利用L L∞+1范數的多基線相位解纏繞方法

劉會濤 邢孟道保 錚

（西安電子科技大學雷達信號處理國防科技重點實驗室 西安 710071）

利用L L∞+1范數的多基線相位解纏繞方法

劉會濤 邢孟道*保 錚

（西安電子科技大學雷達信號處理國防科技重點實驗室 西安 710071）

多基線相位解纏繞問題可以轉化為求解L1范數優化問題的最優解，然而L1范數多基線相位解纏繞算法存在內存需求量大的問題，且對噪聲嚴重的干涉相位圖處理效果不理想。為了減少用線性規劃算法解L1范數多基線相位解纏繞時內存需求較大的問題，該文提出用L∞范數的懲罰函數來近似L1范數的懲罰函數以減少優化模型中優化變量的大小，從而將多基線相位解纏繞模型其目標函數變為L∞范數+L1范數的形式，并且優化變量的大小減少了約57%。最后，通過一個噪聲嚴重的實測數據對該文算法進行了驗證，實驗結果表明，該文提出的方法不僅可以有效地解纏繞質量較好的條紋圖，同時對噪聲嚴重區還具有一定的濾波效果。

干涉合成孔徑雷達；多基線；相位解纏繞；L1范數；L∞+ L1范數

1 引言

相位解纏繞技術是干涉合成孔徑雷達（Interferometric SAR， InSAR）完成3維地形測繪的最重要的圖像處理技術，其目的是從纏繞相位中恢復出纏繞前的相位，即絕對相位。在過去的幾十年中，研究者們提出了很多求解方法，這些算法基本可以被分為兩類：基于路徑跟蹤的方法和基于優化問題的方法。然而所有的單基線相位解纏繞方法都以相位連續性假設為前提。不同于單基線相位解纏繞方法，多基線相位解纏繞方法可以利用干涉相位圖的基線多樣性來實現相位解纏繞。理論上，只要基線長度比是無理數，根據中國余數定理（Chinese Remainder Theorem， CRT），解纏繞相位可以很容易地計算得來［13］-。但是由于CRT算法的噪聲魯棒性較差，傳統的基于CRT算法的多基線相位解纏繞算法不能實現相位解纏繞。因此對基于CRT算法的多基線相位解纏繞算法的研究主要集中在以下幾個方面：首先，為了使傳統的基于CRT算法的多基線相位解纏繞方法能夠應用于實際問題，一些研究者提出了噪聲魯棒性的增強CRT算法。文獻［4］改進了傳統的CRT算法并提出了具有閉式解的魯棒性增強的CRT算法。其次，通過聚類算法降低數據的噪聲進而提高基于傳統CRT算法的多基線相位解纏繞算法的噪聲魯棒性。文獻［5］通過將具有相同模糊數向量的像素聚為一個類，并取類內所有像素對應的截距值的高頻值從而降低噪聲的影響，進而將類內所有像素作為一個整體再利用傳統CRT方法進行相位解纏繞（聚類分析算法（Cluster-Analysis-based algorithm， CA）），其中，文獻［6］改進了CA算法中的聚類分析的直方圖包絡波峰選取策略。文獻［7］根據多基線中的截距數據的密度信息來提高聚類的精確度進而提高基于傳統CRT方法的多基線相位解纏繞算法的噪聲魯棒性（老人星算法（Cluster-Analysis based Noise Robust Phase-Unw rapping A lgorithm， CANOPUS））。將聚類方法與魯棒性增強的CRT算法相結合，從而可以在兩方面提高傳統CRT算法的噪聲魯棒性［8］。除基于CRT算法的多基線相位解纏繞算法外，研究學者還提出了一些基于統計信號處理的多基線相位解纏繞算法。文獻［9］和文獻［10］提出基于馬爾科夫隨機場（Markov Random Fields （MRFs））的多基線相位解纏繞算法的最大后驗估計（Maximum A Posteriori（MAP） estim ation）的實現方法和其改進算法；文獻［11］和文獻［12］提出了基于最大似然估計（Maximum Likelihood （ML） estimation）和基于相位梯度的ML方法來實現多基線相位解纏繞；文獻［13］結合CA算法中的聚類分析的思想提出了一種改進的基于最大似然估計方法。除此之外，文獻［14］將多基線相位解纏繞問題簡化為1L范數的優化問題并提出了用線性規劃思想解決多基線相位解纏繞問題。本文針對傳統的1

