基于復高斯模型的樣本缺失窄帶雷達信號重構算法

王寶帥 杜 蘭和 華 劉宏偉

（西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071）

基于復高斯模型的樣本缺失窄帶雷達信號重構算法

王寶帥 杜 蘭*和 華 劉宏偉

（西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071）

該文提出一種針對窄帶雷達信號存在樣本缺失情況下的信號重構算法。由于窄帶雷達體制下，目標回波近似服從復高斯分布。在這一前提下，首先建立描述樣本缺失觀測信號與未知完整信號間關系的概率模型，然后根據貝葉斯準則推導出在給定樣本缺失觀測信號條件下完整信號的后驗分布，最后利用期望最大（Expectation Maxim ization， EM）算法得到模型中參數的最大似然估計，進而得到完整信號的重構。該方法的優勢是只需利用樣本缺失觀測信號就可以重構出未知的完整信號，除了復高斯分布的假設，不需要其他任何樣本信息和先驗假設幫助參數學習。基于實測數據的實驗結果和與現有算法的比較結果表明該方法能夠獲得較好的重構性能。

雷達信號處理；信號重構；復高斯分布；期望最大算法；窄帶雷達

1 引言

近年來隨著雷達技術的發展及國家周邊安全局勢的日益復雜，對窄帶雷達增加目標分類功能的需求也越來越迫切。但是由于窄帶雷達回波中包含目標的有效信息較少，使得在窄帶雷達體制下實現目標的分類成為研究的難點。自從Chen等人［1］率先將微多普勒效應的研究結果引入微波雷達中，微多普勒效應在雷達中的應用得到了迅速的發展［15］-，其中的許多研究結果為窄帶雷達目標分類研究提供了新的思路［610］-。基于目標微多普勒特性差異的目標分類技術也逐漸被認為是實現窄帶雷達目標分類功能最具發展潛力的技術之一。然而由于目標的微動特性屬于回波中較為細節的信息，通常需要較高的多普勒分辨率也就是需要較長地駐留時間才能較好的觀測到。文獻［7］的實驗結果表明，現有方法的分類性能隨著駐留時間的減少而降低，在駐留時間較短時，幾乎沒有正確分類能力。這是由于常規窄帶雷達錄取的慢時間信號，多普勒譜的分辨率與駐留時間成正比，駐留時間越短，多普勒譜的分辨率越低，不能很好地反映目標的微動特性，從而影響微動參數的估計和微動特征的可分性，最終造成分類性能的下降。

由于本身性能的限制，現有的常規窄帶雷達體制下很難獲得對同一目標較長時間的連續觀測，通常可以得到的是對同一目標的多次不連續觀測，而這些不連續觀測相互之間的樣本是缺失的，針對這一問題，本文提出對常規窄帶雷達信號存在樣本缺失問題的信號重構算法。首先利用復高斯模型對回波信號進行建模，在此基礎上根據貝葉斯公式推導出完整信號的后驗分布，最后利用期望最大（Expectation Maxim ization， EM）［11，12］算法得到模型中參數的最大似然估計，進而得到完整信號的重構。

2 模型建立

考慮一般的信號重構問題，即已知觀測矩陣Φ∈RD×D和某未知信號x∈ CD×1在該觀測矩陣下的線性測量y∈ CD×1，則y與x的關系為

其中，Φ是對角矩陣，對角線上的元素根據數據缺失率從｛0，1｝中取值［13］，數據缺失率的計算方法是缺失樣本的數目除以總樣本的數目，也就是Φ對角線上取0元素的個數除以對角線總樣本數。ε～CN（0，δ2I）為測量誤差，且服從零均值的復高斯分布。根據高斯分布的線性性質，可以得到p（y x）=C N（Φ x，δ2I）。

