冪級數(shù)逐項求導(dǎo)或積分后收斂半徑不變的新證法

宋述剛，陳洋洋，鄒健　(長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

曾祥洲　(江陵縣第一高級中學，湖北 江陵 434100)

冪級數(shù)逐項求導(dǎo)或積分后收斂半徑不變的新證法

宋述剛，陳洋洋，鄒健(長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

曾祥洲(江陵縣第一高級中學，湖北 江陵 434100)

[摘要]運用數(shù)列極限的理論建立了關(guān)于數(shù)列上、下極限的相關(guān)命題,應(yīng)用該命題和Cauchy-Hadamard定理的逆定理,給出了冪級數(shù)逐項求導(dǎo)、逐項積分后所得新的冪級數(shù)和收斂半徑不變的性質(zhì)的一個新的證明方法。該證明方法較傳統(tǒng)的證明(基于Abel定理與正項級數(shù)的比較判別法)更為簡潔。上述關(guān)于實冪級數(shù)結(jié)論的證明方法,可以推廣到復(fù)冪級數(shù)上去。

[關(guān)鍵詞]上極限;下極限;冪級數(shù);收斂半徑

引理1

或

則:

注：當ρ=0時，R=+∞，ρ=+∞時，R=0。

(1)

(2)

且有如下結(jié)論：

定理1

關(guān)于這一性質(zhì)的證明，教材上一般都是基于Abel定理與正項級數(shù)的比較判別法[1~4]。下面，筆者通過建立數(shù)列上、下極限的相關(guān)命題，利用Cauchy-Hadamard定理的逆定理,給出了定理1的一個新證明。

1數(shù)列上下極限的相關(guān)命題

證明僅證第1個結(jié)論，第2個結(jié)論類似可證。

綜合(i)、(ii)可得：

證明僅證第1個結(jié)論，由命題1有：

故命題2第1個結(jié)論得證。同理可證第2個結(jié)論。

例1計算下列極限：

解(1)由命題1第1個結(jié)論,有：

(2)由命題1第2個結(jié)論，有：

2Cauchy-Hadamard定理的逆定理

3定理1的新證明方法

4結(jié)語

且它們的收斂半徑不變。這一結(jié)論也可以利用定理1的新證法類似證明。

[參考文獻]

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上、下冊)[M].第4版.北京:高等教育出版社，2010.

[2]菲赫金哥爾茨.微積分教程[M].北京大學高等數(shù)學教研室譯.北京：人民教育出版社，1954.

[3]陳紀修，於崇華，金路.數(shù)學分析(上、下冊)[M]. 第2版.北京:高等教育出版社，2004.

[4]常庚哲.數(shù)學分析教程[M].北京:高等教育出版社，2003.

[編輯]洪云飛

[引著格式]宋述剛，陳洋洋，鄒健，等.冪級數(shù)逐項求導(dǎo)或積分后收斂半徑不變的新證法[J].長江大學學報(自科版)，2015,12(28)：5~7.

[中圖分類號]O171.2

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-1409(2015)28-0005-03

[作者簡介]宋述剛(1961-)，男，教授，現(xiàn)主要從事函數(shù)論及數(shù)學史方面的教學與研究工作；E-mail:songsg@yangtzeu.edu.cn。

[基金項目]國家自然科學基金項目(61503407)；長江大學教學研究項目(YZ2014007)。

[收稿日期]2015-06-24