L范數的多基線相位解纏繞方法內存需求較大的問題，提出用L∞范數的懲罰函數近似1L范數的懲罰函數從而使優化變量的維度降低約57%，進而降低了算法的內存需求，并且提高了算法的運算速度。

本文首先回顧了1L范數的多基線InSAR相位解纏繞算法，并通過傳統1L范數算法優化變量的維度說明了該算法內存需求較大的原因，在此基礎上提出了改進算法以使相位解纏繞算法占用更小的內存，并且能夠處理噪聲非常嚴重的數據，最后通過實測數據實驗驗證本文提出的改進的聚類方法的有效性。

2 L L∞+1范數多基線相位解纏繞算法

對于單基線相位解纏繞技術來說，解纏繞相位首先要滿足纏繞相位和絕對相位之間的關系［15］，即

其中，φ， φ分別為絕對相位和纏繞相位，k為模糊數。然而，滿足此約束條件的解纏繞相位存在無窮多個；為了確定哪些解纏繞相位是符合實際地形要求的，人們引進了像素之間的限制條件，即：假設相鄰像素間的絕對相位變化小于等于π，這就是所謂的相位連續性假設。在此條件下，絕對相位差可以通過纏繞相位差估計得來［16］。

其中，Δφ（i）表示相鄰的第i個像素和第i+1個像素間的絕對相位差。在相位連續性假設成立的條件下，相位解纏繞可以通過對相鄰像素的絕對相位梯度差進行積分獲得。然而，當測繪地形劇烈變化時，相位連續性假設很有可能不再滿足。解決此問題的一種辦法是通過優化方法求使不滿足相位連續性假設的像素數量最少時的解纏繞相位，即

其中，i和j分別表示沿x和y方向做相鄰相位差，ωx和ωy為沿x和y方向的加權系數。然而，文獻［17］已證明該優化問題是一個NP難問題（NP-hard Problem， NP-hard）。因此，為了快速實現相位解纏繞，人們提出了用L1-norm優化問題來近似求解式（3）所述的優化問題［18］。相應的優化模型變為

為了克服單基線相位解纏繞算法對相位連續性假設的依賴，人們提出用多基線來實現相位解纏繞。相對于單基線相位解纏繞的模型，多基線相位解纏繞的模型不僅需要每幅干涉相位圖像素之間的約束關系，還需要增加干涉相位圖之間的約束關系。以雙基線為例，其約束關系可以表示為

其中，b為基線長度，下標1和下標2代表不同的干涉相位圖。與單基線相位解纏繞算法相比，多基線相位解纏繞算法需要考慮式（5）所示的約束條件，以雙基線為例，其相位解纏繞模型變為［14］

其中，t1≥ 0， t2≥ 0； i和i+1， j和j+1表示干涉相位圖中沿x和y方向相鄰的兩個像素，k表示干涉相位圖中的像素。該模型可以被簡化為

針對L1范數多基線相位解纏繞算法內存需求巨大的問題，本文提出用L∞范數的懲罰函數近似L1范數的懲罰函數以減少變量個數。具體來說就是在保留不同干涉相位圖之間的約束條件對應的L1范數的懲罰函數的前提下，對相鄰像素之間的約束條件用L∞范數的懲罰函數近似L1范數的懲罰函數。對于同一個優化問題而言，L1范數的懲罰函數的數學意義是使優化變量絕對和最小，而L∞范數懲罰函數是使優化變量中變量的最大值最小，此時優化變量中的所有變量均被迫趨向于0，這與L1范數的使絕對值之和最小有異曲同工之妙。因此可以用L∞范數的懲罰函數近似L1范數的懲罰函數。考慮本文提出的改進措施之后，新的優化模型中的目標函數變為L∞范數+L1范數的形式。即改進后的優化模型變為

其中，式（9）所示的優化模型中，目標函數和約束條件均為線性，因此改進后的優化模型仍然可以使用線性規劃算法高效求解，且改進后的優化模型中優化變量的大小約為3MN。與式（7）所示的優化模型中的優化變量相比，改進后的優化變量的大小減少了約57%，進而在用線性規劃算法求解式（9）的最優解時能極大程度降低其對內存的需求。除此之外，由于本文中提出的算法與傳統的L1范數算法相比，優化變量的維度降低了約57%，在相同的線性規劃算法的時間復雜度的條件下，算法的執行效率更高。

