積分方程法結合Ewald變換和柵格對稱性分析周期性結構的散射特性

蘇建勛，李增瑞

(中國傳媒大學 信息工程學院，北京 100024)

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積分方程法結合Ewald變換和柵格對稱性分析周期性結構的散射特性

蘇建勛，李增瑞

(中國傳媒大學 信息工程學院，北京 100024)

摘要：本文提出空域積分方程法分析周期性結構。空域周期格林函數的計算通過改進的Ewald變換進行加速。利用周期性結構柵格的對稱性簡化了幾何模型的尺寸，未知量大大減少，以致填充矩陣和求解MoM線性系統的時間大為減少。我們的方法跟目前已發表的文章和商業軟件相比，更高效和精確。

關鍵詞：頻率選擇表面(FSS)；周期格林函數(PGF)；Ewald變換；積分等式(IE)；柵格對稱性(Lattice symmetry)

1引言

周期性結構目前廣泛用于微波波段頻率復用系統中的子反射面，以及用于構成復合雷達罩，在紅外波段還能被用于極化器或者分束器以及可見光波段的太陽能吸收表面。除此之外，頻率選擇表面與雷達吸波材料(RAM)[1，2]結合的吸波體還被涂敷于飛行器表面用于RCS減縮。頻率選擇表面的單元形狀比較多元化，近年來分形結構[3，4]也被應用到頻率選擇表面的單元設計中，使其具有多頻諧振特性。

在過去30年，世界很多學者研究FSS等周期結構的分析方法。周期矩量法有一個問題就是周期格林函數收斂很慢，以致矩陣填充時間很長。過去很多人在譜域和空域里都做過很多的研究，尤其是Mittra等人。雖然周期格林函數計算速度上有了很大的改進，但是也無法跟最近幾年興起的新技術Ewald變換相比，Ewald變換能使得周期格林函數通過幾項求和就能收斂。周期結構柵格(lattice)通常具有很好的對稱性，但目前還沒有相關的文獻報道，利用柵格對稱性簡化幾何模型。

本文詳細地介紹了空域積分方程法(Spatial-domain IE)分析頻率選擇表面，利用改進的Ewald變換加速周期格林函數的快速收斂。同時利用柵格的對稱性簡化計算幾何模型，使得未知量大大減少，實現了快速填充MoM矩陣和求解線性系統。跟目前已發表的文獻和最新版本的商業軟件比，本文的方法更高效和精確。

圖1　雙周期性結構

2積分方程與Ewald變換

2.1積分方程

完全導體(PEC)表面電場的切向分量為零，把邊界條件強加于金屬面S，可得電場積分方程(EFIE)[5]：

(1)

其中Gp為周期格林函數。基于三角片元的Rao-Wilton-Glisson (RWG)基函數應用于離散表面電流。

2.2改進的Ewald變換

(2)

其中

是互易柵格矢量。

其中Re(kzmn)≥0，Im(kzmn)≤0。

(3)

其中

(4)

(5)

通過對兩個序列的漸進性進行分析，優化撕裂因子可得：

其中H2是最大指數許可。在實際應用中，9項就可確保雙序列收斂(即求和限由-1到+1)，PGF的誤差值小于 0.1%。

3利用柵格對稱性(Lattice symmetry)簡化幾何模型

以縫隙周期結構如圖2為例。因為縫隙周期結構相對來說，復雜一些了，跟周期邊界(PB)接觸的那些三角網格要做一些特殊處理。

圖2　矩形縫隙FSS

3.1平面波垂直入射

圖3　場三角和源三角(紅線：源三角的電流流向)

平面波垂直入射FSS，假設電場(E-field)方向沿X-軸(TEMx)。利用柵格的對稱性可以把幾何模型簡化為原來的1/4。除了主源三角(primary source triangle)，其他三個源三角的坐標可以通過主源三角坐標的鏡像(mirror)獲得。四個源三角的電流擴展系數有如下關系：

I1=-I2=-I3=I4

(6)

電場積分方程(EFIE)的阻抗矩陣元素為

(7)

其中

四個源三角同時作用于一個場三角。fn1是主源三角n1的基函數；fn2，fn3和fn4分別為其他三個源三角(n2，n3，n4)的基函數。

貼片左右邊緣(red line)上的三角必須分配半基函數(half-RWG basis function)，因為實際上有電流流過貼片的左右邊緣。貼片的上下邊緣沒有電流，是開放邊緣(open boundary edge)。

3.2平面波斜入射

圖4　場三角和源三角(紅線：源三角的電流流向)

