因此為了得到更好的雜波抑制性能，需要增加傳統(tǒng)空時可分離算法的自由度。

3 基于空時重構(gòu)的低秩逼近方法

由上述推導(dǎo)可知空時可分離的雙迭代算法相比較傳統(tǒng)的空時全維自適應(yīng)算法，大幅提高收斂速度和降低計算復(fù)雜度。但是當(dāng)系統(tǒng)的時域維度或空域維度較大時，STSF算法所需要的樣本數(shù)目2m ax｛N， M｝（M? N或者M(jìn)? N）依然難以得到滿足。本文對數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行重排，構(gòu)造新的數(shù)據(jù)矩陣和權(quán)矩陣，為了增加算法的自由度，采用低秩逼近方法來提高自適應(yīng)權(quán)的自由度，從而達(dá)到更快的收斂速度。假設(shè)存在正整數(shù)NM且N，M盡可能相近，那么數(shù)據(jù)矩陣可以重新排列為

與新構(gòu)造的數(shù)據(jù)矩陣相對應(yīng)的N× M維的自適應(yīng)權(quán)矩陣寫為

式（17）中有D（ N+ M）個獨立變量，而且有D（ D-1）+1個約束條件，式（16）表明特征向量之間存在D個相互關(guān)系，因此代價函數(shù)的自由度為

特別的當(dāng)D=m in（ M， N）時，式（17）的自由度為，即空時全維自適應(yīng)處理。

4 多階段法

求解式（17）的關(guān)鍵是如何處理正交約束問題，這里采用多階段降維方法來消除正交約束，令

為了簡化公式，令

那么，式（21）可以等價為

顯然式（24）為雙二次代價函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，可以采用雙迭代方法進(jìn)行求解，在此不再贅述［11，12］。

圖1給出了所提算法的實現(xiàn)流程圖，可以看出與多級維納濾波處理一樣，具有很好的格型結(jié)構(gòu)。此外，如果使用降維矩陣P，F(xiàn)的特殊結(jié)構(gòu)，圖中矩陣相乘的操作可以通過幾個矩陣乘以向量的方式執(zhí)行，計算量較小。

5 計算量分析

為了估計改進(jìn)的低秩逼近空時自適應(yīng)處理（Improved Low-Rank Approxim ation STAP， ILRASTAP）算法的計算復(fù)雜度，首先需要確定ILRASTAP新構(gòu)造的數(shù)據(jù)矩陣維度，所需要的樣本個數(shù)L，雙迭代算法所需要的迭代次數(shù)K和分解階數(shù)D。在ILRA-STAP算法中，所用到的最大的相關(guān)矩陣的維數(shù)為max（N， M），為了保證該矩陣盡可能非奇異，L≥2max（ N， M）。另外，由文獻(xiàn)［11］可知雙迭代算法具有快速收斂性，一般5~10步即可收斂。實驗表明，分解階數(shù)一般取3就可以獲得很好的性能，因此取D=3。

圖1 所提算法流程示意圖

根據(jù)文獻(xiàn)［8］，忽略一些低階項，可以直接得到ILRA-STAP的總計算量為其主要計算量來自其中維數(shù)最大的相關(guān)矩陣的求逆，即同樣傳統(tǒng)的LRA-STAP的主要計算量為為了進(jìn)一步說明ILRASTAP的計算量，以實例進(jìn)行分析，假設(shè)N=8， M=128，重排后得到的數(shù)據(jù)維度本文算法的主要計算量為O（323），而傳統(tǒng)的LRASTAP的主要計算量為O（1283），顯然本文算法的計算量相較于LRA-STAP得到大幅下降。另一方面，本文對權(quán)矩陣進(jìn)行了重排，不僅降低了算法的計算量，同時也降低了算法所需的樣本數(shù)目，即僅需2× 32= 64個樣本算法即可收斂，而傳統(tǒng)LRASTAP需要2× 128= 256個樣本。

