覆蓋粗糙集的偏序關(guān)系研究

單雪紅，吳 濤，張文軍，高顯彩

1.宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000

2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039

3.宿州二中，安徽 宿州 234000

1 引言

粒計(jì)算通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行多角度、多層次的描述和理解，從而得到問(wèn)題的粒結(jié)構(gòu)表示，是研究復(fù)雜問(wèn)題求解、海量數(shù)據(jù)的挖掘和不精確、模糊信息處理等的有效工具[1]。粒化是粒計(jì)算的基本問(wèn)題之一，在粒計(jì)算的研究中，根據(jù)問(wèn)題?；玫降牧Ｗ娱g是否存在交集，將它們分別稱為覆蓋粒計(jì)算模型和劃分粒計(jì)算模型[1]，其中劃分粒計(jì)算模型，由于具有較好的理論基礎(chǔ)而被廣泛地研究。如經(jīng)典的粗糙集理論就屬于劃分粒計(jì)算模型的研究范疇[2-3]。經(jīng)典粗糙集理論是基于等價(jià)關(guān)系的硬劃分，即它的知識(shí)為論域上的劃分，也即知識(shí)中的概念之間不存在交集[2]，但在許多實(shí)際的應(yīng)用中，知識(shí)中的概念一般都會(huì)存在交叉，所以基于等價(jià)關(guān)系的劃分要求就過(guò)于嚴(yán)格，這樣就限制了粗糙集的發(fā)展，所以有必要將粗糙集理論推廣到更一般的形式?；诟采w的粗糙集模型是經(jīng)典粗糙集模型的推廣，由于更具有一般性，近年來(lái)受到研究者的關(guān)注，并取得了一定的研究成果[4-12]。

關(guān)于覆蓋粒度空間的層次模型研究，給出合理的偏序較細(xì)關(guān)系是關(guān)鍵，已有一些學(xué)者對(duì)該問(wèn)題做了一些嘗試。Huang等[11]，Zhang等[12]分別定義了兩種不同的覆蓋上的偏序較細(xì)關(guān)系。隨后Hu等人分析發(fā)現(xiàn)以上兩種偏序較細(xì)關(guān)系都存在問(wèn)題，對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，提出了新的定義。但是，分析發(fā)現(xiàn)，Hu等[13]人提出的覆蓋上的偏序較細(xì)關(guān)系也不滿足覆蓋近似空間下的概念近似具有偏序關(guān)系是覆蓋近似空間本身具有偏序較細(xì)關(guān)系的充要條件，因此，本文重新定義了覆蓋上的偏序較細(xì)關(guān)系，并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了研究，證明了該定義滿足覆蓋近似空間下的概念近似具有偏序關(guān)系是覆蓋近似空間本身具有偏序較細(xì)關(guān)系的充要條件。

2 基本概念

為了進(jìn)行比較分析，先介紹覆蓋近似空間的相關(guān)概念和已提出的三種偏序關(guān)系的定義。

定義1[4]設(shè)U是非空有限論域，C是U的一個(gè)子集族，如果∪C=U且C≠?，則稱C是U的一個(gè)覆蓋，稱有序?qū)?U，C)為覆蓋近似空間。

定義3[13]設(shè)(U，C)為覆蓋近似空間，對(duì)于任意集合X?U，也稱為U中的一個(gè)概念，則有下列定義：

因?yàn)閯澐质且环N特殊的覆蓋，所以Pawlak近似空間是覆蓋近似空間的一種特殊情況，當(dāng)覆蓋近似空間退化為Pawlak近似空間時(shí)，覆蓋粗糙集模型也將退化為經(jīng)典的粗糙集模型，因此覆蓋粗糙集模型是經(jīng)典粗糙集模型的擴(kuò)展[13]。

粗糙度ρC(X)的大小，反應(yīng)了近似空間對(duì)X的刻畫能力的強(qiáng)弱。

一般的，若近似空間(U，C1)較近似空間(U，C2)更細(xì)，則近似空間(U，C1)對(duì)概念X?U的刻畫能力較近似空間(U，C2)更強(qiáng)，反之亦然，因此，可得覆蓋粒度空間上較細(xì)關(guān)系的3條公理[13]。

通過(guò)分析研究，發(fā)現(xiàn)Hu等人給出的第三種偏序較細(xì)關(guān)系的定義并不滿足公理1，如下例：

3 新的覆蓋上的偏序較細(xì)關(guān)系

根據(jù)上例的分析，加上Hu等人的分析，以上三種覆蓋上的偏序較細(xì)關(guān)系的定義都存在不合理之處，因此重新給出了一種偏序較細(xì)關(guān)系的定義。

該定義可直觀描述為對(duì)粒度較大的覆蓋塊進(jìn)行了軟劃分。

(?)假設(shè)C1C2不成立，根據(jù)定義 9，則 ?x∈U，K1∈Mdc1(x)，對(duì) ?K2∈Mdc2(x)，有，則K1與 ?K2有以下兩種關(guān)系：K1∩K2=?（因?yàn)閤∈K1且x∈K2，所以K1∩?K2=?是不可能的，K1與K2僅相交，除K2?K1），或者K2?K1。顯然，K2在 (U，C2)下有K2，（1）若K1∩K2≠?，在 (U，C1)下，因?yàn)?，所以（與條件矛盾）；（2）若K2?K1，在 (U，C1)下，即，因而（與條件矛盾）。

綜上可知，有C1C2成立，因此必要性成立。

定理2設(shè)C1和C2是非空論域U上的兩個(gè)覆蓋，C1C2當(dāng)且僅當(dāng)在覆蓋近似空間 (U，C1)和 (U，C2)下，對(duì)于?X?U，有

證明(?)設(shè)C1C2，則對(duì) ?K1∈Mdc1(x)，都 ?K2∈Mdc2(x)，使得K1?K2，對(duì) ?X?U，若K1∩X≠?，則K2∩X≠?，即，因此有。

定理1和定理2說(shuō)明本文定義的覆蓋粒度空間的較細(xì)關(guān)系滿足公理1和公理2，這與人們對(duì)粒度的認(rèn)知直覺(jué)是一致的。

4 結(jié)束語(yǔ)

覆蓋粒度空間的層次模型研究，關(guān)鍵是給出合理的偏序較細(xì)關(guān)系，現(xiàn)有的偏序較細(xì)關(guān)系定義都有其不足的地方。本文給出了一種新的偏序較細(xì)關(guān)系的定義，并證明其與覆蓋近似空間下的概念近似偏序關(guān)系是等價(jià)的。這些研究結(jié)果為實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

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