假設未知信號x的概率密度函數為p（ x），則由貝葉斯公式［14］，可以推導出給定觀測y條件下x的后驗分布：

我們用均方誤差來描述重構信號x?和未知信號x之間的重構誤差：

其中E（i）表示求括號內變量的期望，Exy（ i）表示求給定y條件下求括號內變量關于x的條件期望。

式（3）關于x?求偏導，可以得到在最小均方誤差準則下最優的重構信號為

式（4）表明，在最小均方誤差準則下，上述信號重構問題的最優解是給定y條件下，x的條件均值。

對于常規窄帶雷達體制而言，目標回波是由大量相互獨立的散射中心子回波疊加而成。根據中心極限定理，大量相互獨立隨機變量的和變量近似服從高斯分布。因此，可以假設窄帶雷達回波的同相和正交分量分別近似服從高斯分布，則復隨機變量近似服從復高斯分布。所以，窄帶雷達體制下的目標回波可以認為服從復高斯分布。根據上述分析，本文假設未知的完整數據x服從均值為u，協方差矩陣為D的復高斯分布。

通過上述分析我們建立信號模型，將其重寫為

進而可以推導出x， y的聯合分布p（ x， y）以及條件分布p（ x y）：p（x， y）

同時可以得到給定y條件下x的條件均值和條件相關矩陣：

3 EM算法

模型的期望對數似然函數可以表示為

式（9）中，tr（i）表示矩陣求跡運算。

（1）更新D 將似然函數式（9）中與D有關的項重新整理如下：

式（10）關于D求偏導，并令結果為零可以得到在當前參數下，D的最大似然估計：

（2）更新δ2將似然函數式（9）中與δ2有關的項重新整理為

式（12）關于δ2求偏導，并令結果為零可以得到在當前參數下，δ2的最大似然估計：

（3）更新u 將似然函數式（9）中與u有關的項重新整理如下：

式（14）關于u求偏導，并令結果為零可以得到在當前參數下，u的最大似然估計為

（4）終止條件 EM算法通過引入隱變量，將優化觀測數據的對數似然函數的問題轉化為易于處理的優化觀測數據和隱變量構成的完全數據的對數似然函數的問題，迭代過程中，完全數據對數似然函數逐漸增大并最終可以達到局部最大值［12］。實驗過程中，當連續兩次迭代獲得的η的相對變化率小于10-4時，迭代終止。此時，η就是我們求得的重構信號?x。

圖1給出了整個算法的流程圖，需要說明的是本文方法中初始化參數是可以隨機生成的，實驗過程中參數初始值也是隨機設置的。

4 實驗結果

4.1 相關方法

基于壓縮感知理論也可以實現缺失信號的重構問題［15，16］。這里簡單介紹一下該種重構方法。基于壓縮感知的信號重構問題可以寫為

對于式（16）的問題，可以通過求式（17）的優化問題來重構信號x

圖1 算法流程圖

本文中，我們用OMP方法來求解上述優化問題。

4.2 實測數據介紹

在這部分內容中，我們使用窄帶雷達錄取的實測數據來驗證本文方法的性能。實測數據在兩種不同場景下錄取：（1）一個人朝向雷達走；（2）兩個人朝向雷達走，他們的速度接近但不相同。實測場景中，目標距離雷達較近，因此實測數據具有較高的信噪比。實測數據示于圖2。

4.3 隨機缺失實驗

為了定量地描述兩種方法在不同數據缺失率情況下的重構性能，表1給出了不同數據缺失率情況下，上述單人和兩人實測數據的平均重構誤差，重構誤差由式（18）定義，該重構誤差是對30次實驗求平均后獲得的結果。從表1可以看出，在不同樣本缺失率情況下，本文方法的重構性能要明顯優于OMP方法。