6 仿真實驗

實驗1 在理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，本節(jié)通過仿真實驗驗證雙迭代算法在空時重構(gòu)后的快速收斂性，同時比較本文算法與傳統(tǒng)的FA， EFA算法的雜波抑制性能。仿真實驗采用8× 8的方陣陣列結(jié)構(gòu)（在俯仰上進(jìn)行列合成），雷達(dá)工作波長λ=0.23 m ，陣元間距d= 0.115 m，載機(jī)速度V=115 m/s，飛行高度H=3 km，一個相干處理時間內(nèi)的脈沖數(shù)為128，輸入雜噪比CNR=60 dB。

圖2所示為ILRA-STAP算法在各個階段迭代處理中改善因子隨迭代次數(shù)的變化曲線，其中歸一化多普勒fd=0.2，位于主雜波區(qū)。由圖2可以看出，在每一個階段中，雙迭代算法均有快速收斂性，迭代5~7次即可收斂。而且隨著階段的加深，性能逐漸得到了改善，但是改善的程度也越來越小。第2階段較第1階段有2.5 dB增益，而第3階段僅比第2階段高0.5 dB。圖3為本文算法在D不同時的改善因子對多普勒通道變化曲線，并與傳統(tǒng)的FA，EFA， STSF和傳統(tǒng)的低秩逼近（Low-Rank Approximation， LRA）算法作為參考，樣本個數(shù)L= 150。由圖可知，本文算法（D=3）與EFA算法在主雜波區(qū)性能相近，在其余多普勒通道略優(yōu)于EFA，而當(dāng)D=1時，本文算法略差于EFA方法，但是明顯優(yōu)于FA算法，傳統(tǒng)的低秩逼近算法由于樣本不足，因此其性能較差。

圖4所示為本文算法在D不同時的空時2維頻率響應(yīng)，歸一化空域頻率為0，歸一化多普勒頻率為fd= 0.5。圖4（a）給出當(dāng)D=1時，ILRA的空時2維頻率響應(yīng)圖，ILRA算法在主雜波區(qū)形成了較深的凹口，可以對其有效抑制，但由于自適應(yīng)自由度有限，在多普勒域出現(xiàn)了柵瓣。隨著D增加，柵瓣的影響越來越小，且在主雜波脊上形成的凹口更寬更深，如圖4（b）所示（D=3）。

實驗2 本實驗采用常用的MCARM實測數(shù)據(jù)驗證本文提出的ILRA-STAP算法的雜波抑制性能。MCARM數(shù)據(jù)是由美國空軍Rome實驗室90年代，為研究空時自適應(yīng)算法而錄取的一批相控陣機(jī)載雷達(dá)數(shù)據(jù)，具體參數(shù)見文獻(xiàn)［8］。本實驗主要處理編號為RL050575數(shù)據(jù)中300~500號距離門，為了便于本文算法實現(xiàn)，采用其中11個均勻線性子陣的前99個脈沖的數(shù)據(jù)，且在第400和420號距離單元均注入一個信雜噪比為-40 dB的動目標(biāo)信號，該目標(biāo)的空域頻率為0（位于主瓣波束內(nèi)），歸一化多普勒頻率為0.1（位于主雜波區(qū)附近）。動目標(biāo)檢測性能由目標(biāo)信號高出殘余雜波噪聲功率值，即輸出信雜噪比（Signal to Clutter and Noise Ratio， SCNR）來評估。對于本文算法，本實驗采用。以最大限度的降低所提算法的計算復(fù)雜度。

