超級畫板融于數學分析教學的探索

陳 娟

數學分析是大學階段數學專業最重要的一門基礎課程之一，歷時3個學期共有300多學時。該課程一直難教難學，國內也有很多文獻分析了原因并給出了相應的教學建議。其中有些文章是從數學建模角度進行分析的。數學分析中很多概念定理的來源就是為了解決現實問題而建立的。隨著科技的飛速發展，信息技術在建模中有著巨大的應用。雖然信息技術在中小學數學教育中的應用已有了廣泛的使用與研究，但是在大學數學專業教學中還缺乏相關研究。隨著我國高等教育的普及，如今數學專業的學生數量比以前大大增加，生源質量卻有所下降，面對這種情況，大學數學專業教育中也要關注如何更好地利用信息技術，使得數學建模更加容易實現，從而促進數學分析的學習效果。

一、超級畫板及其優點簡述

我國自主研發的《超級畫板》免費版，是基于動態幾何設計的智能教育平臺，功能完善，能夠滿足數學教學的日常需要，并且與使用廣泛的Matlab、Maple等相比安裝簡單，而比幾何畫板更容易學習和使用。[1]因此不但便于教師在課堂教學中演示，也有助于學生課下自學，進行探究。

數學分析課程的研究對象也是函數，函數是刻畫變量與變量之間依賴關系的模型，因此在數學分析教學中要貫徹數學建模的思想，只有這樣，學生才能體會到數學分析課程中研究函數的性質的必要性。數學分析研究的對象是函數，函數本身既有數的特征，又具有形的特點。而要研究函數的性質，就離不開幾何直觀。

為什么要重視幾何直觀在數學分析教學中的應用呢？數學家徐利治先生將“幾何直觀”解釋為借助于見到或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量的直接感知。[2]幾何直觀是數學學習與研究中的一種重要手段，對于數學分析來說，在教學中借助函數圖像，往往可以化繁為簡，使抽象的對象得到明白直觀的體現。如果在教學中不能很好地展示形的一面，不能很好地借助幾何直觀來幫助學生學習數學分析，自然會影響教學效果。

幾何直觀除了能夠幫助學生理解抽象的數學符號，另外一個功能則是培養學生的歸納猜想能力，進而提高學生的創新能力。作為師范專業的學生，學好數學分析的知識是基本任務，但是更重要的是學會其中蘊含的數學思想方法，等師范生成為教師之后，才能將這些重要的數學思想方法融入日常教學中，而這也是數學教學的目標之一。

從學習動機的角度也可以很好地解釋超級畫板在數學分析教學中的作用。如果不能通過數學本身來提高學生的興趣，那么學生學習數學的動機可能來自擔憂考試不及格等，而如果能通過超級畫板更好地展示數學分析的特點，讓學生體會數學分析在解決實際問題中的重要性，體會數學建模的作用，感受到學習數學是有巨大作用的，就能激發學生的學習興趣，興趣是內部動機最為核心的成分，是培養和激發學生內部學習動機的基礎。[3]教師應該讓學生堅信所學內容的重要性和趣味性。而超級畫板正是能達到這個效果。

二、案例分析

1.常見函數模型

理解函數的一個重要方式就是要幫助學生在其頭腦中建立一些具體的函數模型。比如可以用指數函數模型來描述人口增長、放射性元素的衰變等。因此學生必須了解函數的定義域、值域、單調性、周期性等性質，這樣遇到具體問題時，才能選擇合適的函數模型。而數學分析研究的基本對象正是定義在實數集上的函數，因此課程一開始要介紹一些常見的基本初等函數。但是2003年高中數學課程標準頒布之后，高中數學已經刪去了余切函數與反三角函數等，而這些又是在數學分析中常用的函數，因此有必要給學生補充相關知識。其實掌握這些函數模型的最好辦法就是借助圖像，因為枯燥的解析式往往使得學生望而生畏，即使教師把性質講解得再透徹，學生有時也不明就里。剛入學的大學生很可能就會因為這些枯燥的解析式而厭煩數學。而借助超級畫板，通過直觀的圖像可以使學生更容易接受新知識，同時雖然高中刪去了很多相關知識，但是大學里數學分析的總學時并沒有增加，還有減少的趨勢，因此更要求提高課堂教學效率。

2.定積分模型

由數學史可知，定積分就是為了解決很多實際問題（如曲邊梯形、變力做功、水壓、旋轉體體積等）而建立的數學模型。因此在教學過程中一定要體現出這個建模思想。傳統教學中教師一般都是通過求曲邊梯形的面積引入，這樣做自然是符合數學建模思想的。但是傳統的引入方式，教師只能在黑板上利用粉筆畫出曲邊梯形，然后再對曲邊梯形進行分割，但是這種分割有一定的限制，即n的取值不能過大，而且分割完后進行上和和下和的計算比較麻煩，學生計算會耽誤一定時間，如果時間耗費過多的話，會將學生的精力過多地牽扯在計算上，反而影響了建模思想的滲透。如果借助超級畫板則可以輕松解決這個問題。利用超級畫板不但能對n任意取值，并且能夠由超級畫板計算出上和與下和的面積，這樣可以直觀顯示出隨著n的增大上和與下和的面積不斷接近。這樣既能直觀地展現求曲面梯形面積的過程，也使得學生了解了以直代曲這種重要的模型思想，極大地提高了課堂教學效率。