4.4 固定分段缺失實驗

表1 隨機缺失情況不同數據缺失率下不同方法的重構誤差

圖2 實測數據時頻圖

圖3 隨機缺失情況實測數據不同數據缺失率條件下本文方法和OMP方法的重構結果

圖4 （a）和圖4（d）給出了在數據缺失率為10%和30%情況下的單人和兩人的時頻圖。圖4（b）和圖4（e）對應給出了用本文方法重構信號的時頻圖。圖4（c）和圖4（f）對應給出了利用OMP方法重構信號的時頻圖。圖4中給出的時頻圖是一次實驗結果的時頻圖。從圖4可以看出，當采取固定抽取方式時，OMP方法完全失去了重構能力，這是由于此時的傳感矩陣已經不滿足RIP條件了，而本文方法在數據缺失率較低的情況下（小于30%）仍然可以較好地重構信號。

為了定量地描述兩種方法在不同缺失率情況下的重構性能，表2給出了不同數據缺失率情況下，上述單人和兩人實測數據的平均重構誤差，重構誤差由式（18）定義，該重構誤差是對30次實驗求平均后獲得的結果。從表2可以看出，在不同樣本缺失率情況下，本文方法的重構性能要明顯優于OMP方法。

圖4 固定缺失情況實測數據不同數據缺失率條件下本文方法和OMP方法的重構結果

表2 固定缺失情況不同數據缺失率下不同方法的重構誤差

5 結論

對于利用微多普勒信息實現目標分類的方法，分類性能在一定范圍內隨駐留時間的增加而提升。常規窄帶雷達由于自身性能的限制，很難獲得對同一目標長時間的觀測，通常可以得到的是存在樣本缺失的不連續觀測。如何利用現有的存在樣本缺失的觀測信號重構出原始長駐留時間的完整信號是本文的研究內容。針對這一問題，本文基于復高斯模型的信號重構算法。該方法首先建立存在樣本缺失的觀測信號與未知的完整信號之間關系的概率模型，然后根據貝葉斯公式推導出在給定觀測信號條件下完整信號的后驗分布，最后利用EM算法得到模型中參數的最大似然估計，進而得到完整信號的重構。基于實測數據的實驗結果表明，本文方法可以獲得較好的重構性能。

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王寶帥： 男，1987年生，博士生，研究方向為雷達自動目標識別、雷達信號處理.

杜 蘭： 女，1980年生，教授，博士生導師，研究方向為統計信號處理、雷達信號處理、機器學習及其在雷達目標檢測與識別方面的應用.

Reconstruction Method for Narrow-band Radar Returns with M issing Sam p les Based on Com p lex Gaussian M odel

Wang Bao-shuai Du Lan He Hua Liu Hong-wei
（National Laboratory of Radar Signal Processing， Xidian University， Xi’an 710071， China）

This paper p roposes a new signal reconstruction method for the signals with m issing sam ples obtained by narrow-band radar. For the narrow-band radar system， the target echoes can be assum ed to follow the com p lex Gaussian distribution. Based on this precondition， first the p robabilistic model between the observed signal w ith m issing samp les and the unknown com plete signal is formulated. Then the posterior distribution of the com plete signal is obtained via the Bayes' theorem. Finally， the maximum likelihood estimation of the model parameters is obtained w ith the Expectation Maxim ization （EM） algorithm and the reconstruction of the com plete signal can be ob tained. The advantage of the m ethod is that the reconstruction of the com p lete signal only using the observed signal w ith m issing sam p les based on the com p lex Gaussian distribution assum ption， w hile no other signal and prior information are needed in the parameter learning p rocess. Experiments based on the measured data and the comparation results w ith other state-of-the-art approaches show that the p roposed method can achieve good reconstruction performance.

Radar signal processing； Signal reconstruction； Comp lex Gaussian distribution； Expectation Maxim ization （EM） algorithm； Narrow-band radar

TN957.51

： A

：1009-5896（2015）05-1065-06

10.11999/JEIT 141041

2014-08-04收到，2015-01-05改回

國家自然科學基金（61271024， 61201296， 61322103）和全國優秀博士學位論文作者專項資金（FANEDD-201156）資助課題

*通信作者：杜蘭 dulan@mail.xidian.edu.cn