圖2 ILRA算法在不同階段隨迭代次數(shù)的性能曲線

圖3 改善因子圖

圖4 空時頻率響應(yīng)特性

圖5 給出了本文所提的ILRA-STAP算法、傳統(tǒng)的低秩逼近算法（LRA）， STSF和 EFA算法處理MCARM數(shù)據(jù)的輸出結(jié)果，其中EFA算法選取與待檢測多普勒通道相鄰的兩個多普勒通道作為輔助通道進(jìn)行聯(lián)合自適應(yīng)處理。圖5（a）和圖5（b）聯(lián)合比較各算法的性能，并且以EFA方法的性能為參考。可以看出，幾種算法均能有效地濾除雜波，將動目標(biāo)信號從殘余背景雜波噪聲中提取出來。由圖5（a）可以看出當(dāng)D=1時，本文算法與傳統(tǒng)STSF和EFA性能相當(dāng)（L=200），但是計算量明顯得到減少；當(dāng)滿足獨立同分布（Independent Identical Distribution，IID）樣本足夠多時，STSF方法的性能會優(yōu)于本文算法，而在實際中，IID樣本數(shù)十分有限。圖5（b）所示為當(dāng)D=3時，本文算法（ILRA）， LRA和EFA方法的對比結(jié)果，顯然本文算法和LRA對雜波的抑制效果相當(dāng)，但要優(yōu)于EFA，也就意味著相同條件下較EFA算法有較高的檢測概率。在IID樣本較少時，ILRA方法會略優(yōu)于LRA方法，且其ILRA的計算量要明顯小于LRA，因此本文算法適用于高維小樣本情況。

7 結(jié)束語

對于傳統(tǒng)的空時可分離自適應(yīng)處理，當(dāng)空域維度與時域維度不在同一數(shù)量級時，其算法收斂所需要的樣本數(shù)目以及計算復(fù)雜度都明顯增加。所提算法利用目標(biāo)空時導(dǎo)向矢量可以改寫為兩個維度相當(dāng)?shù)南蛄康腒 ronercker積的特性，對傳統(tǒng)的空時可分離自適應(yīng)處理方法進(jìn)行了改進(jìn)，顯著提高了算法的收斂速度以及降低了算法的計算復(fù)雜度，使得本文算法可適用于高維小樣本系統(tǒng)。仿真實驗和實測數(shù)據(jù)處理結(jié)果均驗證了算法的有效性。

圖5 歸一化輸出隨距離單元變化曲線

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解 虎： 男，1987年生，博士生，研究方向為陣列信號處理和空時自適應(yīng)信號處理.

馮大政： 男，1959年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為雷達(dá)信號處理、信號參數(shù)估計、仿大腦信息處理、場景感知、模式識別等.

虞鴻波： 男，1988年生，博士生，研究方向為陣列信號處理和空時自適應(yīng)信號處理.

An Improved Space-time Adaptive Processing A lgorithm Based on Low Rank App roximation

X ie Hu①Feng Da-zheng①Yu Hong-bo①Yuan M ing-dong①Nie Wei-ke②①（National Laboratory of Radar Signal Processing， X idian University， X i’an 710071， China）
②（School of Information and Technology， Northwest University， Xi’an 710127， China）

To handle the small sam ple support p roblem under the heterogeneous clutter environment， a fast convergence Space-Time Adap tive Processing （STAP） algorithm based on low-rank app roximation of the weight matrix is proposed. Un like the traditional Low-Rank Approximation （LRA） algorithm for STAP， the weight matrix is reconstructed so that the numbers of its columns and rows are the same or close to each other by utilizing the special Kronecker property of the space time steering vector， which to reduce the requirement of sam ples and computational load. By using the low-rank approximation method to approximate the adaptive weight matrix， the original quadratic op timal problem transform s into a bi-quadratic op timal problem. Experimental results verify that the Im p roved LRA （ILRA） m ethod can im prove the convergence rate and reduce the com pu tational load.

A irborne radar； Space-T im e Adaptive Processing （STAP）； Low-Rank App roxim ation （LRA）； Clutter supp ression； Bi-iterative

TN959.73

： A

：1009-5896（2015）05-1051-07

10.11999/JEIT 140832

2014-06-23收到，2014-12-29改回

國家自然科學(xué)基金（61271293）和陜西省自然科學(xué)基金（2013JM 8008）資助課題

*通信作者：解虎 xiehumor@gmail.com