學生通過對動態圖像的觀察，在教師的引導下，感受到了以直代曲這種數學建模思想的重要性。這樣教師在進行下面的黎曼和、可積準則等相關理論推導時，學生才不會感到枯燥，才會更容易抓住問題的本質，才會使學生知道定積分的相關理論不是從天而降，而是有著深刻的幾何背景和現實背景。在教學中教師要善于引導學生，鼓勵學生大膽提出猜想，可以從如下幾個方面入手：一是引導學生去猜想通過分割曲面梯形去求面積，另一個則是讓學生猜想上和與下和的關系，并對能夠猜想出結論的學生進行表揚，即使回答錯了，也要鼓勵。這就是心理學中的正強化，通過給學生提供正強化，激發學生學習的動機。這樣的教學方式也符合最近發展區理論，因為這些函數圖形學生都是了解的，矩形的面積、梯形的面積學生也是會求的。但是如果沒有教師的引導，學生很難進一步深入研究問題，很難想到可以利用分割曲邊梯形，通過求矩形面積來逼近曲面梯形的面積，進而得出定積分如此重要的數學模型。而在教師的指導幫助下，學生通過自己的努力，一步一步的嘗試，最終提出猜想，體會到數學學習中的成就感。這樣學生認知結構中已有的知識和新知識才能發生非人為的實質性聯系，這樣的學習才是有意義的學習。可見這樣的教學既能將知識傳授給學生，也能教給學生思維方式，培養出的師范生才能在日后的教學中不僅僅教授學生知識，而是傳授學生思想方法，教給學生如何去獲得概念、發現定理，從而提高學生學習數學的積極性和信心。

3.傅里葉級數模型

自然界中周期現象的數學描述就是周期函數，最簡單的周期現象，如單擺的擺動、音叉的振動等，都可以用正弦函數或余弦函數表示，但是復雜的周期現象，如熱傳導、電磁波以及機械振動等，就不能僅用一個正弦函數或余弦函數表示，甚至要用很多個甚至無限多個正余弦函數的疊加來表示。[4]這個建模思想要在教學之初就滲透給學生，而不要一開始就向學生講授三角級數的正交性以及相關的黎曼引理、收斂定理等，否則學生可能陷于抽象的理論證明，而不了解傅里葉級數的來源，更不能了解傅里葉級數的巨大用處。國內已有研究從數學史的角度來進行教學設計，[5]但是較少有借助信息技術進行輔助教學的。下面以一個常見的函數模型為例進行說明——如何利用超級畫板進行教學設計。在沒有學習傅里葉級數之前，學生很難想象到上面這個函數居然可以由無窮多個正弦函數疊加表示。因此教師在教學時，可以通過一個具體問題，得出這個函數模型，然后提問學生是否能夠想到這個函數可以由正弦函數疊加而成，這樣就引起了學生極大的學習興趣。然后就可以自然地用超級畫板來展示這一過程。這是傳統的黑板加粉筆的教學所不能達到的。傳統的教學，如果教師在黑板上畫圖的話，最多只能展開幾項，不可能展開到幾十項，更談不上無限項了。而超級畫板則可以輕松做到這一點，并且可以展現隨著n不斷增大，圖像變化的動態過程，讓學生去直觀感受傅里葉級數表示函數的過程，這樣也極大提高了學生學習的興趣。另外，傳統教學中，這些內容往往安排在理論證明之后，在教學中可以適當做些調整，先向學生講授傅里葉級數可以表示某些函數，展現其功能強大，同時向學生展示數學強大的創造能力，展示數學之美，降低學習難度，提高學生學習興趣，學生帶著問題去學習，再學相關定理時才會有興趣。

三、結論與建議

數學分析難教難學的重要原因之一就是因為抽象程度大大高于中學，另外教材編寫與教師教學過程中過于重視邏輯推理，較少強調滲透在其中的數學建模思想，使得學生陷于邏輯推理中而看不到數學的應用價值。雖然很多知識有直觀的幾何背景，但是由于教材編寫的原因，以及教學中過于重視邏輯推理能力的訓練，使得學生對數學產生了恐懼感以及厭煩感。通過上述案例分析，可以發現在數學分析教學中滲透數學建模的思想，既可以使學生了解數學的應用價值，又可以使學生了解邏輯推理是保證建模應用的理論基礎。而利用超級畫板的動態性可以使抽象的數學知識以直觀的形式出現，能夠更好地幫助學生思考知識間的聯系，促進新的認知結構的形成。計算機的動態變化可以將形數有機結合起來，把運動和變化展現在學生面前，使學生由形象的認識提高到抽象的概括，對于培養學生良好的思維習慣會起到很好的效果。這就是超級畫板在輔助數學分析教學中的作用，合理有效地使用超級畫板不僅能幫助教師很好地完成教學任務，還能培養學生的探究能力，提高興趣，潛移默化中滲透數學的思維方式。

[1]張景中，彭翕成.動態幾何教程[M].北京:科學出版社,2007.

[2]徐利治.談談我的一些數學治學經驗[J].數學通報,2000（ 5）：1.

[3]莫雷.教育心理學[M].北京：教育科學出版社，2007:276.

[4]張永鳳.HPM視角下對傅里葉級數的教學設計[J].大學數學，2012（ 12）:128-134.

[5]李海東.構建新技術支持下的中學數學課程[J].課程·教材·教法，2001（ 3）:11-14.