由于本文提出的算法采用L∞范數+L1范數的懲罰函數代替原優化模型的L1范數的懲罰函數，對于相鄰像素之間的約束條件而言，L∞范數的約束條件比L1范數的約束條件更加放松。也就是說，采用L∞范數的懲罰函數后，在不改變目標函數最優值的前提下，φ（i）-φ（ i+1）和Δφ（i）之間容許的誤差要更大一些。因此在式（9）所述的模型下，相鄰像素的絕對相位差和估計相位差不再嚴格一致，以滿足多基線相位解纏繞的L1范數強約束條件對相位的要求。也就是說，纏繞條紋和解纏繞結果反纏繞后的條紋存在不一致性，即存在濾波效果。

3 算法的性能分析

本文通過一噪聲影響非常嚴重的雙基線TerraSAR-X實測數據對本文提出的算法性能進行測試。圖1（a）和圖1（b）分別為短基線和長基線干涉相位圖，其基線長度分別為-6.4916 m和-41.0460 m。從圖中可以發現，長短基線干涉相位圖受噪聲的影響非常嚴重，大部分條紋線都被雪花地帶斷開。圖1（c）為L1范數多基線相位解纏繞方法得到的長基線干涉相位圖的解纏繞結果，圖1（d）為圖1（c）解纏繞結果反纏繞后的纏繞相位圖。通過對比發現，該方法在條紋線清晰的地方能夠非常理想地實現相位解纏繞，但是在噪聲區，該算法也無能為力。圖1（e）為L∞范數+L1范數多基線相位解纏繞方法得到的長基線干涉相位圖的解纏繞結果，圖1（f）為圖1（e）解纏繞結果反纏繞后的纏繞相位圖。通過對比圖1（d）和圖1（f），本文中提出的L∞范數+L1范數多基線相位解纏繞算法不僅對條紋線清晰的區域能夠較為理想地實現相位解纏繞，而且對噪聲區還有濾波作用，能夠對噪聲區產生干涉條紋圖。

4 結束語

多基線相位解纏繞問題可以轉化為求解L1范數的優化問題，并可以通過線性規劃算法快速且高效地求解。與單基線相位解纏繞優化問題相比，多基線相位解纏繞技術面臨數據大、信息量少的難題。為了克服L1范數多基線相位解纏繞算法在內存需求量巨大、噪聲嚴重區性能不理想的問題，本文提出用L∞范數的懲罰函數近似L1范數的懲罰函數，并提出了L∞范數+L1范數的多基線相位解纏繞方法。與L1范數多基線相位解纏繞算法相比，本文提出的算法其優化問題中的優化變量的大小減少了約57%，因此其內存需求會更低。通過對噪聲非常嚴重區實測數據測試發現，本文提出的算法可以有效地實現多基線數據的解纏繞，并且對噪聲含有濾波效果。

圖1 L1范數和L∞范數+L1范數多基線相位解纏繞結果對比

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劉會濤： 男，1986年生，博士生，研究方向為InSAR成像及相位解纏繞.

邢孟道： 男，1975年生，教授，博士生導師，研究方向為雷達成像和目標識別.

保 錚： 男，1927年生，中國科學院院士，博士生導師，研究方向為雷達信號處理.

L L∞+1-norm M ethod for M u lti-baseline Phase Unw rapping

Liu Hui-tao Xing Meng-dao Bao Zheng
（National Laboratory of Radar Signal Processing， X idian University， X i’an 710071， China）

M ulti-baseline phase unw rapping p roblem can be solved according to find the optimal solution of the L1-norm optim ization. However， there are two prob lem s: one is the huge memory required and the other is the difficulty in processing interferograms w ith severe noise. In order to decrease the memory requirement of the L1-norm m ethod， w ith a cost function of L∞-norm is em p loyed to approximate the L1-norm. Consequently， the ob jective function of the im proved mu lti-baseline phase unw rapping is the form of L∞-norm+L1-norm， and the size of the new optim ization variable is decreased by 57%. The performance of the proposed algorithm is validated via a real dataset w ith severe noise p resent， and the experiment demonstrates that the proposed algorithm not only presents a well phase unw rapping resu lt of interferograms with good quality， but also perform s a filtering against noise region.

Interferometric SAR （InSAR）； Mu lti-baseline； Phase unw rapping； L1-norm； L∞+ L1-norm

TN957.52

：A

：1009-5896（2015）05-1111-05

10.11999/JEIT 140955

2014-07-17收到，2015-01-06改回

國家自然科學基金優秀青年基金（61222108）資助課題*通信作者：邢孟道 xm d@xidian.edu.cn