獨(dú)立同分布環(huán)境中上臨界配對(duì)依人口數(shù)兩性分支過(guò)程

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(山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西 大同 037009)

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獨(dú)立同分布環(huán)境中上臨界配對(duì)依人口數(shù)兩性分支過(guò)程

?？肆?，陳貴景

(山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西 大同 037009)

[摘要]本文考慮的是獨(dú)立同分布隨機(jī)環(huán)境上臨界配對(duì)依人口數(shù)兩性分枝過(guò)程，得到了該過(guò)程的滅絕概率的漸近上、下界.

[關(guān)鍵詞]兩性分枝過(guò)程；隨機(jī)環(huán)境；依人口數(shù)；滅絕概率.

兩性分枝過(guò)程作為一種比較有代表性的兩類型分枝模型是由Daley 首先提出的，后來(lái)人們又提出了變化環(huán)境中的兩性分枝過(guò)程，帶移民的兩性分枝過(guò)程及隨機(jī)環(huán)境中的兩性分枝過(guò)程模型[1-6].本文考慮的是獨(dú)立同分布隨機(jī)環(huán)境上臨界配對(duì)依人口數(shù)兩性分枝過(guò)程，得出了該過(guò)程的滅絕概率的漸近上、下界.

該模型定義如下：

Z0=N,

Zn+1=LZn(Fn+1,Mn+1).

(1)

模型的主要結(jié)論及證明

假設(shè)

E(-log(1-gξn(0)))<+∞；

其中ⅰ)是{Zn}為上臨界(即對(duì)?N≥1,有qN<1)的充分條件

定理1假設(shè)存在一個(gè)α1>0，使得Q(α1)=1且Q′(α1)<+∞，則存在一個(gè)常數(shù)c1>0,

Xn+1=ηξn(ηξn-1(…(ηξ0(0)…))

現(xiàn)令Y:=-log(1-X)，Yn:=-log(1-Xn)，則：

Yn+1=-log(1-Xn+1)

=Yn+vn.

注意到Y(jié)n≥0，故Yn+1≥max{0,Yn+vn}.

對(duì)?n≥0，令W0=0,Wn+1=max{0,Wn+vn}

P{Y

現(xiàn)令1-e-y=x，有y=-log(1-x),x∈[0,1],則

P{X

現(xiàn)再令：u0=-log(1-s0)，

其中s0∈[0,1]，具體取值待定.

定理2若s0充分接近于1，且存在一個(gè)α2=α2(s0)>0，使得R(α2)=1和R′(α2)<+∞，則存在一個(gè)常數(shù)c2=c2(s0)>0，使得

對(duì)?x∈[0,1]成立.

證明的剩余部分，可取s0充分接近1時(shí)對(duì)應(yīng)的α2=α2(s0)及Y′，U，X′代替定.

定理3在定理1和定理2的條件下，存在常數(shù)0<α1，α2<+∞，且0

證明：由定理1和定理2易得.

結(jié)論：最終得到了獨(dú)立同分布環(huán)境配對(duì)依人口數(shù)兩性分枝過(guò)程的滅絕概率的漸近上、下界.

[參考文獻(xiàn)]

[1]Smith WL, Wilkinson WE. On branching processes in random environments [J].Acta.Math.Appl.Sinica.,2006,22:1-10.

[2]Athreya K B, Karlin S. On branching processes with random environments[J]. Ann.Math.Stat.1971, 42: 1499-1520.

[3]Wang, H.-X. Extinction of population -size-dependent branching processes in random environments[J].J.Appl.Prob.,1999,36: 146-154.

[4]Wang Han-Xing,Da Fan-Fang.Asymptotic behavior of population-size- dependent branching processes in Markovian random environments[J].J.Appl.Prob. Trust., 1999, 20:611-619.

[5]By David Tanny. Limit theorems for branching processes in a random environment[J].The Annals of Probability.1977,Vol.5,No.1,100-116.

[6]盧準(zhǔn)煒. 隨機(jī)環(huán)境中的分枝過(guò)程[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，1998,14(3).

[責(zé)任編輯：Z]

[中圖分類號(hào)]0212.7

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1671-5330(2015)02-0008-02

[作者簡(jiǎn)介]常克亮，男，河北唐山人，主要從事概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方向的研究與教學(xué)。

[收稿日期]2015-01-28