平面波斜入射FSS，假設電場(E-field)方向垂直于yoz-面。利用柵格的對稱性可以把幾何模型簡化為原來的1/2。兩個源三角的電流擴展系數有如下關系：

I1=I2

(8)

電場積分方程(EFIE)的阻抗矩陣元素為

(9)

貼片左邊緣的三角和右邊緣的三角對應地構成RWG基函數。貼片的上下邊緣沒有電流，是開放邊緣(open boundary edge)。

4數值算例

4.1耶路撒冷十字架(Jerusalem Cross)貼片陣

圖5　耶路撒冷十字單元

第一個例子是耶路撒冷十字架貼片陣列。單元的尺寸(mm)：w=1.9，l1=3.8，l2=5.7，a1=a2=15.2。圖6為Floquet TEM mode的反射系數，電場沿X-軸方向(TEMx)。Ewald求和項設為9，進一步增加求和項，反射系數沒有任何變換。為了確保整個頻段里的仿真精度，整個單元結構剖分為320個三角。我們方法的仿真結果(Black line)跟FEKO的仿真結果(dashed line)和Mittra的譜域法結果(Blue line)很吻合。我們方法更高效，幾何模型簡化為原來的1/4，三角網格數目減少到80個，計算時間約為原來的1/4，內存為原來1/16

圖6　反射系數

4.2十字架狀的縫隙陣—紅外光學濾波器(Quasi-Optical Filter)

下面分析一個紅外光學帶通濾波器，由十字架狀縫隙組成的陣列，諧振頻率為280GHz[8]。平面波垂直入射，電場沿X-軸方向(TEMx)。由于仿真頻帶很寬，Ewald求和項設為25(-2到2)，確保周期格林函數收斂。圖8為傳輸系數的仿真結果，黑實線(Black solid line)為我們的仿真結果；紅虛線(Black dot line)為參考文獻[8]的仿真結果；藍圈線為[8]的測試結果。我們方法跟測試結果吻合的很好。利用柵格對稱性，幾何模型簡化為原來的1/4，如圖8所示，三角網格數目由原來的2696個減少到674個。

圖7　十字狀縫隙

圖8　傳輸系數

5結論

本文詳細地介紹了空域積分方程法分析周期性結構，利用改進的Ewald變換加速周期格林函數的快速收斂。同時利用柵格的對稱性簡化計算幾何模型，使得未知量大大減少，實現了快速填充MoM矩陣和求解線性系統。跟目前已發表的文獻和最新版本的商業軟件比，本文的方法更高效和精確。仿真表明，Ewald求和通常9項就能獲得足夠的精度，仿真結果跟其他文獻的測試結果或數值結果吻合的很好，改進的Ewald變換是一種很好的加速周期格林函數收斂的方法。

參考文獻

[1]R Mittra，C H Chan，T Cwik.Techniques for analyzing frequency selective surfaces—A review[J]. Proc IEEE，76(12)：1593-1615，Dec，1988.

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[3]D R Smith，W J Padilla，D C Vier，S C Nemat-Nasser，S Schultz.Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity[J]. Phys Rev Lett，84(18)：4184-4187，May，2000.

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[7]F Capolino，D R Wilton，W A Johnson.Efficient computation of the 2-D Green’s function for 1-D periodic structures using the Ewald method[J]. IEEE Trans Antennas Propag，53(9)：2977-2984，Sep，2005.

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(責任編輯：宋金寶)

Integral-equation Analysis of Periodic Structure Using

Ewald Transformation and Lattice Symmetry

SU Jian-xun，LI Zeng-rui

(School of Information Engineering，Communication University of China，Beijing 100024)

Abstract：In this paper，we present a space-domain integral-equation method for the analysis of periodic structures formed by three-dimensional (3-D) metallic objects arranged in a general skewed two-dimensional lattice.The computation of the spatial domain Green’s function is accelerated by the Ewald transformation.The geometric model is simplified by the lattice symmetry，so that the unknown is greatly reduced.Filling MoM matrix and solving linear system are greatly reduced.Our technique shows much higher efficiency when compared with available commercial software and the methods published at present.

Keywords：frequency selective surfaces (FSS)；periodic Green’s functions(PGF)；Ewald transformation；integral equations；lattice symmetry

作者簡介：蘇建勛(1982-)，男(漢族)，廣東臺山人，中國傳媒大學博士后.E-mail：sujianxunjlgx@163.com

基金項目：國家自然科學基金項目(61331002，61201082)

收稿日期：2015-03-20

中圖分類號：TN011

文獻標識碼：A

文章編號：1673-4793(2015)03-0024-05